三元一次方程组的解法问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？1 1三元一次方程（组）的有关概念三元一次方程（组）的有关概念1.三元一次方程：含有三元一次方程：含有_未知数，并且含有未知数未知数，并且含有未知数 的的项的次数都是的次数都是_，像，像这样的方程叫做三元一次方程的方程叫做三元一次方程必必备条件：条件： (1)是是_方程；方程；(2)含含_未知数；未知数；(3)含未知数的含未知数的 项的次数都是的次数都是_.2三元一次方程三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含：含有三个未知数，每个方程中含 未知数的未知数的项的次数都是的次数都是1，并且一共有三个方程，并且一共有三个方程， 像像这样的方程的方程组叫做三元一次方程叫做三元一次方程组三个三个1整式整式三个三个1必必备条件：条件：(1)是整式方程；是整式方程；(2)含三个未知数；含三个未知数；(3)三个都是一次方程；三个都是一次方程；(4)联立在一起立在一起3易易错警示：警示：(1)误认为三元一次方程三元一次方程组中每个方程必中每个方程必须是三元一是三元一 次方程，次方程，实际上只需方程上只需方程组中共有三个未知数即可；中共有三个未知数即可；(2)把含有未知数的把含有未知数的项的次数的次数为1误认为未知数的次未知数的次 数数为1. 1 1三元一次方程（组）的有关概念三元一次方程（组）的有关概念1下列方程是三元一次方程的是下列方程是三元一次方程的是_ (填序号填序号) xyz1 4xy3z7 y7z0 6x4y302 其中是三元一次方程其中是三元一次方程组的是的是_(填序号填序号)基础课堂精讲精练精精 练练3若若(a1)x5yb12z2|a|10是一个关于是一个关于x， y，z的三元一次方程，那么的三元一次方程，那么a_， b_102 2三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法1.解三元一次方程解三元一次方程组的基本思路：通的基本思路：通过“代入代入”或或 “加减加减”进行消元，把行消元，把“_”化化为“_”， 使三元一次方程使三元一次方程组转化化为二元一次方程二元一次方程组，进而而 再再转化化为_方程，用方程，用简图表示表示为：三元一次三元一次方程方程组二元一次方二元一次方程组程组一元一一元一次方程次方程消元消元消元消元三元三元二元二元一元一次一元一次2求解方法：加减消元法和代入消元法求解方法：加减消元法和代入消元法3解三元一次方程解三元一次方程组的一般步的一般步骤：(1)利用代入法或利用代入法或 加减法消去三元一次方程加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到的一个未知数，得到 关于另外两个未知数的二元一次方程关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解解这个二元一次方程个二元一次方程组，求出两个未知数的，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的将求得的两个未知数的值代入原方程代入原方程组中的一个中的一个 系数比系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；的方程，得到一个一元一次方程；(4)解解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的将求得的三个未知数的值用符号用符号“”合写在一合写在一 起起 2 2三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法4解三元一次方程解三元一次方程组先消去先消去_，化，化为关于关于_、 _ 的二元一次方程的二元一次方程组较简便便zxy5解方程解方程组若要使运算若要使运算简便，消元便，消元 的方法的方法应选() A消去消去x B消去消去y C消去消去z D以上以上说法都不法都不对B因因为y的系数的的系数的绝对值都是都是1，所以消去，所以消去y较简便便6已知三元一次方程已知三元一次方程组 经过步步骤和和4消去未知数消去未知数z后，得后，得 到的二元一次方程到的二元一次方程组是是() A. B. C. D.A3 3三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用（1）弄清）弄清题意和意和题目中的数量关系，用字母（如目中的数量关系，用字母（如 x,y,z）表示）表示题目中的数量关系目中的数量关系. (2)找出能找出能够表达表达应用用题全部含全部含义的三个相等关系的三个相等关系. (3)根据根据这些相等关系列出代数式，从而列出方程，些相等关系列出代数式，从而列出方程， 并并组成方程成方程组. (4)解解这个方程个方程组求出未知数的求出未知数的值. (5)写出答案，包括写出答案，包括单位名称位名称. 3 3三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用7(2015滨州州)某服装厂某服装厂专门安排安排210名工人名工人进行行 手工手工衬衣的衣的缝制，每件制，每件衬衣由衣由2个衣袖、个衣袖、1个衣个衣 身、身、1个衣个衣领组成如果每人每天能成如果每人每天能够缝制衣袖制衣袖 10个，或衣身个，或衣身15个，或衣个，或衣领12个，那么个，那么应该安安 排排_名工人名工人缝制衣袖，才能使每天制衣袖，才能使每天缝制制 出的衣袖、衣身、衣出的衣袖、衣身、衣领正好配套正好配套120忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组1 18下面是小明解三元一次方程下面是小明解三元一次方程组的消元的消元过程，当他程，当他 解到第三步解到第三步时，发现还是无法求出方程是无法求出方程组的解，的解， 请帮小明分析解帮小明分析解题的的错因，并加以改正因，并加以改正解方程解方程组： 错解解第一步：第一步：，得，得(消消y)xz6，第，第 二步：二步：，得，得(消消z)yx3，第三步：由，第三步：由 组成方程成方程组，得，得此方程此方程组 无法求解无法求解错解原因是解原因是消元的目的不明确消元的目的不明确，消元，消元时，应始始终对同同一个未知数一个未知数进行，否行，否则就达不到消元的目的就达不到消元的目的正解：正解：，得，得yx3，由由组成方程成方程组，得，得解得解得将将x12代入代入，得，得z18. 