山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面和法线第六节 多元函数微分学的几何应用山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z) 当MM0, 即t0时, 作曲线的割线MM0, 其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设空间曲线的参数方程为 x(t) y(t) z(t) 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为 向量T(t0) (t0) (t0)称为曲线在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面, 其法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 一、空间曲线的切线与法平面山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解: 由于对应的切向量为在, 故山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂讨论: 1. 若曲线的方程为y(x) z(x) 则切向量T? 提示: 1. 曲线的参数方程可视为: xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x) 曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(t0) (t0) (t0) 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x) 而(x) (x)要通过解方程组得到. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解解. 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂切线方程即法平面方程即点 M (1,2, 1) 处的切向量山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂证:在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量的平面上 , 从而切平面存在 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂曲面时, 则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向分别记为则向上,山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3. 求椭球面在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解切平面方程为法线方程为例例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例5. 确定正数 使曲面在点解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面, 因此有山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例6. 求曲线在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂作业：作业：p-45 习题习题8-62，3，4，5，8