正 方 形 习题课八年级数学(下） 四四边边形形 静宁三中 马多志 2010年5月正方形的定义正方形的定义矩形的性质矩形的性质既是既是矩形矩形矩形矩形又是又是菱形菱形菱形菱形 正方形正方形正方形正方形谈谈你记忆中的谈谈你记忆中的正方形正方形具有具有矩形矩形矩形矩形和和菱形菱形菱形菱形的的的的一切性质一切性质一切性质一切性质矩形的判定矩形的判定既是既是矩形矩形矩形矩形又是又是菱形菱形菱形菱形 正方形正方形正方形正方形 一组一组邻边相等的矩形邻边相等的矩形是是正方形正方形 一个一个角为角为直角的菱形直角的菱形是是正方形正方形有有一组邻边相等一组邻边相等并并且有一个且有一个角是角是直角的平行四边形直角的平行四边形是是正方形正方形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形矩形矩形矩形菱形菱形菱形菱形有一直角有一直角有一直角有一直角 有一组有一组有一组有一组邻边相等邻边相等邻边相等邻边相等正方形正方形正方形正方形 有一组有一组有一组有一组邻边相等邻边相等邻边相等邻边相等有一直角有一直角有一直角有一直角1 1、选择题：、选择题： 、下列判断中正确的是（、下列判断中正确的是（ ） A A、四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形 B B、四角相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形 C C、对角线垂直的平行四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形 D D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形、在四边形、在四边形ABCDABCD中中O O是对角线的交点，能判定这个四边形是是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（正方形的是（ ） A A、AC = BDAC = BD，ABCDABCD，AB = CD AB = CD B B、ADBCADBC，A = C A = C C C、AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，ACBD ACBD D D、AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，AB=BCAB=BC辨析判别，加深理解辨析判别，加深理解辨析判别，加深理解辨析判别，加深理解2 2、回答问题：、回答问题： 、对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ 、对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？果不是，应该加上什么条件？、能说能说“四条边都相等的四边形是正方形吗？四条边都相等的四边形是正方形吗？”为什么？为什么？、能说能说“四个角都相等的四边形是正方形吗？四个角都相等的四边形是正方形吗？”为什么为什么？证明：连接证明：连接ACAC，PCPC四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 BDBD垂直平分垂直平分AC AC （ ） PAPA= =PCPC （ ） PEBCPEBC ，PFCDPFCD PEC=PEC=PFC= 90PFC= 90又又 ECF= 90ECF= 90（ ） 四边形四边形PECFPECF是矩形（是矩形（ ） PCPC= =EFEF （ ） PAPA= =EFEF 体会推理，思考根据体会推理，思考根据1 1、过正方形、过正方形ABCDABCD对角线对角线BDBD上的一上的一点点P P，作，作PEBCPEBC于于E E，PFCDPFCD于于F F求证：求证：AP=EFAP=EF体会推理，思考根据体会推理，思考根据2 2、ACAC为正方形为正方形ABCDABCD的对角线，的对角线，E E为为ACAC上一点，且上一点，且AB=AEAB=AE，EFACEFAC交交BCBC于于F F，求证：求证：EC=EF=FBEC=EF=FB证明：证明： 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 B=DCB=90B=DCB=90 （ ） ACB=45 ACB=45 （ ）FEACFEAC AEF= B AEF= B 又又 AB=AE AB=AE， AF=AF=AFAF ABFAFE ABFAFE（ ） BF=EF BF=EF 又又EFC=AEF-ACB=45=ACB EFC=AEF-ACB=45=ACB EC=EFEC=EF（ ） BF=EF=ECBF=EF=EC 体会推理，思考根据体会推理，思考根据3 3、如图，、如图，E E是正方形是正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC上上一点，一点，EFADEFAD，F F是垂足，若是垂足，若EF=6EF=6，BE=10BE=10，求这个正方形的面积，求这个正方形的面积. .