专题六 解 析 几 何第一讲 直 线 与 圆一、主干知识一、主干知识1.1.倾斜角与斜率倾斜角与斜率: :(1)(1)直线的倾斜角直线的倾斜角的范围为的范围为_._.(2)(2)倾斜角为倾斜角为9090的直线的斜率的直线的斜率_，倾斜角为，倾斜角为(90(90) )，过，过(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2) )两点的直线的斜率公式两点的直线的斜率公式k=k=tan =_(xtan =_(x1 1xx2 2).).0,)0,)不存在不存在2.2.直线的方程直线的方程: :(1)(1)点斜式方程：点斜式方程：_(_(其中直线过点其中直线过点P(xP(x0 0，y y0 0) )，斜，斜率为率为k).k).(2)(2)斜截式方程：斜截式方程：_(_(其中直线斜率为其中直线斜率为k,k,在在y y轴上的截距轴上的截距为为b).b).(3)(3)两点式方程：两点式方程： _(_(其中直线过点其中直线过点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，点，点P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )且且x x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2).).(4)(4)截距式方程：截距式方程：_(_(其中直线在其中直线在x x轴上的截距为轴上的截距为a a，在在y y轴上的截距为轴上的截距为b b且且a0,b0).a0,b0).(5)(5)一般式方程：一般式方程：_(_(其中其中A A，B B不全为零不全为零).).y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) )y=y=kx+bkx+bAx+By+CAx+By+C=0=03.3.圆的方程圆的方程: :(1)(1)已知圆心坐标为已知圆心坐标为(a(a，b)b)，半径为，半径为r r，则圆的标准方程为，则圆的标准方程为_._.(2)(2)圆的一般方程为圆的一般方程为_(_(其中其中_)._).(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0二、必记公式二、必记公式1.1.点到直线的距离：点到直线的距离：d= _(d= _(其中点其中点P(xP(x0 0，y y0 0),),直线方程为：直线方程为：Ax+By+CAx+By+C=0).=0).2.2.两平行线间的距离：两平行线间的距离：d= _(d= _(其中两平行线方程其中两平行线方程分别为分别为l1 1：Ax+By+CAx+By+C1 1=0,=0,l2 2：Ax+By+CAx+By+C2 2=0).=0).三、重要关系三、重要关系1.1.两条直两条直线的位置关系的位置关系: :当不重合的两条直当不重合的两条直线l1 1和和l2 2的斜率存在的斜率存在时, ,两直两直线平行平行l1 1l2 2_,_,两直两直线垂直垂直l1 1l2 2_,_,两直两直线的交点就是以两直的交点就是以两直线方程方程组成的方程成的方程组的解的解为坐坐标的点的点. .2.2.直直线与与圆的位置关系的位置关系: :相交、相切、相离相交、相切、相离, ,判断方法有判断方法有: :代数代数判断法与几何判断法判断法与几何判断法. .3.3.圆与与圆的位置关系的位置关系: :相交、外切、内切、外离、内含相交、外切、内切、外离、内含, ,判断判断方法有方法有: :代数判断法与几何判断法代数判断法与几何判断法. .k k1 1=k=k2 2k k1 1 k k2 2=-1=-11.(20131.(2013 北京模北京模拟) )已知直已知直线l1 1:ax+(a+1)y+1=0,:ax+(a+1)y+1=0,l2 2:x+ay+2=0,:x+ay+2=0,则“a=-2a=-2”是是“l1 1l2 2”的的( (填序号填序号).).充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件必要不充分条件充分必要条件充分必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】当当a=-2a=-2时时,(-2),(-2)1+(-2+1)1+(-2+1)(-2)=0,(-2)=0,得得l1 1l2 2, ,而而l1 1l2 2时时, ,有有a+a(a+1)=0,a+a(a+1)=0,解得解得a=-2a=-2或或a=0,a=0,故故“a=-2a=-2”是是“l1 1l2 2”的充分不必要条件的充分不必要条件. .