第六节第六节Green 公式公式Gauss 公式公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度三、通量与散度 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度 第十章第十章 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲由分片光滑的闭曲 上上有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 ,下面先证下面先证:函数函数 P, Q, R 在在面面 所围成所围成, 的方向取外侧的方向取外侧, 则有则有 (Gauss 公式公式)高斯高斯 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明: 设设为为XY型区域型区域 , 则则定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以所以若若 不是不是 XY型区域型区域 , 则可引进辅助面则可引进辅助面将其分割成若干个将其分割成若干个 XY型区域型区域,故故上式仍成立上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消正反两侧面积分正负抵消,在辅助面在辅助面类似可证类似可证 三式相加三式相加, 即得所证即得所证 Gauss 公式：公式：定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系. .由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：种形式：例例1. 用用Gauss 公式计算公式计算其中其中 为柱面为柱面闭域闭域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里这里利用利用Gauss 公式公式, 得得原式原式 =(用柱坐标用柱坐标)及平面及平面 z = 0 , z = 3 所围空间所围空间思考思考: 若若 改为内侧改为内侧, 结果有何变化结果有何变化? 若若 为圆柱侧面为圆柱侧面(取外侧取外侧) , 如何计算如何计算? 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 利用利用Gauss 公式计算积分公式计算积分其中其中 为锥面为锥面解解: 作辅助面作辅助面取上侧取上侧介于介于 z = 0 及及 z = h 之间部分的下侧之间部分的下侧. 所围区域为所围区域为 , ,则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用重心公式利用重心公式, 注意注意机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 设设 为曲面为曲面取上侧取上侧, 求求 解解: 作取下侧的辅助面作取下侧的辅助面用用柱坐标柱坐标用用极坐标极坐标机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在闭区域在闭区域 上具有一阶和上具有一阶和二阶连续偏导数二阶连续偏导数, 证明格林证明格林( Green )第一公式第一公式例例4. 设函数设函数其中其中 是整个是整个 边界面的外侧边界面的外侧. 分析分析: 高斯公式高斯公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: :令令由高斯公式得由高斯公式得移项即得所证公式移项即得所证公式.(见见 P171)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1. 连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域设有空间区域 G , 若若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称则称 G 为为空间二维单连通域空间二维单连通域 ; 若若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面的曲面, 则称则称 G 为为空间一维单连通域空间一维单连通域 .例如例如, 球面所围区域球面所围区域 环面所围区域环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区不是二维单连通区域域 .既是一维也是二维单连通区域既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域是二维但不是一维单连通区域 ;是是一维但一维但机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2. 在在空间二维单空间二维单 连通域连通域G内具有连续一阶偏导数内具有连续一阶偏导数, 为为G内任一闭曲面内任一闭曲面, 则则证证: “充分性充分性”. 根据高斯公式可知根据高斯公式可知是是的充分条件的充分条件. 的的充要条件是充要条件是: “必要性必要性”. 用反证法用反证法. 已知已知成立成立,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 因因P, Q, R 在在G内具有连续一阶偏导数内具有连续一阶偏导数 ,则则存在邻域存在邻域 则由则由高斯公式得高斯公式得 与与矛盾矛盾, 故故假设不真假设不真. 因此条件因此条件是必要的是必要的. 取外侧取外侧,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、通量与散度三、通量与散度引例引例. 设设稳定流动的不可压缩流体的密度为稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为速度场为理意义可知理意义可知, 设设 为为场中任一有向场中任一有向曲面曲面, 单位时间通过曲面单位时间通过曲面 的流量为的流量为 则由对则由对坐标的曲面积分的物坐标的曲面积分的物 由由两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系, 流量还可表示为流量还可表示为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若 为方为方向向外的闭曲面向向外的闭曲面, 当当 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量多于流的流体质量多于流出出的的, 则则单位时间通过单位时间通过 的流量为的流量为 当当 = 0 时时, 说明流入与流出说明流入与流出 的流体质量相等的流体质量相等 . 流流出出的的, 表明表明 内有泉内有泉; 表明表明 内有洞内有洞 ;根据高斯公式根据高斯公式, 流量也可表为流量也可表为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向向外的任一闭曲面方向向外的任一闭曲面 , 记记 所围域为所围域为 , 设设 是是包含点包含点 M 且且为了揭示场内任意点为了揭示场内任意点M 处的特性处的特性, 在在式两边同除以式两边同除以 的体积的体积 V, 并令并令 以以任意方式缩小至点任意方式缩小至点 M 则有则有此式此式反应了流速场在点反应了流速场在点M 的特点的特点: 其值其值为正为正,负或负或 0, 分别反映在该点有流体涌出分别反映在该点有流体涌出, 吸入吸入, 或没有任何变化或没有任何变化. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义: 设有向量场设有向量场其中其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 是是场内的一片有向场内的一片有向 则称则称曲面曲面, 其单位法向量其单位法向量 n, 为为向量场向量场 A 通过通过有向曲面有向曲面 的的通量通量(流量流量) .在场中点在场中点 M(x, y, z) 处处 称为向量场称为向量场 A 在点在点 M 的的散度散度.记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 表明该点处有正源表明该点处有正源, 表明该点处有负源表明该点处有负源, 表明该点处无源表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度散度绝对值的大小反映了源的强度.若若向量场向量场 A 处处有处处有 , 则称则称 A 为为无源场无源场. 例如例如, 匀速场匀速场 故它是故它是无源场无源场.P16 P16 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 由引例可知由引例可知, 散度是通量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率, 且且* *例例5.5.置于原点置于原点, 电量为电量为 q 的点电荷产生的场强为的点电荷产生的场强为解解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用高斯公式及其应用公式公式:应用应用:(1) 计算曲面积分计算曲面积分 (非非闭曲面时注意添加辅助面的技巧闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件推出闭曲面积分为零的充要条件: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 通量与散度通量与散度 设设向量场向量场P, Q, R, 在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数, 则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 G 内任意点处的散度为内任意点处的散度为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案思考与练习思考与练习所围立体所围立体,判断下列演算是否正确判断下列演算是否正确?(1)(2) 为为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束