解：延长解：延长FEFE交交BCBC于于G G四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 BAD=BAD=ABC= 90ABC= 90（ ） EFADEFAD AFE= 90AFE= 90 四边形四边形ABGFABGF是矩形（是矩形（ ） AF=BG AF=BG （ ） EGB= 90 EGB= 90 （ ） DAC=45 DAC=45 （ ） AF=EF=6 AF=EF=6 BG=6BG=6G G在在RtEGBRtEGB中中EGEG2 2=BE=BE2 2-BG-BG2 2 =10=102 2-6-62 2=8=82 2EG=8EG=8AB=FG=EF+EGAB=FG=EF+EG =6+8=14 =6+8=14S S正方形正方形=AB=AB2 2=196=196解：延长解：延长CDCD到到F F，使，使DF=BMDF=BM，连接，连接AFAF 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 ADF=ADF=ADF=ADF=B= 90B= 90（ ） AD=AB AD=AB （ ） ADFADFABM ABM （ ） AF=AMAF=AM， DAF=DAF=BAMBAM DAF+DAF+DAM=DAM=BAM+BAM+DAMDAM即即 FAM=FAM=DAB=90DAB=90 CM+CN+MN=CD+CB CM+CN+MN=CD+CB （ ）即即 CM+CN+MN=DN+CM+CN+BMCM+CN+MN=DN+CM+CN+BM体会推理，思考根据体会推理，思考根据4 4、如图，在正方形、如图，在正方形ABCDABCD中，中，M M是是BCBC上一点，上一点，N N是是CDCD上一点，且上一点，且MCNMCN的周长等于正方形周长的一的周长等于正方形周长的一半，半，MANMAN的度数。的度数。F F MN=DN+BMMN=DN+BM MN=DN+DF=MN=DN+DF=FNFN AFNAFNAMN AMN （ ） FAN=FAN=NAMNAM又又 FAN+FAN+NAM=NAM=FAM=90FAM=90 NAM=45.NAM=45.思考分析，写出推理思考分析，写出推理1 1、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，F F是是CDCD上的上的点，点，E E是是BCBC延长线上的点，延长线上的点，CE=CFCE=CF求证：求证：BF=DEBF=DE2 2、正方形、正方形ABCDABCD中，对角线的交中，对角线的交点为点为O O，E E是是OBOB上的一点，上的一点，DGAEDGAE于于G G，DGDG交交OAOA于于F F 求证：求证：OE = OFOE = OF思考分析，写出推理思考分析，写出推理3 3、已知：如图，、已知：如图，ABCDABCD和和AKLMAKLM都都是正方形，是正方形，求证：求证：MD=KBMD=KB。4 4、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD相交相交于于O O点，点，EF/ABEF/AB与与OAOA、OBOB分别交于分别交于E E、F F 求证：求证：BE=CFBE=CF思考分析，写出推理思考分析，写出推理5 5、如图如图: :正方形正方形ABCDABCD中中,P,P是是CDCD上一点上一点,BEAP,BEAP于于E,DFAPE,DFAP于于F,F,1=2,1=2,试判断试判断AEAE和和DFDF的关系，的关系，并说明理由。并说明理由。6 6、正方形、正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD交交于点于点O,EO,E是是OBOB延长线上一点延长线上一点, ,ECB=15ECB=150 0, ,求证求证:EC=BD:EC=BD思考：思考： 以以ABCABC的三边在的三边在BCBC同侧分别作三个等边三角形同侧分别作三个等边三角形ABDABD，BCE ,ACF,BCE ,ACF,试回答下列问题：试回答下列问题：1.1.四边形四边形ADEFADEF是什么四边形？为什么？是什么四边形？为什么？2.2.当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADEFADEF是矩形？是矩形？3.3.当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADEFADEF是菱形？是菱形？4.4.当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADEFADEF是正方形？是正方形？四个村庄四个村庄A A、B B、C C、D D正好处在一个正方形的四个顶点，正好处在一个正方形的四个顶点，现计划在这四个村庄联合架设一条线路，设计四种方现计划在这四个村庄联合架设一条线路，设计四种方案，请问：哪案，请问：哪 一种最省钱一种最省钱? ?ABCDABCDABCDOABCDEF30