答案答案: :2.(20132.(2013 南通模南通模拟) )直直线l1 1:x+2y-4=0:x+2y-4=0与与l2 2:(2-m)x+my-1=0:(2-m)x+my-1=0平行平行, ,则实数数m=m=. .【解析解析】因为因为l1 1l2 2, ,所以所以 解得解得m=m=答案答案: :3.(20133.(2013 陕西高考改西高考改编) )已知点已知点M(a,bM(a,b) )在在圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1外外, ,则直直线ax+byax+by=1=1与与圆O O的位置关系是的位置关系是. .【解析解析】点点M(a,bM(a,b) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1外外a a2 2+b+b2 21.1.圆心圆心O(0,0)O(0,0)到直线到直线ax+byax+by=1=1的距离的距离= =圆的半径圆的半径, ,故直线与圆相交故直线与圆相交. .答案答案: :相交相交4.(20134.(2013 新新课标全国卷全国卷改改编) )已知点已知点A(1,0),B(1,0),C(0,1),A(1,0),B(1,0),C(0,1),直直线y=y=ax+b(aax+b(a0)0)将将ABCABC分割分割为面面积相等的两部分相等的两部分, ,则b b的取的取值范范围是是. .【解析解析】由题意画出图形由题意画出图形, ,如图如图(1).(1).由图可知由图可知, ,直线直线BCBC的方程为的方程为x+yx+y=1.=1.可求可求N(0,b),N(0,b),因为直线因为直线y=y=ax+bax+b将将ABCABC分割为面积相等的两部分分割为面积相等的两部分, ,所以所以 所以所以S SODNODN=S=SCMNCMN, ,整理得整理得所以所以 所以所以所以所以 即即可以看出可以看出, ,当当a a增大时增大时,b,b也增大也增大. .当当a+a+时时,b ,b 即即b b当当a0a0时时, ,直线直线y=y=ax+bax+b, ,接近于接近于y=b.y=b.当当y=by=b时时, ,如图如图(2),(2),所以所以1-b= 1-b= 所以所以b=1- b=1- 所以所以b b1-1-由上分析可知由上分析可知1- 1- b b答案：答案：5.(20135.(2013郑郑州州模模拟拟) )若若圆圆x x2 2+y+y2 2+mx- +mx- =0=0与与直直线线y=-1y=-1相相切切，其其圆圆心在心在y y轴的左侧，则轴的左侧，则m=_.m=_.【解析解析】圆的方程可化为圆的方程可化为由已知得由已知得 得得m= m= 或或- - 又圆心又圆心 在在y y轴左侧，所以有轴左侧，所以有m m0,0,所以所以m=m=答案：答案：6.(20136.(2013南京模拟南京模拟) )直线直线2x-y=02x-y=0与圆与圆C C：(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9=9交于交于A A，B B两点，则两点，则ABC(CABC(C为圆心为圆心) )的面积等于的面积等于_._.【解析解析】根据条件可知，圆的半径为根据条件可知，圆的半径为3 3，圆心，圆心(2(2，-1)-1)到直线到直线2x-y=02x-y=0的距离的距离则直线被圆截得的弦长为则直线被圆截得的弦长为所以所以ABCABC的面积为的面积为答案：答案：热点考向热点考向 1 1 直线的斜率、方程与位置关系直线的斜率、方程与位置关系【典典例例1 1】(1)(2013(1)(2013泰泰安安模模拟拟) )直直线线x+(ax+(a2 2+1)y+1=0+1)y+1=0的的倾倾斜斜角角的的取值范围是取值范围是_._.(2)(2013(2)(2013南南通通模模拟拟) )如如果果直直线线ax+2y-1=0ax+2y-1=0与与直直线线3x-y-2=03x-y-2=0垂垂直直，那么实数那么实数a=_.a=_.(3)(2013(3)(2013石石家家庄庄模模拟拟) )在在过过点点(2(2，1)1)的的所所有有直直线线中中，距距离离原原点最远的直线的方程是点最远的直线的方程是_._.【解题探究解题探究】(1)(1)本题的直线的斜率是本题的直线的斜率是_, ,斜率的取值范围是斜率的取值范围是_. .(2)(2)两条斜率都存在的直线互相垂直，则它们的斜率两条斜率都存在的直线互相垂直，则它们的斜率k k1 1,k,k2 2之间之间有什么关系？有什么关系？提示：提示：k k1 1k k2 2=-1.=-1.(3)(3)过点过点(2(2，1)1)且距离原点最远的直线具有什么特点？且距离原点最远的直线具有什么特点？