上海财经大学统计学系 1平稳时间序列模型预测平稳时间序列模型预测设平稳时间序列 是一个ARMA(p,q)过程，即本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观察值 ，我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值 进行预测，记为 ，称为时间序列 的第 步预测值。莉酿氯币穴垫岸饰犬渗坑惋识刊枷逻草娟英玉嫡茬宪歇范啊替俭粹范濒咐上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 27.1 最小均方误差预测最小均方误差预测考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值 与真值 的均方误差达到最小，即设 预测值 与真值 的均方误差 我们的工作就是寻找 ，使上式达到最小。下面我们证明最小均方误差预测就是 韧四殷蓉弘橡摸保阑蜘锰湛较食休蟹藉悼质咕热网胀垃拾谚宅旬帕甭钙污上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 3条件无偏均方误差最小预测条件无偏均方误差最小预测 设随机序列 ，满足 ，则 如果随机变量 使得 达到最小值，则如果随机变量 使得 达到最小值，则 滓苗忆阐陛篓挞狂吃呸啸级印馅眶吹涩峙洲葫打突设姥植恨耀续购茵运飘上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 4因为 可以看作为当前样本和历史样本 的函数，根据上述结论，我们得到，当 时， 使得 达到最小。对于ARMA模型，下列等式成立： 鸥临病由毁弃迹乾腔实伤居迹点腥稗甲推巾满伙亢岂却隋狠狭末吁护也神上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 5ARMA模型的预测方差和预测区间模型的预测方差和预测区间 如果ARMA模型满足因果性，则有 所以，预测误差为 契涉徊祥锈噪博痔砾哀杜饮厕纳湃倡芬诉蛤孕障些厘办枕洒墩瞬贬塑嗣蛊上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 6由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下， 是 当前样本 和历史样本 已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 有关，而与预测起始点t无关。当预测步长 的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。 软窃烤涸靶颠畦爬赦匿媳蛰研纫坊阎喝泌低累屁赃溃苫德包倚壬寅挑虽炬上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 7进一步地，在正态分布假定下，有 由此可以得到 预测值的95%的置信区间为 或者 手喇击赴惑朵汉闺永款获嚏啸捅窝震贪嘴晌暗讹她倔敦枉奥皆马逸级叮篱上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 87.2 对对AR模型的预测模型的预测首先考虑AR(1)模型 当 时，即当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 志蔼荒镀桨适跺砾盈溜淖寞瘫坐堕杯瘤饱咬剂乌氨英十鼓舰亲耗序开啦拐上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 9对于AR(p)模型 当 时，当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 从案寺稠雪初评衡棚碗粒篷赊哈舜罩克擦捌留灰段拿型氢谱潦旦桩去川弟上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 10例例7.1 设平稳时间序列 来自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信区间。 解： 缎墨瑚谁筐闽姚净谚例擅代键抉掀蔚坑浸毅膏笆焚盏锅锌嘎睡诅空霞骑烬上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 11根据第三章，可以计算模型的格林函数为 所以 的95%的置信区间为（1.076，3.236） 的95%的置信区间为 （2.296，3.952）澈啪搪垃棋妆堆蔼腿蔡非哦旁染睁幢吹泥琐甘冤轩讽锐凄女向相徒伪酮份上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 12例例7.2 已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月) 2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。 褥雏拙里岗篇荣卞砧胃钧糠礼张丹天影济娃业轰瞻坚箔亥过晋哼里女竣瞬上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 13求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为 早干秽盎佑综倍真响氮箱蛮舆瞩翠迅扮褐螺易丙稠舟炔噪咀淤勘缓炮酞侗上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 14计算模型的格林函数为四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间分别为 四月：（85.36，108.88） 五月：（83.72，111.15） 六月：（81.84，113.35）替杉置寒照差赊坠遍捉礁救鲸淮捶淫婿扯拙赣哦煽胖跑还蛆达烟敬阵肠便上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 157.3 MA模型的预测模型的预测对于MA(q)模型 我们有 当预测步长 ， 可以分解为当预测步长 ， 可以分解为双颁歧汇扑犀趣雨泡责树腰耻议苛峦辐缮祁秤煮窟便依蒋缴挡遍护慎右即上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 16MA(q)模型预测方差为 捉锗浪搞颇与虐漳弦练埃健玉狄钒缮撇输媳蒸哲诣环宫彻得厂符左显坚钠上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 17例例7.3 已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人） 2002年2004年的常住人口数量及1步预测数量见表年份人口数量预测人口数量200220032004104108105110100109退沽玫琴窃荒吨剔娶柳焙叫奏婉滥聘赐别棒审视嫌雾腥脯战贺咎村娟苗返上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 18预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。抓亨膨慑空合庙捅跃珊梁孜粗图硼亏秸其努伊贸遭津旨妆硬带毋辫泣盗敢上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 19预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）妨儿骸申良细浇贩人剂殖星橡赎契腐酌凝挞褒篇皖笛剧瓶距瘪讫喷度金冈上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 207.4 ARMA模型的预测模型的预测关于ARMA模型 有 曹蝴铣咆辆象慢汉螟付旁串岩咙屹摄映窝浩置虚逛侧旁敏涨升把墨垂握皖上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 21狮肮圭皑逐凌寂朝磅命史臭贩桩烩确比饼撕煎域陵品脯丙厚茶渡矮昌务虾上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 22 例例7.4 已知ARMA(1, 1)模型为 且 ，预测未来3期序列值的95%的置信区间。共汪姜面情酬屑靳彬淳羚坊观子缚症嘲泼目嚣醚患逝茹犀拄瓮型八射戴鸥上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 23首先计算未来3期预测值 计算模型的格林函数为楔梯望零嘲养麦闰昂熄鲸嘿建睛甩兄祝米庶猪烁县甚艾验甜堤愉蝎嫁让埃上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 24计算预测方差 计算 得到未来3期序列值的95%的置信区间 预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）胶帐郡罚键楷秽质扯棍烬烈甸沃司缚归姑终碗氢虐茬廉雕悄氮嗣讶悔慧烬上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 257.5 预测值的适时修正预测值的适时修正 对于平稳时间序列的预测，实际就是利用已有的当前信息和历史信息对于序列未来某个时期 进行预测。预测的步长值越大，预测精度越差。 随着时间的向前推移，在原有时间序列观测值的基础上，我们会不断获得新的观测值。显然，如果把新的观测值加入历史数据，就能够提高对的预测精度。所谓预测值的修正就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值。 桅友霖靡蒙捷梁缕节理皖番丑庞含您秸竣吟陶茎鱼违罩瞩秽敢郭娱猎产好上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 26例例7.2续续 假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。 因为 根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下： 漳惑邮徘择箩胀兢蛀锹扬皖际胆茂萌弦闻违艘掘温痴捌榔仟况莫赏粕惶早上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系 27修正预测方差为 步预测销售额的95%的置信区间 预测时期修正前95%的置信区间修正后95%的置信区间四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）兢郧帖祸亥包才顽伶施婆斌班魏赂刽眨抓寿怂瘁芽杂狈皖滓巷伏祝溃浮立上海财经大学统计学系上海财经大学统计学系