第第5课时课时曲线与方程曲线与方程教教材材回回扣扣夯夯实实双双基基基础基础梳理梳理1曲线与方程曲线与方程在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，如如果果某某曲曲线线C(看看作作满满足足某某种种条条件件的的点点的的集集合合或或轨轨迹迹)上上的的点点与与一一个个二二元元方程的实数解建立了如下的关系：方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做那么，这个方程叫做_；这条曲；这条曲线叫做线叫做_曲线的方程曲线的方程方程的曲线方程的曲线思考探究思考探究若若曲曲线线与与方方程程的的对对应应关关系系只只满满足足第第(2)个个条条件件会怎样？会怎样？提示：提示：若只满足若只满足“以这个方程的解为坐标的以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程部分曲线的方程，而非整个曲线的方程2求动点的轨迹方程的一般步骤求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建系建立适当的坐标系；建立适当的坐标系；(2)设点设点设轨迹上的任一点设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式列式列出动点列出动点P所满足的关系式；所满足的关系式；(4)代代换换依依条条件件式式的的特特点点,选选用用距距离离公公式式、斜率公式等将其转化为斜率公式等将其转化为x，y的方程，并化简；的方程，并化简；(5)证明证明证明所求方程即为符合条件的动点证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程的轨迹方程无解无解课前热身课前热身1方程方程x2xyx的曲线是的曲线是()A一个点一个点 B一条直线一条直线C两条直线两条直线 D一个点和一条直线一个点和一条直线解析：选解析：选C.方程变为方程变为x(xy1)0.x0或或xy10，表示两条直线，表示两条直线2已已知知点点P是是直直线线2xy30上上的的一一个个动动点点,定定点点M(1,2)，Q是是线线段段PM延延长长线线上上的的一一点点，且且|PM|MQ|，则则Q点点的的轨轨迹迹方方程程是是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解解析析：选选D.设设Q(x，y)，则则P(2x,4y)，代入代入2xy30得得2xy50.3(2012大大同同调调研研)已已知知A(0,1)，B(1,0)，则则线线段段AB的的垂垂直直平平分分线线l的的方方程程是是_答案：答案：yx答案：答案：y25x50考考点点探探究究讲讲练练互互动动考点突破考点突破考点突破考点突破考点考点1 1用直接法求轨迹方程用直接法求轨迹方程例例1 【题后感悟题后感悟】如果动点满足的几何条件就如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法迹方程的方法称为直接法互动探究互动探究1若本例中条件变为直线若本例中条件变为直线AP与与BP的斜率之的斜率之积等于积等于1，那么动点，那么动点P的轨迹是什么？的轨迹是什么？备选例题备选例题例例考点考点2 2用定义法求轨迹方程用定义法求轨迹方程如如图图，已已知知圆圆A：(x2)2y21与与点点A(2,0)，B(2,0)，分分别别求求出出满满足足下下列列条条件件的的动点动点P的轨迹方程的轨迹方程(1)PAB的周长为的周长为10；(2)圆圆P过点过点B(2,0)且与圆且与圆A外切外切(P为动圆圆心为动圆圆心)例例2【题后感悟题后感悟】求轨迹方程时，若动点与定求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是解析几何中程的方法叫做定义法，其关键是解析几何中有关曲线的定义有关曲线的定义备选例题备选例题 如如图图，圆圆O：x2y216，A(2,0)，B(2,0)为为两两个个定定点点直直线线l是是圆圆O的的一一条条切切线线,若若经经过过A、B两两点点的的抛抛物物线线以以直直线线l为为准准线线，求抛物线焦点的轨迹方程求抛物线焦点的轨迹方程例例【解解】设抛物线的焦点为设抛物线的焦点为F，过，过A作作AMl于于M，过，过B作作BNl于于N，因为，因为A、B在抛物线在抛物线上，所以由抛物线的定义知，上，所以由抛物线的定义知，A、B到到F的距的距离离|AF|、|BF|分别等于分别等于A、B到准线到准线l的距离的距离|AM|、|BN|，于是，于是|AF|BF|AM|BN|.过过O作作OPl，由由于于l是是圆圆O的的一一条条切切线线，四四边边形形AMNB是是直直角角梯梯形形，所所以以OP是是中中位位线线，故故有有|AF|BF|AM|BN|2|OP|84|AB|.考点考点3 3用相关点法用相关点法(代入法代入法)求轨迹求轨迹方程方程例例3【题题后后感感悟悟】若若点点A的的运运动动与与点点B的的运运动动相相关关，且且点点B的的运运动动有有规规律律，则则找找出出两两点点坐坐标标间间的的关关系系，用用A点点坐坐标标表表示示出出B点点坐坐标标，代代入入点点B所所满满足足的的方方程程，整整理理即即得得点点A的的轨轨迹方程迹方程备选例题备选例题 已知点已知点A，B分别是射线分别是射线l1：yx(x0),l2：yx(x0)上的动点，上的动点，O为坐标原点，为坐标原点，且且OAB的面积为定值的面积为定值2，求线段，求线段AB中点中点M的的轨迹方程轨迹方程 例例22得得x2y2x1x2，而而x1x22，x2y22.由于由于x10，x20，x0，即所求点即所求点M的轨迹方程为的轨迹方程为x2y22(x0)变式训练变式训练方法技巧方法技巧求轨迹的方法求轨迹的方法(1)直接法：直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程的等式就得到曲线的轨迹方程方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟(2)定义法：定义法：其其动动点点的的轨轨迹迹符符合合某某一一基基本本轨轨迹迹(如如直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线)的的定定义义，则则可可根根据据定定义义采采用用设设方方程程，求方程系数得到动点的轨迹方程求方程系数得到动点的轨迹方程(3)代入法代入法(相关点法相关点法)：当所求动点当所求动点M是随着另一动点是随着另一动点P(称之为相关称之为相关点点)而运动如果相关点而运动如果相关点P所满足某一曲线方所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入转移法求轨迹的方法叫做相关点法或代入转移法失误防范失误防范1求求轨轨迹迹方方程程时时，要要注注意意曲曲线线上上的的点点与与方方程程的的解解是是一一一一对对应应关关系系检检验验可可从从以以下下两两个个方方面面进进行行：一一是是方方程程的的化化简简是是否否是是同同解解变变形形；二是是否符合题目的实际意义二是是否符合题目的实际意义2求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等说明轨迹的形状、位置、大小等考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考命题预测命题预测从从近近几几年年的的高高考考试试题题来来看看，求求曲曲线线的的轨轨迹迹方方程程是是高高考考的的常常考考题题型型，主主要要以以解解答答题题的的形形式式出出现现,轨轨迹迹问问题题的的考考查查往往往往与与函函数数、方方程程、向向量量、平平面面几几何何等等知知识识相相融融合合，着着重重考考查查分分析析问问题题、解解决决问问题题的的能能力力，对对逻逻辑辑思思维维能能力力、运运算算能能力力也也有一定的要求有一定的要求预测预测2013年高考仍将以求曲线的方程为主要考年高考仍将以求曲线的方程为主要考点，考查学生的运算能力与逻辑推理能力点，考查学生的运算能力与逻辑推理能力规范解答规范解答例例名师点拨名师点拨 层层点拨层层点拨