第2课时 均值不等式的应用 a,bR,aa,bR,a2 2 +b +b2 22ab2ab1. 1. 均值不等式均值不等式: :a,ba,b是正数是正数, , ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”)=”)( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”)=”)2.2.均值不等式的变形及推广均值不等式的变形及推广: :1.1.理解并掌握均值不等式及其变形理解并掌握均值不等式及其变形. .2.2.会用均值不等式求最值问题和解决简单的实际问会用均值不等式求最值问题和解决简单的实际问题题. .（重点、难点）（重点、难点）(1)(1)若若a,bR R+ +且且ab=p=p（p p为常数）则为常数）则（当且仅当（当且仅当a=ba=b时取等号）时取等号）（2 2）若）若a+ +b= =s，a,bR+ +, ,则则（当且仅当（当且仅当a= =b时取等号）时取等号） 求最值要注意三点：求最值要注意三点： 正数正数 定值定值 检验等号是否成立检验等号是否成立 例例1 1（1 1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100m100m2 2，问这个矩形，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？是多少？（2 2）已知矩形的周长为）已知矩形的周长为36m36m，问这个矩形的长、宽，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？探究点探究点1 1：利用均值不等式解决与面积有关的最值问题利用均值不等式解决与面积有关的最值问题解：解：（1 1）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x mx m、y my m，依题，依题意得意得xy=100xy=100，因为因为x0x0，y0y0，所以，所以因此因此 即即 2(x+y)40. 2(x+y)40. 当且仅当当且仅当x=yx=y时，式中等号成立，时，式中等号成立，此时此时x=y=10.x=y=10.两个正数的两个正数的积为常数积为常数时，时，它们的它们的和和有有最最小小值值. .因此，当这个矩形的长和宽都是因此，当这个矩形的长和宽都是10 m10 m时，它的周时，它的周长最短，最短周长是长最短，最短周长是40 m.40 m.（2 2）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x mx m、y my m， 依题意得依题意得2(x+y)=362(x+y)=36，即，即x+y=18x+y=18，因为因为x0x0，y0y0，所以，所以， 因此因此 将这个正值不等式两边平方，将这个正值不等式两边平方，得得xy81,xy81,当且仅当当且仅当x=yx=y时，式中等号成立，时，式中等号成立，此时此时x=y=9x=y=9，因此，当这个矩形的长和宽都是因此，当这个矩形的长和宽都是9m9m时，它的面积时，它的面积最大，最大面积为最大，最大面积为81m81m2 2. .两个正数的两个正数的和为常数和为常数时，时，它们的它们的积积有有最最大大值值.例例2 2求函数求函数 的最大值，以的最大值，以及此时及此时x x的值的值. .解：解： ，因为，因为x0x0，所以所以 得得 因此因此f(x) f(x) 探究点探究点2 2：利用均值不等式解决与函数有关的最值问题利用均值不等式解决与函数有关的最值问题当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中等号成立时，式中等号成立. .由于由于x0x0，所以，所以 ，式中等号成立，式中等号成立，因此因此 ，此时，此时 . .【特别提醒特别提醒】利用基本不等式求最值应注意的三点利用基本不等式求最值应注意的三点(1)x,y(1)x,y一定要是正数一定要是正数. .(2)(2)求积求积xyxy的最大值时的最大值时, ,应看和应看和x+yx+y是否为定值是否为定值; ;求和求和x+yx+y的最小值时的最小值时, , 看积看积xyxy是否为定值是否为定值. .(3)(3)等号是否能够取到等号是否能够取到. . B.B. 1.1.（20132013重庆高考）重庆高考）的最大值为的最大值为 ( )A.A. C.C. D. D. 9 93 3B B2.2.（20132013四川高考）已知函数四川高考）已知函数在在时时 取得最小值，则取得最小值，则_.3636解：解：因为因为x0,y0, x0,y0, 当且仅当当且仅当 时，上式等号成立，时，上式等号成立， 所以所以x=4,y=12x=4,y=12时时(x+y)(x+y)minmin=16. =16. 3.3.已知已知x0,y0x0,y0，且，且 求求x+yx+y的最小值；的最小值；解：解：因为因为x x0,5-4x0,-2+3=1,-2+3=1,当且仅当当且仅当 即即x=1x=1时，上式等号成立，故当时，上式等号成立，故当x=1x=1时，时，y ymaxmax=1.=1.4.4.已知已知x x 求函数求函数 的最大值的最大值; ;5.5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m4 800 m3 3, ,深为深为3 m3 m，如果池底每，如果池底每1 1 m m2 2的造价为的造价为150150元，元，池壁每池壁每1 m1 m2 2的造价为的造价为120120元，问怎样设计水池才能元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？使总造价最低，最低总造价是多少元？答：答：当水池的底面是边长为当水池的底面是边长为40 m40 m的正方形时，水池的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是的总造价最低，最低总造价是297 600297 600元元总结：总结：利用均值不等式求最值需注意的问题：利用均值不等式求最值需注意的问题： 各数各数( (或式或式) )均为正均为正; ; 和或积为定值和或积为定值; ; 等号能否成立等号能否成立. . 即即“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”， 这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可. . 用谅解、宽恕的目光和心理看人、待人，人就会觉得葱茏的世界里，春意盎然，到处充满温暖. 蔡文甫