内容提要内容提要7.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性 7.27.2 描述函数描述函数 7.3 7.3 描述函数法描述函数法前前面面几几章章讨讨论论的的都都是是线线性性系系统统，实实际际上上所所有有的的实实际际系系统统都都不不可可避避免免地地带带有有某某种种程程度度的的非非线线性性，只只要要具具有有一一个个非非线线性性环环节节，就就称称作作非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统，因因此此严严格格的的说所有系统都是非线性系统。说所有系统都是非线性系统。本本本本章章章章将将将将主主主主要要要要讨讨讨讨论论论论关关关关于于于于非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统的的的的基基基基本本本本概概概概念念念念，以以以以及及及及其中的一种基本分析方法：其中的一种基本分析方法：其中的一种基本分析方法：其中的一种基本分析方法：描述函数法描述函数法描述函数法描述函数法。7.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性在在控控制制系系统统中中，若若控控制制装装置置或或元元件件其其输输入入输输出出间间的的静静特特性性曲曲线线，不不是是一一条条直直线线，则则称称为为非非非非线线线线性性性性特特特特性性性性。如如果果这这些些非非线线性性特特性性不不能能采采用用线线性性化化的的方方法法来来处处理理，称称这这类类非非线线性性为为本本本本质质质质非非非非线线线线性性性性。为为简简化化对对问问题题的的分分析析，通通常常将将这这些些本本质质非非线线性性特特性性用用简简单单的的折折线线来来代代替替，称称为为典典典典型型型型非非非非线线线线性特性性特性性特性性特性。7.1.1典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类1 1饱和特性饱和特性饱和特性饱和特性饱饱和和特特性性的的静静特特性性曲曲线线如如图图7-1所所示示，其其数数学学表表达达式为式为 式式中中，a为为线线性性区区宽宽度度；k为为线线性性区区斜斜率率。饱饱和和特特性性的的特特特特点点点点是是：输输入入信信号号超超过过某某一一范范围围后后，输输出出不不再再随随输输入入的的变变化化而而变变化化，而而是是保保持持在在某某一一常常值值上上。饱饱和和特特性性在在控控制制系系统统中中是是普普遍遍存存在在的的，常常见见的的调调节节器就具有饱和特性。器就具有饱和特性。 yxka-a0图图7-1 饱和特性饱和特性M-M其数学表达式为其数学表达式为yxka-a0图图7-2 死区特性死区特性2 2死区特性死区特性死区特性死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零，其静持性关系如图出为零，其静持性关系如图7-2所示。所示。若引入符号函数若引入符号函数 死区小时，可忽略；大时，死区小时，可忽略；大时，需考虑。工程中，为抗干扰，需考虑。工程中，为抗干扰，有时故意引入。比如操舵系有时故意引入。比如操舵系统。统。3滞环特性滞环特性滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入在输入-输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3所示。其数学表达式为：所示。其数学表达式为： 这类特性，当输入信号小于间隙这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当时，输出不变。当xa时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变化时的输出值上，直到变化化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。后，才再线性变化。 例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。yx图图7-3 滞环特性滞环特性0b-ba-a4 4 继电器特性继电器特性继电器特性继电器特性 继继电电器器非非线线性性特特性性一一般般可可用用图图7-47-4表表示示，不不仅仅包包含含死死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：yx图图7-4 继电器特性继电器特性0ama-a -mab-b 特殊情况：特殊情况：特殊情况：特殊情况：(1)若若a0，称这种特性为称这种特性为理想继电理想继电理想继电理想继电 器特性器特性器特性器特性，如图，如图7-5 （a）所示所示.(2)若若m=1，其静特性如图其静特性如图7-5(b)所示，所示， 则称为则称为死区继电器特性死区继电器特性死区继电器特性死区继电器特性.(3)若若m-1，则称为，则称为滞环继电器特性滞环继电器特性滞环继电器特性滞环继电器特性， 如图如图7-5(c)所示。所示。实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。