提示：提示：与原点和点与原点和点(2(2，1)1)两点连线垂直两点连线垂直. .-1,0)-1,0)【解析解析】(1)(1)由直线由直线x+(ax+(a2 2+1)y+1=0+1)y+1=0得该直线的斜率得该直线的斜率k=k=又又a a2 2+11,+11,所以所以kk-1,0),-1,0),由正切函数的图象和性质得倾斜角的取值范围为由正切函数的图象和性质得倾斜角的取值范围为答案：答案： (2)(2)直线直线ax+2y-1=0ax+2y-1=0的斜率为的斜率为 直线直线3x-y-2=03x-y-2=0的斜率为的斜率为3 3，因为两直线垂直，所以有因为两直线垂直，所以有 3=-13=-1，所以，所以答案：答案：(3)(3)由已知得距离原点最远的直线与原点、点由已知得距离原点最远的直线与原点、点(2(2，1)1)两点连线两点连线所得直线垂直所得直线垂直. .而过原点、点而过原点、点(2(2，1)1)两点连线的直线的斜率为两点连线的直线的斜率为所以待求直线的斜率为所以待求直线的斜率为-2-2，由点斜式得直线方程为，由点斜式得直线方程为y-1=-2y-1=-2(x-2),(x-2),即即2x+y-5=0.2x+y-5=0.答案：答案：2x+y-5=02x+y-5=0【方法总结方法总结】1.1.两直线平行、垂直的判定方法两直线平行、垂直的判定方法(1)(1)对斜截式方程对斜截式方程. .l1 1:y=k:y=k1 1x+bx+b1 1, ,l2 2:y=k:y=k2 2x+bx+b2 2( (两直线斜率存在两直线斜率存在, ,且不重合且不重合),),则有则有l1 1l2 2k k1 1=k=k2 2, ,l1 1l2 2k k1 1 k k2 2=-1.=-1.若两直线的斜率都不存在若两直线的斜率都不存在, ,并且两直线不重合并且两直线不重合, ,则两直线平行则两直线平行; ;若两直线中若两直线中, ,一条直线的斜率为一条直线的斜率为0,0,另一条直线斜率不存在另一条直线斜率不存在, ,则两则两直线垂直直线垂直. .(2)(2)对一般式方程对一般式方程: :l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0,=0,则有则有l1 1l2 2A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0,=0,且且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 10,0,l1 1l2 2A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0.=0.2.2.求直线方程的两种常用方法求直线方程的两种常用方法(1)(1)直直接接法法：选选用用恰恰当当的的直直线线方方程程的的形形式式，由由题题设设条条件件直直接接求求出方程中系数，写出结果出方程中系数，写出结果. .(2)(2)待待定定系系数数法法：即即先先由由直直线线满满足足的的一一个个条条件件设设出出直直线线方方程程，使使方方程程中中含含有有待待定定系系数数，再再由由题题给给的的条条件件构构建建方方程程，求求出出待待定定系数系数. .【变式式训练】设直直线l过点点A(2,4),A(2,4),它被平行它被平行线:x-y+1=0,x-y-:x-y+1=0,x-y-1=01=0所截所截线段的中点在直段的中点在直线x+2y-3=0x+2y-3=0上上, ,试求直求直线l的方程的方程. .【解析解析】方法一：解方程组方法一：解方程组及及得交点坐标得交点坐标设设BCBC中点为中点为M M，则，则M(1M(1，1),1),所以直线所以直线l的方程为的方程为3x-y-2=0.3x-y-2=0.方方法法二二：设设l被被平平行行线线x-y+1=0,x-y-1=0x-y+1=0,x-y-1=0所所截截线线段段中中点点为为M M，M M在在直线直线x+2y-3=0x+2y-3=0上，则上，则M M点可设为点可设为(3-2k,k).(3-2k,k).又又M M为所截线段中点，则为所截线段中点，则M M到两平行线距离相等，有到两平行线距离相等，有解之解之k=1,k=1,则则M(1,1),M(1,1),所以所以l方程为方程为3x-y-2=0.3x-y-2=0.方法三：易知方法三：易知l的斜率存在，因为直线的斜率存在，因为直线l过点过点A(2A(2，4),4),设设l方程为方程为y-4=k(x-2).y-4=k(x-2).解方程组解方程组由题意，交点坐标到两直线距离相等由题意，交点坐标到两直线距离相等, ,所以所以因此因此k=3,k=3,l的方程为的方程为3x-y-2=0.3x-y-2=0.