抽象函数专题分析1满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函数型抽象函数2满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是对数函数型抽象函数3满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指数函数型抽象函数研究性学习研究性学习“五步五步曲曲” 课题：课题： 抽象函数抽象函数数学复习教学中的数学复习教学中的1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则 f(x)是()AA奇函数B偶函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数2函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)()A13B213C.22D.13C3设奇函数 f(x)满足：对xR 有 f(x1)f(x)0，则 f(5)_.04已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，对 xR 都有 f(2x)f(2x)，当 f(3)2 时，f(2 013)的值为_.25已知函数 f(x)的定义域为 R，并且对任意正数 x，y 都有f(xy)f(x)f(y)，则(1)f(1)_；012考点1 正比例函数型抽象函数例1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且 x0 时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问在3x3 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由(1)证明：令xy0，则有f(0)2f(0)f(0)0.令yx，则有f(0)f(x)f(x)即f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)解：任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2)yf(x)在R上为减函数因此f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函数最大值为6，最小值为6.(1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)0f(x)是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性(2)小技巧判断单调性：设x10f(x2x1)0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)，得到函数单调递减【互动探究】1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则下列错误的是()D考点2 对数函数型抽象函数(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)解不等式 f(2x21)1时f(x)0，f(2)1.(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x，x21，则有f(x)f(x)f(1)证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小的常用方法运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点【互动探究】当 f(x)lgx 时，上述结论中正确结论的序号是_.考点3 指数函数型抽象函数例3：定义在 R 上的函数 yf(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1，且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b)(1)求证：f(0)1；(2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；(3)求证：f(x)是 R 上的增函数；(4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范围(1)指数函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)1(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函数，3xx20.0x3.(2)小技巧判断单调性：设x1x2，x1x20，则f(x1x2)1.f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函数是增函数【互动探究】3设指数函数 f(x)ax(a0 且 a1)，则下列等式正确的有_(填序号)考点考点4 一次一次函数模型函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y) 例例4 4: :解：解：解法解法2： 例例5： 解解： 例例6 6 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x| x f(x)3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x-3 D. x|0 x3或或 -3 x 3，有，有 f (x) 0. 得得x f (x) 0，故，故 x 3不符合要求不符合要求.按奇函数的对称性，按奇函数的对称性，x -3也符合要求也符合要求. 从而淘汰从而淘汰A、B、C. 答案是答案是D. 这就是所谓的淘汰法这就是所谓的淘汰法.【例例】 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0【手段手段2】（直选与筛选并用）（直选与筛选并用）按对称性，按对称性，0 x 0. 此时有此时有x f (x) 0. 故故-3 x 0为所求为所求.由由 x f (x) 0，知点（，知点（ x ，y）在第二或第四象限）在第二或第四象限. 【说明说明】 手段手段2变成了直选法变成了直选法. 和手段和手段1一样，都可通过观察法完成，不需动笔一样，都可通过观察法完成，不需动笔.【手段手段3】 （图解法（图解法1）据题设条件作据题设条件作 y=f (x)草图草图(右右). 在图中找出在图中找出 f(x)与与x异异号的部分号的部分,可以看出可以看出 x f(x) 0的解集为的解集为 x|0 x 3或或 -3 x 0，选，选D. 【例例】 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0时的图象时的图象(右右) 即可即可.不等式不等式 x f(x) 0. f(x) 0，借助图象得，借助图象得0 x 3. 由对称性得由对称性得x f(x) 0的解集为的解集为 x|0 x 3或或 -3 x 0，故选，故选D.【例例】 若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f (-3)=0，则，则 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0【手段【手段5】（特殊值法）】（特殊值法）借助图（借助图（2）, 取特殊值取特殊值 x=2, 知知 f(2) 0符合条件符合条件 x f(x) 0，故，故0 x 3为所求为所求.按对称性，按对称性，-3 x 0，则有，则有x f(x) 0，从而淘汰，从而淘汰C.答案为答案为D.【手段手段7】（特殊式法）（特殊式法）符合抽象函数符合抽象函数 f(x)性质的一个具体函数为性质的一个具体函数为 y=x-3 （x 0时），令时），令 xy = x(x -3) 0 ，解得解得 0 x 3按对称性还有按对称性还有 -3 x 0答案为答案为D.【说明说明】 手段手段6，体现的，体现的“不择手段不择手段”极为有趣极为有趣. 朦胧中碰上了朦胧中碰上了“列不等式列不等式”和和“解不等式解不等式”. 此时，若你要去问这个理论，则你不是个书呆子，就是个老学究此时，若你要去问这个理论，则你不是个书呆子，就是个老学究. 当然，解决抽象函数的方法和技巧多种多样，如：合理赋值，整体思考，借助特殊点，利用递推式等。有的时候需要运用多种方法和手段。思想与方法6转化与化归思想解信息给予题例题：对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为 G 函数：对任意的x0,1，总有f(x)0；当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立已知函数g(x)x2与h(x)2xb是定义在0,1上的函数(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合一般地，一个抽象函数都对应着我们非常熟悉的基本函数，在中学阶段，我们主要学习正比例函数型、对数型、指数型以及三角函数类型，因此在学习时应把握对题型的联想与分析，力争事半功倍f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)分别是正比例、对数、指数函数的抽象形式，解题时可以由具体函数的性质知道我们思考的方式及解题的步骤，但不能用具体函数来代替抽象的解析式