图图7-5 三种继电器特性三种继电器特性（a）理想继电器特性理想继电器特性 （b）死区继电器特性（死区继电器特性（c）滞环继电器特性滞环继电器特性yx0b-b(a)yx图图7-4 继电器特性继电器特性0ama-a -mab-byxa-a0-bb(b)yxa-a0-bb(c) 7.1.2非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征非非线线性性系系统统与与线线性性系系统统最最本本质质的的区区别别为为：由由非非线线性性微微分分方方程程描描述述，不不满满足足叠叠加加原原理理，故故在在非非线线性性系系统统中中将将出出现现一一些些线线性性系系统统见见不不到到的的现现象象，两两者者之之间有着不同的运动规律。间有着不同的运动规律。具体表现在：具体表现在： 上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一些有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非线性。很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非线性。（1）时时域域响响应应曲曲线线形形状状与与输输入入信信号号的的大大小小和和系系统统初初始始条条件件有有关关。而线性系统与之无关。而线性系统与之无关。（2）系系统统的的稳稳定定性性也也与与输输入入信信号号的的大大小小和和系系统统初初始始条条件件有有关关，如如小小偏偏差差时时是是稳稳定定的的，大大偏偏差差时时是是不不稳稳定定的的。而而线线性性系系统统的的稳稳定定性性仅仅取决于系统的结构和参数。取决于系统的结构和参数。（3）频频率率响响应应与与线线性性系系统统不不同同。对对于于线线性性系系统统，输输入入是是正正弦弦函函数数时时，其其稳稳态态输输出出也也是是同同频频率率的的正正弦弦函函数数，可可以以用用频频率率特特性性来来描描述述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。而非线性系统输出是非正弦周期函数。（4 4）自自自自激激激激振振振振荡荡荡荡无无无无外外外外界界界界周周周周期期期期信信信信号号号号输输输输入入入入时时时时产产产产生生生生的的的的稳稳稳稳定定定定振振振振荡荡荡荡。对对对对于于于于线线线线性性性性二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统，也也也也会会会会出出出出现现现现等等等等幅幅幅幅振振振振荡荡荡荡，但但但但不不不不会会会会是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的振振振振荡荡荡荡（WhyWhy？）。 可可可可见见见见，非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统要要要要比比比比线线线线性性性性系系系系统统统统复复复复杂杂杂杂的的的的多多多多，会会会会存存存存在在在在多多多多种种种种运运运运动动动动状状状状态态态态。已无法用线性系统理论解释或分析已无法用线性系统理论解释或分析已无法用线性系统理论解释或分析已无法用线性系统理论解释或分析 ，必须应用非线性理论来研究。，必须应用非线性理论来研究。，必须应用非线性理论来研究。，必须应用非线性理论来研究。7.1.3非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟，法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：上常用的方法有以下几种：（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，实质上是应用实质上是应用谐波线性化谐波线性化谐波线性化谐波线性化的方法，将非线性特性线性化，的方法，将非线性特性线性化，然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限制。制。（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。（3）计算机求解法：用计算机直接求解非线性微分方）计算机求解法：用计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的。程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的。 本章以本章以本章以本章以系统分析系统分析系统分析系统分析为主，而且是以为主，而且是以为主，而且是以为主，而且是以稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析为核心内为核心内为核心内为核心内容，着重介绍在工程上广泛应用的容，着重介绍在工程上广泛应用的容，着重介绍在工程上广泛应用的容，着重介绍在工程上广泛应用的描述函数法描述函数法描述函数法描述函数法。