方法四：由已知可知，直线方法四：由已知可知，直线l被平行直线截得的线段中点在直被平行直线截得的线段中点在直线线y=xy=x上上. .由方程组由方程组解得交点坐标解得交点坐标(1(1，1)1)，所以可得，所以可得l方程为方程为3x-y-2=0.3x-y-2=0.热点考向热点考向 2 2 圆的方程及圆的性质的应用圆的方程及圆的性质的应用 【典典例例2 2】(1)(2013(1)(2013广广州州模模拟拟) )已已知知圆圆C C经经过过直直线线2x-y+2=02x-y+2=0与与坐坐标标轴轴的的两两个个交交点点，且且经经过过抛抛物物线线y y2 2=8x=8x的的焦焦点点，则则圆圆C C的的方方程程为为_._.(2)(2)已已知知圆圆C C关关于于y y轴轴对对称称，经经过过点点A(1A(1，0)0)，且且被被x x轴轴分分成成两两段段弧长之比为弧长之比为12,12,求圆求圆C C的方程的方程. .【解题探究解题探究】(1)(1)圆圆C C的方程的求解思路的方程的求解思路: :求出圆求出圆C C经过的点分别为经过的点分别为_, ,_和和_. .如何根据经过的三个点确定圆如何根据经过的三个点确定圆C C的圆心坐标和半径的圆心坐标和半径? ?提示：提示：先求两条弦中垂线方程，再求交点即得圆心，而圆心到先求两条弦中垂线方程，再求交点即得圆心，而圆心到三点中任一点的距离即为半径三点中任一点的距离即为半径. .(2)(2)圆圆C C关于关于y y轴对称，说明圆轴对称，说明圆C C的圆心在的圆心在_. .被被x x轴分成两段弧长之比为轴分成两段弧长之比为12,12,则弦所对圆心角的度数为则弦所对圆心角的度数为_. .(-1,0)(-1,0)(0,2)(0,2)(2(2，0)0)y y轴上轴上120120【解析解析】(1)(1)直线直线2x-y+2=02x-y+2=0与坐标轴的两个交点分别为与坐标轴的两个交点分别为(-1,0)(-1,0)和和(0,2)(0,2)，抛物线，抛物线y y2 2=8x=8x的焦点为的焦点为(2(2，0)0)，又过又过(-1(-1，0)0)和和(2(2，0)0)的弦的中垂线为的弦的中垂线为而经过而经过(2,0)(2,0)和和(0(0，2)2)的弦的中垂线为的弦的中垂线为y=x,y=x,由由 得圆得圆C C的圆心坐标为的圆心坐标为所以半径所以半径故所求圆的方程为故所求圆的方程为答案：答案：(2)(2)因为圆因为圆C C关于关于y y轴对称，所以圆轴对称，所以圆C C的圆心的圆心C C在在y y轴上，故可设轴上，故可设C(0C(0，b),b),圆圆C C的半径为的半径为r,r,即圆的方程为即圆的方程为x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,又圆又圆C C被被x x轴分成两段弧长之比为轴分成两段弧长之比为12,12,经过经过A(1A(1，0)0)，所以圆所以圆C C的方程为的方程为【互动探究互动探究】若题若题(2)(2)的条件变为的条件变为: :圆心在原点圆心在原点O O，且圆周被直，且圆周被直线线3x+4y+15=03x+4y+15=0分成分成1212两部分，则圆的方程如何？两部分，则圆的方程如何？【解析解析】设直线与圆相交于设直线与圆相交于A A，B B两点，因为圆周被直线两点，因为圆周被直线3x+4y+15=03x+4y+15=0分成分成1212两部分，所以两部分，所以AOB=120AOB=120. .而圆心到直线而圆心到直线3x+4y+15=03x+4y+15=0的距离的距离在在AOBAOB中，可求得中，可求得OA=6.OA=6.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2=36.=36.【方法总结方法总结】求圆的方程的两种方法求圆的方程的两种方法(1)(1)直直接接法法：通通过过研研究究圆圆的的性性质质、直直线线与与圆圆、圆圆与与圆圆的的位位置置关关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程. .(2)(2)待待定定系系数数法法：先先设设出出圆圆的的方方程程，再再由由条条件件构构建建系系数数满满足足的的方程方程( (组组) )求得各系数，进而求出圆的方程求得各系数，进而求出圆的方程. .【变式备选变式备选】(2013(2013江西高考江西高考) )若圆若圆C C经过坐标原点和点经过坐标原点和点(4(4，0)0)，且与直线，且与直线y=1y=1相切，则圆相切，则圆C C的方程是的方程是_._.