北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 给角求值给角求值对于公式中角的再认识：对于公式中角的再认识：(1)(1)对于公式中出现的角不仅是局限于具体的角，也可以是对于公式中出现的角不仅是局限于具体的角，也可以是一些角所构成的一些一些角所构成的一些“小团体小团体”，比如，比如 中的中的“ ”相当于角相当于角.“ ”相当于角相当于角.可用两角差的余弦公式展开可用两角差的余弦公式展开. .(2)(2)公式中的左右两边出现的角公式中的左右两边出现的角( (小团体小团体) )始终是两个，当出始终是两个，当出现多个时要善于观察这些角之间的关系，善于运用诱导公现多个时要善于观察这些角之间的关系，善于运用诱导公式进行转换，使之符合公式所具备的结构特征，便于进行式进行转换，使之符合公式所具备的结构特征，便于进行化简和求值化简和求值. .【例例1 1】求值：求值：(1)sin43(1)sin43cos13cos13-sin13-sin13sin47sin47(2)cos(-35(2)cos(-35) )cos(25cos(25+)+sin(-+)+sin(-3535) )sin(25sin(25+).+).(3)(3)【审题指导审题指导】利用公式求值时，要从角和式子结构两方面利用公式求值时，要从角和式子结构两方面综合考虑，综合考虑，(1)(1)中出现了中出现了3 3个角，但注意到个角，但注意到4343与与4747可以可以用诱导公式转换从而可以选择公式求值用诱导公式转换从而可以选择公式求值.(2).(2)中出现的角是中出现的角是“小团体小团体”的形式，要把的形式，要把“-35-35”看作角看作角“”，把，把“2525+”看作角看作角“”再逆用两角差的余弦公式再逆用两角差的余弦公式.(3).(3)需需要先把特殊值化成角的三角函数再逆用公式化简求值要先把特殊值化成角的三角函数再逆用公式化简求值. .【规范解答规范解答】(1)(1)原式原式=sin43=sin43cos13cos13-sin13-sin13cos43cos43(2)(2)原式原式=cos(-35=cos(-35)-(25)-(25+)+)(3)(3)原式原式=sin45=sin45cos15cos15+cos45+cos45sin15sin15 给值给值( (式式) )求值求值 关于运用公式求值中关于运用公式求值中, ,角的变换的几点说角的变换的几点说明：明：解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系，具体有以下几种情况：件中角的运算关系，具体有以下几种情况：(1)(1)当当“已知角已知角”有两个时，有两个时，“所求角所求角”一般表示为两个一般表示为两个“已知角已知角”的和或差的形式的和或差的形式. .(2)(2)当当“已知角已知角”有一个时，此时应着眼于有一个时，此时应着眼于“所求角所求角”与与“已知角已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求所求角角”变成变成“已知角已知角”. .如如: :已知角已知角 的相关三角函数值，那么要求角的相关三角函数值，那么要求角的三角函数值，就可以利用的三角函数值，就可以利用 变换得到变换得到. .(3)(3)角的拆分方法不唯一角的拆分方法不唯一. .如：如：=(+)-,=-(-),=(2-)-(-),=(+)-,=-(-),=(2-)-(-), 等等. .至于运用哪种拆分方法，要根据题目合理选择至于运用哪种拆分方法，要根据题目合理选择. . 正确把握角的变换方式后，在求已知角的三正确把握角的变换方式后，在求已知角的三角函数值时要注意符号的选取角函数值时要注意符号的选取. .【例例2 2】已知已知 、均为锐角，均为锐角，求求coscos的值的值. .【审题指导审题指导】根据根据 和和为锐角可求出为锐角可求出sinsin和和cos,cos,然后利用角的变换把角然后利用角的变换把角表示成表示成(+)-(+)-，再利，再利用公式求值用公式求值. .【规范解答规范解答】 且且为锐角，为锐角， 即即又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1, =1, 0 0+,而而=(+)-,cos=cos=(+)-,cos=cos(+)-(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=cos(+)cos+sin(+)sin【例例】已知已知求求cos(cos()的值的值. .【审题指导审题指导】本题是一道考查公式的综合题，由于本题是一道考查公式的综合题，由于cos(cos()coscos+sinsincoscos+sinsin，欲求，欲求cos(cos()的值，的值，只需将已知两式平方相加求出只需将已知两式平方相加求出coscos+sinsincoscos+sinsin即可即可【规范解答规范解答】由已知由已知 得：得：由由 得：得：由由得得即：即： 给值求角给值求角 已知三角函数值求角的步骤：已知三角函数值求角的步骤：(1)(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. .