上一节主要内容典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法本节主要内容本节主要内容描述函数的定义描述函数的定义描述函数的求法组合非线性特性的描述函数7.2描述函数描述函数7.2.17.2.1描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义1.描述函数的应用条件描述函数的应用条件（1）非线性系统的结构图可简化成）非线性系统的结构图可简化成一个一个一个一个非线性环节非线性环节N和和一个线性部分一个线性部分G(s)串联的闭环结构，如图串联的闭环结构，如图7-6所示。所示。 描述函数法描述函数法描述函数法描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描述是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描述函数将非线性元件函数将非线性元件线性化线性化，然后利用线性系统的频率法对系统进，然后利用线性系统的频率法对系统进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限制。系统阶次的限制。 分析内容主要是非线性系统的分析内容主要是非线性系统的分析内容主要是非线性系统的分析内容主要是非线性系统的稳定性稳定性稳定性稳定性和和和和自振荡稳态自振荡稳态自振荡稳态自振荡稳态，一般不给出，一般不给出，一般不给出，一般不给出时域响应的确切信息。时域响应的确切信息。时域响应的确切信息。时域响应的确切信息。xyNG(s)r(t)=0c(t)图图7-6 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 + - （2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直流分量。含直流分量。（3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分析结果才是比较准确的。所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。实际系统基本都能满足。实际系统基本都能满足。实际系统基本都能满足。2.2.描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义对于图对于图7-6所示的非线性系统，设系统的非线性环节输入所示的非线性系统，设系统的非线性环节输入信号是正弦信号：信号是正弦信号：则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数：则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数：若系统满足上述第二个条件，则有若系统满足上述第二个条件，则有A0=0 由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即 类似于线性系统中频率特性的定义，我们类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的相量比定义为非线稳态输出的基波分量与输入正弦信号的相量比定义为非线性环节的性环节的描述函数描述函数，用，用N(A)N(A)N(A)N(A)来表示，即来表示，即 由非线性环节描述函数的定义可以看出：由非线性环节描述函数的定义可以看出： (1) 描述函数描述函数类似于类似于类似于类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫做做谐波线性化谐波线性化谐波线性化谐波线性化。线性系统频率法的推广。线性系统频率法的推广。（2）描述函数表达了非线性元件对描述函数表达了非线性元件对基波正弦量基波正弦量的传递能力。的传递能力。一般一般来说，它应该是输入信号来说，它应该是输入信号幅值和频率幅值和频率幅值和频率幅值和频率的函数，但对于绝大多数的的函数，但对于绝大多数的实际非线性元件，由于不包括储能元件，它们的输出仅是幅值的实际非线性元件，由于不包括储能元件，它们的输出仅是幅值的函数，与频率无关，故常用函数，与频率无关，故常用N(A)N(A)表示。表示。7.2.2 7.2.2 描述函数的求法描述函数的求法 描述函数可以从定义式描述函数可以从定义式(7-15)出发求得，一般步骤出发求得，一般步骤是：是：(1)首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形出波形y(t)，并写出输出波形，并写出输出波形y(t)的的数学表达式。数学表达式。(2)利用傅氏级数求出利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。的基波分量。(3)将求得的基波分量代入定义式将求得的基波分量代入定义式(7-15)，即得，即得N(A).下面计算几种典型非线性特性的描述函数。