方程方程组的解的解为加减消元时，易漏乘某项系数而出错加减消元时，易漏乘某项系数而出错2 29解方程解方程组由由2，得，得4x3x6z2z4，即即7x8z4.，由由2，得，得6x4x4zz41，即即2x3z3.由由组成方程成方程组，得，得解得解得把把代入代入，得，得y2.所以原方程所以原方程组的解的解为解三元一次方程解三元一次方程组时，通常需在某些方程两，通常需在某些方程两边同乘以某常同乘以某常数，以便于消去同一未知数；在数，以便于消去同一未知数；在变形形过程中，易漏乘常数程中，易漏乘常数项而出而出现方程方程变形形为4x2y6z1的的错误名师点金名师点金解三元一次方程解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而减法消去一个未知数，从而变三元三元为二元，然后解二元，然后解这个二元一次方程个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数其基本出另一个未知数其基本过程程为：三元三元二元二元一元一元消元消元消元消元转化转化转化转化1 1巧解较复杂的三元方程组（换元法）巧解较复杂的三元方程组（换元法）10解方程解方程组分析分析此方程组较为复杂，通过观察各个方程可以发现将此方程组较为复杂，通过观察各个方程可以发现将 ， ， 分别看成一个整体，则方程可化为三元一分别看成一个整体，则方程可化为三元一次方程组，再通过三元一次方程组的解法可求解次方程组，再通过三元一次方程组的解法可求解设a，b，c，则原方程原方程组可化可化为，得，得2a2c1，得，得2a4c4.与与组成方程成方程组，得，得解解这个方程个方程组，得，得把把代入代入，得，得b6.因此，因此，x1，y，z.即原方程即原方程组的解的解为本本题运用了运用了换元法元法，将，将， 分分别用用a，b，c表示，表示，将原方程将原方程组化化为关于关于a，b，c的三元一次方程的三元一次方程组，求出，求出a，b，c的的值后，后，进一步再求一步再求x，y，z的的值，这种方法可使解种方法可使解题过程程变简便便2 2巧解含比例的三元方程组（等比法）巧解含比例的三元方程组（等比法）11解方程解方程组设xk，y2k，z3k，代入，代入得：得：2k2k9k15.解得解得k3. 原方程原方程组的解的解为像像这种已知未知数之种已知未知数之间数量比的数量比的问题，通常采用，通常采用设参数参数的方法，将的方法，将“多元多元”化化为“一元一元”，使解，使解题过程程变简便便3 3巧解巧解“每个方程中只有二元每个方程中只有二元”的三元一次方程组（整体思想）的三元一次方程组（整体思想）12解方程解方程组：得：得：2x2y2z12，所以所以xyz6，得，得z3.，得，得x1.，得，得y2.所以原方程所以原方程组的解的解为本题没有采用本题没有采用常规的消元方法常规的消元方法求解，而是利用整体加减的求解，而是利用整体加减的方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便4 4代入法、加减法的综合运用（一题多解）代入法、加减法的综合运用（一题多解）13用两种消元法解方程用两种消元法解方程组：方法一：代入法解方程方法一：代入法解方程组把把变形形为：2y3x4z8，将将代入代入得：得：2x2(3x4z8)3z9，整理得，整理得8x11z25.将将代入代入得：得：5x3(3x4z8)5z7，整理得，整理得4x7z17.由由组成成方程方程组，得得解得解得将将代入代入，得，得y. 此方程此方程组的解的解为方法二：加减法解方程方法二：加减法解方程组2得：得：8x11z25.32得：得：16x19z41.由由、，得，得解得解得将将代入代入，得，得y. 此方程此方程组的解的解为5 5利用三元一次方程组求有关式子的待定系数利用三元一次方程组求有关式子的待定系数14当当x1，1，3时，yax2bxc的的值分分别为1， 4，0，求当，求当x2时，y的的值由由题意得：意得：解得解得 yx2x.当当x2时，y22213.6 6利用方程组解实际应用问题利用方程组解实际应用问题15有三有三块牧牧场，草，草长得一得一样密一密一样快，面快，面积分分别 为3 公公顷，10公公顷和和24公公顷，第一，第一块12头牛可牛可 吃吃4星期，第二星期，第二块21头牛可吃牛可吃9星期，第三星期，第三块可供可供 多少多少头牛吃牛吃18个星期？个星期？设牧牧场每公每公顷原有草原有草 x t，每星期新生草，每星期新生草 y t，每每头牛每周吃草牛每周吃草a t，根据根据题意得意得化化简得：得：得，得，50y45a， y0.9a，将将y0.9a代入代入得得10x400.9a144a， x10.8a， 答：第三答：第三块牧牧场可供可供36头牛吃牛吃18个星期个星期教你一招解三元一次方程解三元一次方程组的消元技巧：的消元技巧：(1)先消去某个方程缺少的未知数；先消去某个方程缺少的未知数；(2)先消去系数最先消去系数最简单的未知数；的未知数；(3)先消去系数成整倍数关系的未知数先消去系数成整倍数关系的未知数另外，在另外，在“消元消元”的的过程中必程中必须保保证每个方程至少每个方程至少用一次用一次