轴对称最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）饮马问题饮马问题如图，牧马人从如图，牧马人从马棚马棚A牵马到牵马到河边河边 l 饮水，然饮水，然后再到帐蓬后再到帐蓬B问：在河边的什么地方饮水，可使问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？所走的路径最短？ ABlABllABCC转化为数学问题转化为数学问题 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC+CB的和最小？的和最小？分析：分析：ABl如果点如果点A、B在直线在直线l的的异侧时异侧时联想：联想：lABC C思考：能把能把A、B两点从两点从直线直线 l 的的同侧转化为异侧吗？同侧转化为异侧吗？ 分析：分析：lABClABC作法及思路分析作法及思路分析1.作点作点B关于直线关于直线 l 的对称点的对称点B ，连接，连接CB。，问题可以转化为，问题可以转化为：当点：当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与CB的和最小？的和最小？如如上右图，在连接上右图，在连接AB两点的线中，线段两点的线中，线段AB最短最短. 因此，线段因此，线段AB与直线与直线 l 的交点的交点C的位置即为所求的位置即为所求.lABCB 2.由上步可知由上步可知AC+CB=AC +CB，思考：当思考：当C在在直线直线 l 的什么位置时的什么位置时AC +CB最最短？短？lABCBC略证：略证：试比较新路径与试比较新路径与AB的大小的大小结论：结论： AC+CB这条路径最短这条路径最短根据前面的分析，我们认为的根据前面的分析，我们认为的根据前面的分析，我们认为的根据前面的分析，我们认为的最短路径最短路径最短路径最短路径是是是是AC+CB=AC+C AC+CB=AC+C B B= = ABAB 在直线在直线 l 上取一个与上取一个与C点不重合的点点不重合的点C新路径新路径= A C + CB =A C + CB问题问题1 归纳归纳lABClABCBlABC转化为数学问题转化为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题ABl提示：提示：本题也可作本题也可作A点关于直线点关于直线l的对称点的对称点变式练习变式练习1 如图，如图，牧马人牧马人要把马要把马从马棚从马棚A牵牵到草地边吃草，到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚然后到河边饮水，最后再回到马棚A. 草 地小 河A问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径. .如图，在如图，在l1、l2之间有一点之间有一点A,要使要使AM+MN+NA最小最小,点点M、N应该应该在在 l1、l2的什么位置的什么位置 ?l1l2AMNAA转化为数学问题转化为数学问题转化为数学问题转化为数学问题l1l2走走A-M- N 路线最短路线最短. MNAAAABPQlMN变式练习变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天，请你帮他确定这一天的最短路线。的最短路线。l2l1PQABABl1l2(3)(3)两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部归纳小结归纳小结2.关键：关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用从而利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”来解决来解决(2)(2)(2)一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部(1)(1)(1)两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧l1l2l l1 1l l2 21.1.学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题（1）如图所示，）如图所示，A，B两点在直线两点在直线l的的一侧，在一侧，在l上找一点上找一点C，使点，使点C到点到点A、B的距离之差最大的距离之差最大（2）若）若A，B两点在直线两点在直线l的两侧，在的两侧，在l上找一点上找一点C，使点，使点C到点到点A、B的距离之的距离之差最大差最大AB