下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1 1理想继电器特性理想继电器特性理想继电器特性理想继电器特性当输入为当输入为x(t)Asint时，理想继电器特性的输出波时，理想继电器特性的输出波形如图形如图7-7所示：所示：yx0M图图7-7 理想继电器特性的输出波形理想继电器特性的输出波形t0x2ty02M-M 由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数中的直流分量与基波偶函数分量的系数为零中的直流分量与基波偶函数分量的系数为零 A0A1=0 而基波奇函数分量的系数为：而基波奇函数分量的系数为：ty02M故理想继电器特性的描述函数为故理想继电器特性的描述函数为 即即 N(A)的相位角为零度的相位角为零度,幅值是输入正弦信号幅值是输入正弦信号A的函数的函数. 请牢记！请牢记！2. 2.饱和特性饱和特性饱和特性饱和特性 当输入为当输入为x(t)Asint，且且且且A A大于线性区宽度大于线性区宽度大于线性区宽度大于线性区宽度a a时时时时，饱，饱和特性的输出波形如图和特性的输出波形如图7-8所示。所示。所以基波分量为：所以基波分量为：所以基波分量为：所以基波分量为：yyxx00022M图图7-8 饱和特性的输出波形饱和特性的输出波形ak1tt1 式中式中1=arcsin(a/A)由式（由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为）可得饱和特性的描述函数为显然其输出信号也是奇函数，因此显然其输出信号也是奇函数，因此A0=A1=0，而，而y02t1 由上式可见，饱和特性的由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值也是输入正弦信号幅值A的函的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当Aa时，时，比例系数总小于比例系数总小于k. P291表表7-1列出了常见的非线性系统的描述函数列出了常见的非线性系统的描述函数N(A)以及相应以及相应的负倒特性曲线的负倒特性曲线-1/N(A)，供分析时参考。，供分析时参考。理想继电特性理想继电特性，死区继死区继电特性电特性，饱和特性，死区特性，饱和特性，死区特性最好能记住最好能记住最好能记住最好能记住！7.2.3 7.2.3 组合非线性特性的描述函数组合非线性特性的描述函数 以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此完全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即合，即串并联串并联串并联串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。复杂非线件特件的描述函数。1 1非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函单值函单值函单值函数数数数，即它们的描述函数都是，即它们的描述函数都是实数实数实数实数，如图，如图7-9所示。所示。N1N2+x(t)y12(t)y1(t) 图图7-9 两个非线性环节并联两个非线性环节并联y11(t) 当输入为当输入为x( t)Asint时，则两个环节输出的时，则两个环节输出的基波分量基波分量基波分量基波分量分别为输分别为输入信号乘以各自的描述函数，即入信号乘以各自的描述函数，即 由此可见，若干个非线性环节由此可见，若干个非线性环节由此可见，若干个非线性环节由此可见，若干个非线性环节并联后的总的并联后的总的并联后的总的并联后的总的 描述函数，等于各描述函数，等于各描述函数，等于各描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当非线性环节描述函数之和。当非线性环节描述函数之和。当非线性环节描述函数之和。当N N1 1和和和和N N2 2是复数时，该结论仍成立。是复数时，该结论仍成立。是复数时，该结论仍成立。是复数时，该结论仍成立。 例例7.1 下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数N(A).具有死区的非线性特性的并联分解具有死区的非线性特性的并联分解00Mkxy+xk0My解：解：可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为2 2非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算若两个非线性环节串联，如下图所示，其总的描述函若两个非线性环节串联，如下图所示，其总的描述函数数不等于不等于不等于不等于两个非线性环节描述函数的乘积。两个非线性环节描述函数的乘积。N1N2xyNyxz必须首先求出这两个非线性环节串联后必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特等效的非线性特性性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。例例7-2求图求图7-12所示两个非线性特性串联后总的描述函数所示两个非线性特性串联后总的描述函数N(A)。