【解析解析】设圆的方程为设圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2，因为圆，因为圆C C经过点经过点(0,0)(0,0)和点和点(4(4，0)0)，所以，所以a=2a=2，又圆与直线，又圆与直线y=1y=1相切，可得相切，可得1-b=r1-b=r，故圆，故圆的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=(1-b)=(1-b)2 2，将，将(0,0)(0,0)代入解得代入解得所以圆的方程为所以圆的方程为答案：答案：热点考向热点考向 3 3 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013湖北高考湖北高考) )已知圆已知圆O O：x x2 2+y+y2 2=5=5，直线，直线l：xcosxcos +ysin+ysin =1(0 ). =1(00)(r0)的的位位置关系如表置关系如表. .方法方法位置位置关系关系几何法几何法: :根据根据d d与与r r的大小的大小关系关系代数法代数法: :直线与圆的方程联立直线与圆的方程联立, ,根据判别式根据判别式的符号判断的符号判断相交相交drd00相切相切d=rd=r=0=0相离相离drdr002.2.弦长与切线长的计算方法弦长与切线长的计算方法(1)(1)弦长的计算：直线弦长的计算：直线l与圆与圆C C相交于相交于A A，B B两点，则两点，则 ( (其中其中d d为弦心距为弦心距).).(2)(2)切线长的计算：过点切线长的计算：过点P P向圆引切线向圆引切线PAPA，则，则PA=PA= ( (其中其中C C为圆心为圆心).).3.3.圆上的点到直线的距离问题的求解策略圆上的点到直线的距离问题的求解策略(1)(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数问题转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数问题求解求解. .(2)(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系问题转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系问题. .(3)(3)直接设点，利用方程思想解决直接设点，利用方程思想解决. . 【变式训练变式训练】已知圆已知圆C C：x x2 2+y+y2 2+2x+4y-3+2x+4y-30 0和直线和直线l：x+y+1x+y+10,0,则圆则圆C C上到直线上到直线l的距离为的距离为 的点共有的点共有_个个. .【解析解析】方法一：圆方法一：圆C C的方程：的方程：x x2 2+y+y2 2+2x+4y-3+2x+4y-30 0可化为可化为(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 28,8,所以圆所以圆C C的圆心坐标为的圆心坐标为(-1(-1，-2)-2)，半径为，半径为设与直线设与直线l：x+y+1x+y+10 0平行且距离为平行且距离为 的直线方程为的直线方程为x+y+mx+y+m0,0,由由 知：知：m m-1-1或或m m3.3.当当m m-1-1时，圆心到直线时，圆心到直线x+y-1x+y-10 0的距离的距离 直线与圆相切，满足要求的点有直线与圆相切，满足要求的点有1 1个；个；当当m m3 3时，圆心到直线时，圆心到直线x+y+3x+y+30 0的距离的距离 直线与圆相交，满足要求的点有直线与圆相交，满足要求的点有2 2个个. .故满足要求的点共有故满足要求的点共有3 3个个. .方法二：圆方法二：圆C C的方程：的方程：x x2 2+y+y2 2+2x+4y-3+2x+4y-30 0可化为可化为(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 28,8,所以圆所以圆C C的圆心坐标为的圆心坐标为(-1(-1，-2)-2)，半径为，半径为圆心圆心C C到直线到直线l的距离的距离故与直线故与直线l平行且距离为平行且距离为 的两条直线的两条直线l1 1，l2 2中，一条与圆中，一条与圆C C相相交，一条与圆交，一条与圆C C相切，故圆相切，故圆C C上到直线上到直线l的距离为的距离为 的点共有的点共有3 3个个. .答案：答案：3 3【典例典例】已知圆已知圆C C：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=8.=8.(1)(1)设点设点Q(x,yQ(x,y) )是圆是圆C C上一点，求上一点，求x+yx+y的取值范围的取值范围. .(2)(2)在在直直线线x+y-7=0x+y-7=0上上找找一一点点P(m,nP(m,n) )，使使得得过过该该点点所所作作圆圆C C的的切切线段最短线段最短. .