(2)(2)求所求角的某种三角函数值：为防止增解最好选取在上求所求角的某种三角函数值：为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数述范围内单调的三角函数. .(3)(3)结合三角函数值及角的范围求角结合三角函数值及角的范围求角. .【例例】已知已知，均为锐角，且均为锐角，且求求-的值的值. .【审题指导审题指导】根据根据、都是锐角，应该选取求都是锐角，应该选取求-的的正弦值，再根据正弦值，再根据-的范围确定大小的范围确定大小. .【规范解答规范解答】sin(-)=sincos-cossinsin(-)=sincos-cossin又又 辅助角公式辅助角公式1.1.辅助角公式辅助角公式逆用两角和与差的三角公式将逆用两角和与差的三角公式将asinx+bcosxasinx+bcosx引入辅助角合并引入辅助角合并为为 ( (其中其中为辅助角且为辅助角且 ) )的形式，的形式，称之为辅助角公式称之为辅助角公式, ,即即 ( (其中其中 ) )；2.2.辅助角公式化简的步骤及应用辅助角公式化简的步骤及应用(1)(1)“提提”常数常数即提取即提取 使使asinx+bcosxasinx+bcosx变成变成(2)(2)“定定” 值值令令 确定辅助角确定辅助角 的值的值. .(3)(3)用处多用处多 利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期，值利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期，值域，单调性，对称性等很多问题域，单调性，对称性等很多问题. .【例例3 3】若函数若函数 (1)(1)把把f(x)f(x)化成化成Asin(x+ )Asin(x+ )的形式；的形式；(2)(2)判断判断f(x)f(x)在在 上的单调性，并求上的单调性，并求f(x)f(x)的最大值的最大值. .【审题指导审题指导】本题关键是对本题关键是对f(x)f(x)进行合理化简，然后利用进行合理化简，然后利用三角函数的相关性质，求单调性及最值三角函数的相关性质，求单调性及最值. .【规范解答规范解答】 f(x)f(x)在在 上单调递增，上单调递增，在在 上单调递减，上单调递减，当当 时，时，f(x)f(x)有最大值有最大值2.2.【典例典例】(12(12分分) )求值：求值：【审题指导审题指导】注意到注意到1010，5050与特殊角与特殊角6060的关系，然后的关系，然后化切为弦通分化简化切为弦通分化简. .【规范解答规范解答】方法一：方法一：原式原式 3 3分分 6 6分分 9 9分分 -2. -2. 1212分分方法二：原式方法二：原式 3 3分分 6 6分分 9 9分分 12 12分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.对等式对等式sin(+)=sin+sinsin(+)=sin+sin的认识是的认识是( )( )(A)(A)对任意的角对任意的角、都成立都成立(B)(B)只对只对、取几个特殊值时成立取几个特殊值时成立(C)(C)对于任何角对于任何角、都不成立都不成立(D)(D)有无限个有无限个、的值使等式成立的值使等式成立【解析解析】选选D.sin(+)=sin+sin(*)D.sin(+)=sin+sin(*)尽管对任意的尽管对任意的、不成立，但当不成立，但当、取某些特殊值时是成立的取某些特殊值时是成立的. .由于由于sin(+)=sincos+cossin,sin(+)=sincos+cossin,而而sin(+)= sin(+)= sin+sin,sin+sin,如令如令cos=1cos=1且且cos=1.cos=1.使使=2k(kZ),=2k(kZ),则则(*)(*)成立，故选成立，故选D.D.2. 2. 是锐角，则是锐角，则 =( )=( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)【解析解析】选选A.A.由由 是锐角知是锐角知3.cos803.cos80cos35cos35+sin80+sin80cos55cos55的值是的值是( )( )【解析解析】选选A.A.原式原式=cos80=cos80cos35cos35+sin80+sin80sin35sin35=cos(80=cos(80-35-35)=cos45)=cos454.4.函数函数f(x)=sinx+cosx+1(xR)f(x)=sinx+cosx+1(xR)的最大值是的最大值是_._.【解析解析】 所以所以f(x)f(x)的最大值为的最大值为答案：答案：5.5.若若 求求cos2cos2的值的值【解析解析】 于是于是cos2cos2cos(+)+(-)cos(+)+(-)cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)