yz021k2=2xy10k=222-2-110k=2x22-110k=2x22-2yy10k1=1xz2解；这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。解；这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为一个一个死区加饱和死区加饱和死区加饱和死区加饱和的非线性特性。的非线性特性。为求得这个等效非线性特性的描述函数，为求得这个等效非线性特性的描述函数，又可将其又可将其分解为两个具有完全相同线性区斜率分解为两个具有完全相同线性区斜率k=2和和不同死区宽不同死区宽度死区特性的并联相减，故总的描述函数为：度死区特性的并联相减，故总的描述函数为：习题：求图示习题：求图示3个非线性环节串联后等效的非线性特个非线性环节串联后等效的非线性特 性，并求其描述函数，其中性，并求其描述函数，其中Mh。上一节主要内容上一节主要内容l描述函数的定义描述函数的定义l描述函数的求法描述函数的求法l组合非线性特性的描述函数组合非线性特性的描述函数本节主要内容本节主要内容l非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析l自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算7.3描述函数法描述函数法 前面介绍了描述函数的定义及其求法。通前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分析。析。 这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为描述函数法，这种方法只能用于分析这种方法只能用于分析系统的稳定性和自振荡。系统的稳定性和自振荡。 7.3.1非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析假设非线性元件和系统满足假设非线性元件和系统满足7.2节所要求的节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函来表示，而线性部分可用传递函G(s)或频率特性或频率特性G(j)表示，如图表示，如图7-13所示。所示。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图图7-13 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 + -式中，式中，式中，式中，-1-1N(A)N(A)叫做非线性特叫做非线性特叫做非线性特叫做非线性特性的负倒描述函数。性的负倒描述函数。性的负倒描述函数。性的负倒描述函数。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图图7-13 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 + - 通过对比会发现通过对比会发现:在线性系统分析中在线性系统分析中当应用奈氏判据时，若当应用奈氏判据时，若满足满足G(j)-1+j0，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然，式显然，式(7-22)中的中的-1/N(A)相当于线性系统中的相当于线性系统中的(-1，j0)点。点。区别在于，线性系统的临界状态是一个点区别在于，线性系统的临界状态是一个点（-1，j0)。而非线性而非线性系统的临界状态是系统的临界状态是-1/N(A)曲线。通常又将曲线。通常又将-1/N(A)曲线称为曲线称为负倒负倒特性曲线特性曲线。综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：判别方法：首先求出非线性环节的描述函数首先求出非线性环节的描述函数首先求出非线性环节的描述函数首先求出非线性环节的描述函数N(A)N(A)，然后在极坐然后在极坐然后在极坐然后在极坐标图上分别画出线性部分的标图上分别画出线性部分的标图上分别画出线性部分的标图上分别画出线性部分的G(j)G(j)曲线和非线性部分的曲线和非线性部分的曲线和非线性部分的曲线和非线性部分的-1/N(A)-1/N(A)曲曲曲曲线，并假设线，并假设线，并假设线，并假设G(s)G(s)的极点均在的极点均在的极点均在的极点均在s s左半平面，则左半平面，则左半平面，则左半平面，则线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程: : 1+G(j 1+G(j )=0)=0或或或或 G(jG(j )= -1)= -1非线性系统闭环特征方程非线性系统闭环特征方程非线性系统闭环特征方程非线性系统闭环特征方程: : : : 1+N(A)G(j 1+N(A)G(j )=0)=0或或或或 G(jG(j )= -1/N(A) )= -1/N(A) 式式式式(7-22)(7-22) (1)若若G(s)曲线不包围曲线不包围-1N(A)曲线，如图曲线，如图7-14(a)所示，所示，则非线性系统是稳定的。则非线性系统是稳定的。