与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题【解题探究解题探究】(1)(1)若令若令x+yx+y=t,=t,则该直线与圆则该直线与圆C C有什么关系？有什么关系？提示：提示：该直线与圆相交或相切该直线与圆相交或相切. .(2)(2)要使切线段最短，则点要使切线段最短，则点P P应具有什么特点？应具有什么特点？提示：提示：点点P P为过圆心为过圆心C C向直线向直线x+y-7=0x+y-7=0所作垂线的垂足所作垂线的垂足. .【解析解析】(1)(1)设设x+yx+y=t=t，因为，因为Q(x,yQ(x,y) )是圆上的任意一点，所以该是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即直线与圆相交或相切，即即即x+yx+y的取值范围为的取值范围为-5,3-5,3. .(2)(2)因为圆心到直线因为圆心到直线x+y-7=0x+y-7=0的距离的距离所以直线与圆相离，因为过点所以直线与圆相离，因为过点P P作的切线长、圆心与切点的连作的切线长、圆心与切点的连线、点线、点P P与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为一定值，与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为一定值，所以只有当过圆心向直线所以只有当过圆心向直线x+y-7=0x+y-7=0作垂线，过其垂足作的切线作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求段最短，其垂足即为所求. .设过圆心作直线设过圆心作直线x+y-7=0x+y-7=0的垂线为的垂线为x-y+cx-y+c=0.=0.又因为该线过圆心又因为该线过圆心(-1,0)(-1,0)，所以，所以-1-0+c=0-1-0+c=0，即，即c=1c=1，而而x+y-7=0x+y-7=0与与x-y+1=0x-y+1=0的交点为的交点为(3,4)(3,4)，该点即为所求，该点即为所求. .【方法总结方法总结】与圆有关的最值问题的求解策略与圆有关的最值问题的求解策略与与圆圆有有关关的的最最值值问问题题求求解解时时需需根根据据待待求求值值及及式式子子的的几几何何意意义义，充分利用几何图形的性质充分利用几何图形的性质, ,数形结合求解数形结合求解. .【变式训练变式训练】(2013(2013山东高考山东高考) )过点过点(3(3，1)1)作圆作圆(x(x2)2)2 2+ +(y(y2)2)2 2=4=4的弦，其中最短的弦长为的弦，其中最短的弦长为_._.【解析解析】 半径为半径为r=2r=2，圆心为，圆心为(2,2)(2,2)，圆心到点，圆心到点(3,1)(3,1)的距离的距离所求最短弦长为所求最短弦长为答案：答案：转化与化归思想转化与化归思想 解决与直线、圆有关的最值问题解决与直线、圆有关的最值问题【思想诠释思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值圆外一点与圆上任一点间距离的最值.(2).(2)直直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值.(3).(3)过圆内一定点过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值的直线被圆截得的弦长的最值.(4).(4)直线与圆相离，过直线上一直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题点作圆的切线，切线长的最小值问题.(5).(5)两圆相离，两圆上点两圆相离，两圆上点的距离的最值的距离的最值.(6).(6)已知圆上的动点已知圆上的动点Q(x,yQ(x,y) )，求与点，求与点Q Q的坐标有的坐标有关式子的最值关式子的最值, ,如求如求ax+byax+by, , 等的最值，转化为直线与圆等的最值，转化为直线与圆的位置关系的位置关系. .2.2.解题思路：解题思路：(1)(1)数数形形结结合合法法：一一般般结结合合待待求求距距离离或或式式子子的的几几何何意意义义，数数形形结合转化为直线与直线及直线与圆的位置关系求解结合转化为直线与直线及直线与圆的位置关系求解. .(2)(2)函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解. .3.3.