(2)若若G(s)曲线包围曲线包围-1N(A)曲线，如图曲线，如图7-14(b)所示，所示，则非线性系统是不稳定的。则非线性系统是不稳定的。(3)若若G(s)曲线与曲线与-1N(A)曲线相交，如图曲线相交，如图7-14(c)所示，所示，则在理论上将产生等幅振荡或称为则在理论上将产生等幅振荡或称为自振荡自振荡自振荡自振荡。0ImG(jw)-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re图图7-14非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析(a),(b),(c)7.3.2自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算前已述及，若前已述及，若G(j)曲线与曲线与-1N(A)曲线相交，曲线相交，则系统将产生自振荡。则系统将产生自振荡。下面从信号的角度进一步分析下面从信号的角度进一步分析自振荡产生的自振荡产生的条件条件。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图图7-13 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 + -在图在图7-13所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为信号为x(t)=Asint则非线性环节输出信号基波分量为则非线性环节输出信号基波分量为而线性部分的输出信号为而线性部分的输出信号为而线性部分的输出信号为而线性部分的输出信号为x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图图7-13 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 + -G(jG(j )= -1/N(A) )= -1/N(A) 式式式式(7-22)(7-22)0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1自自振振荡荡也也存存在在一一个个稳稳稳稳定定定定性性性性问问题题，因因此此必必须须进进一一步步研研究究自自振振荡荡的的稳稳定定性性。若若系系统统受受到到扰扰动动偏偏离离了了原原来来周周期期运运动动状状态态，当当扰扰动动消消失失后后，系系统统能能够够重重新新收收敛敛于于原原来来的的等等幅幅振振荡荡状状态态，称称为为稳稳稳稳定定定定的的的的自自自自振振振振荡荡荡荡，反反之之，称称为为不不稳稳定定的的自自振振荡荡。判判断断自自振振荡荡的的稳稳定定性性可可以以从从上上述述定定义义出出发发，采采用用扰扰动动分分析析的方法。的方法。 以以上上图图为为例例，G (j)与与-1/N(A)曲曲线线有有两两个个交交点点，说说明明存存在在两两个个自自振振荡荡点点。对对于于M1点点，若若受受到到干干扰扰使使振振幅幅A增增大大，则则工工作作点点将将由由点点M1移移至至a点点。由由于于此此时时a点点不不被被曲曲线线G(j)包包围围。系系统统稳稳定定，振振荡荡衰衰减减，振振幅幅A自自动动减减小小，工工作作点点将将沿沿-1/N(A)曲曲线线回回到到M1点点。反反之之亦亦然然，所所以以M1点点是是稳稳定定的的自自振振荡荡。同同样样的的方方法法可可以以分分析析点点M2是是不不稳稳定定的的振荡点。振荡点。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1 按按照照下下述述准准则则来来判判断断自自振振荡荡的的稳稳定定性性是是极极为为简简便便的的：在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上自自自自振振振振荡荡荡荡点点点点附附附附近近近近。当当当当按按按按幅幅幅幅值值值值A A A A增增增增大大大大的的的的方方方方向向向向沿沿沿沿- - - -l/ l/ l/ l/N(A)N(A)N(A)N(A)曲曲曲曲线线线线移移移移动动动动时时时时，若若若若系系系系统统统统从从从从不不不不稳稳稳稳定定定定区区区区进进进进入入入入稳稳稳稳定定定定区区区区，则则则则该该该该交交交交点点点点代代代代表表表表的的的的是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的自自自自振振振振荡荡荡荡；反反反反之之之之，若若若若沿沿沿沿-l/-l/-l/-l/N(A)N(A)N(A)N(A)曲曲曲曲线线线线振振振振幅幅幅幅A A A A增增增增大大大大的的的的方方方方向向向向是是是是从从从从稳稳稳稳定定定定区区区区进进进进入入入入不不不不稳稳稳稳定定定定区区区区，则则则则该该该该交交交交点点点点代表的是不稳定的自振荡。代表的是不稳定的自振荡。代表的是不稳定的自振荡。代表的是不稳定的自振荡。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1 值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率振幅和频率振幅和频率振幅和频率是图7-13中非线性环节的输入信号x(t)Asint的振幅和频率，而不是系统的输出信号c(t)。