注注意意事事项项：(1)(1)准准确确理理解解待待求求量量的的几几何何意意义义，准准确确转转化化为为直直线线与与直直线线及及直直线线与与圆圆的的相相应应的的位位置置关关系系.(2).(2)涉涉及及切切线线长长的的最最值值时时，要要注注意意切切线线，圆圆心心与与切切点点的的连连线线以以及及圆圆心心与与切切线线段段另另一一端端点的连线组成一直角三角形点的连线组成一直角三角形. .【典例典例】(2013(2013武汉模拟武汉模拟) )已知已知P P是直线是直线l:3x-4y+11=0:3x-4y+11=0上的动点，上的动点，PAPA，PBPB是圆是圆x x2 2+y+y2 2-2x-2y+1=0-2x-2y+1=0的两条切线，的两条切线，C C是圆心，那么四边形是圆心，那么四边形PACBPACB面积的最小值是面积的最小值是_._.【审题审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切切入入点点：欲欲求求四四边边形形面面积积的的最最小小值值，需需知知其其在在什什么么条条件件下下取取得得最最小小值值, ,转转化化为为求求PAPA最最小小，而而PAPA最最小小时时，PCPC最最小小，进进而而转转化为化为CPCP垂直于直线垂直于直线l即可即可. .(2)(2)关关注注点点：根根据据PAPA，PBPB是是圆圆的的两两条条切切线线，C C是是圆圆心心，将将待待求求最最小值进行转化小值进行转化. .【解题解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成如图所示，圆的标准方程为如图所示，圆的标准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,圆心为圆心为C(1C(1，1)1)，半径为，半径为r=1.r=1.根据对称性可知四边形根据对称性可知四边形PACBPACB面积等于面积等于 ，故故PAPA最小时，四边形最小时，四边形PACBPACB的面积最小，的面积最小，由于由于 ，故，故PCPC最小时，最小时，PAPA最小，最小，此时，直线此时，直线CPCP垂直于直线垂直于直线l:3x-4y+11=0,:3x-4y+11=0,故故 所以所以 故四边形故四边形PACBPACB面积的最小值为面积的最小值为答案：答案：【点题点题】规避误区，易错警示规避误区，易错警示 易错易错点一点一题中题中处易将四边形处易将四边形PACBPACB的面积用的面积用PAPA表示出错表示出错而致误而致误易错易错点二点二忽略忽略处导致不能正确转化而致误处导致不能正确转化而致误易错易错点三点三不能将不能将处处PCPC的最小值转化为点的最小值转化为点C C到直线到直线l的距离的距离而致误而致误【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013江西高考改编江西高考改编) )过点过点( 0)( 0)引直线引直线l与曲线与曲线相交于相交于A,BA,B两点，两点，O O为坐标原点，当为坐标原点，当AOBAOB的面积取最大值时，的面积取最大值时，直线直线l的斜率等于的斜率等于_._.【解析解析】曲线曲线 表示以表示以(0,0)(0,0)为圆心，以为圆心，以1 1为半径的上为半径的上半圆半圆. .设直线设直线l的方程为的方程为y=y=k(xk(x- )- )，即，即kx-ykx-y- k=0- k=0，若直线与，若直线与半圆相交，则半圆相交，则k0k0，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为弦长为弦长为 AOBAOB的面积为的面积为 易知当易知当 时时S S最大，解最大，解 得得答案：答案：1 1(2013(2013合肥模拟合肥模拟) )已知已知x+y+1=0,x+y+1=0,则则 的最小的最小值是值是_._.【解析解析】点点(1(1，1)1)到到x+y+1=0x+y+1=0的距离即为所求的距离即为所求. .由距离公式由距离公式 可得可得答案：答案：2.(20132.(2013太原模拟太原模拟) )若直线若直线l：ax+by+1=0ax+by+1=0始终平分圆始终平分圆M M：x x2 2+y+y2 2+4x+2y+1=0+4x+2y+1=0的周长，则的周长，则(a-2)(a-2)2 2+(b-2)+(b-2)2 2的最小值为的最小值为_._.【解析解析】由题意知，圆心坐标为由题意知，圆心坐标为(-2,-1),(-2,-1),所以所以-2a-b+1=0,-2a-b+1=0,因为因为 表示点表示点( (a,ba,b) )与与(2(2，2)2)的距离的距离, ,所以所以 的最小值为的最小值为所以所以(a-2)(a-2)2 2+(b-2)+(b-2)2 2的最小值为的最小值为5.5.答案：答案：5 5