x(t)y(t)N（A）G(s)r(t)=0c(t)图图7-13 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 + -对于稳定的自振荡，振幅和频率是确定的，并可测量得到。计算时，振幅可由-1/N(A)-1/N(A)曲线的自变量A A 的大小来确定，而振荡频率由G(j)G(j)曲线的自变量来确定。对对于于不不稳稳定定的的自自振振荡荡，由由于于实实际际系系统统不不可可避避免免地地存存在在扰扰动动，因因此此这这种种自自振振荡荡是是不不可可能能持持续续的的，仅仅是是理理论论上上的临界周期运动，在实际系统中是测量不到的。的临界周期运动，在实际系统中是测量不到的。例例7.3 具有理想继电器特性非线性系统如图具有理想继电器特性非线性系统如图7-15所示，所示，试确定其自振荡的幅值和频率。试确定其自振荡的幅值和频率。 解：理想继电器特性的描述函数为解：理想继电器特性的描述函数为01-1c(t)+_r(t)0ImG(j)-1/N(A)Re-10ImG(j)-1/N(A)Re-1由此求得：由此求得：A=2.1，=1.414rad/s(M)(h)013r(t)c(t)+_例例7-4 设控制系统的结构图如图设控制系统的结构图如图7-16(a)所示，图中死区继所示，图中死区继电器特性的参数为电器特性的参数为a=1,b=3.(1)计算自振荡的振幅和频率计算自振荡的振幅和频率.(2)为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整.解解：(1) 死区继电器特性的负倒描述函数为死区继电器特性的负倒描述函数为当当A=1时，时，-1/N(A)=-，当，当A= 时，时，-1/N(A)=-。其其极值发生在极值发生在处，此时处，此时0ImG(j)-1/N(A)Re-/6（ b）M1M2 因此，因此，-1/N(A)是从负实轴上是从负实轴上-/6至至-这一段，为清楚起见，用两条这一段，为清楚起见，用两条直线来表示，如图所示。直线来表示，如图所示。 由线性部分的传递函数得由线性部分的传递函数得 令令ImG(j )=0，得，得G(j )曲线与负实轴的交点处的频率曲线与负实轴的交点处的频率为为 =1.414。将。将 =1.414代入实部，得该交点为负实轴上代入实部，得该交点为负实轴上-0.66。令。令 解得解得A1=1.11，A2=2.3。不难看出，。不难看出，A2=2.3为稳定自振荡为稳定自振荡的幅值。因此，系统实际存在的自振荡的幅值是的幅值。因此，系统实际存在的自振荡的幅值是A=2.3， =1.414rad/s。0ImG(j)-1/N(A)Re-/6（ b）M1M2 (2)为使系统不产生自振荡，可通过调整继电器特性的死为使系统不产生自振荡，可通过调整继电器特性的死区参数来实现。此时，应使区参数来实现。此时，应使-1/N(A)的极值小于的极值小于G(j )曲线曲线与负实轴的交点坐标，即与负实轴的交点坐标，即若取若取=2，即调整为即调整为a=1.5，则，则-1N(A)极值为极值为-/4-0.785。显然，显然，这时两条曲线不相交。从而保证系统这时两条曲线不相交。从而保证系统不产生自振荡。不产生自振荡。同样道理，也可以在不改变继电器特性参数的情况下。同样道理，也可以在不改变继电器特性参数的情况下。通过减小通过减小G(j)的传递系数，使的传递系数，使G(j)曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点右移，使系统减小或消除自振荡。右移，使系统减小或消除自振荡。0ImG(j)-1/N(A)Re-/6（ b）M1M2小结小结1 基本知识点基本知识点 A A 典型非线性的定义，几种典型非线性的特点典型非线性的定义，几种典型非线性的特点典型非线性的定义，几种典型非线性的特点典型非线性的定义，几种典型非线性的特点 p284p284； 本质非线性用折线代替；饱和、死区、滞环、继电特性本质非线性用折线代替；饱和、死区、滞环、继电特性 B B 非线性系统的特征，非线性系统的分析方法非线性系统的特征，非线性系统的分析方法非线性系统的特征，非线性系统的分析方法非线性系统的特征，非线性系统的分析方法p286p286； 特征：特征：1 时域响应的形状与输入的大小和初始值有关；时域响应的形状与输入的大小和初始值有关； 2 稳定性稳定性 3 频率响应与线性系统不同，为周期非正弦函数；频率响应与线性系统不同，为周期非正弦函数； 4 自振荡自振荡 方法：方法：1 描述函数法描述函数法 2 相平面法相平面法 3 计算机求解法计算机求解法 C C 描述函数法的基本思想和应用条件描述函数法的基本思想和应用条件描述函数法的基本思想和应用条件描述函数法的基本思想和应用条件 p287p287； 近似方法（谐波线性化）；近似方法（谐波线性化）； 条件：条件：1 化简后的结构化简后的结构 2 奇函数奇函数 3 线性部分具有低通特性，高频段越陡，精度越高。线性部分具有低通特性，高频段越陡，精度越高。 D 描述函数的计算及其物理意义描述函数的计算及其物理意义p288； 步骤：步骤：1 画出非线性的静态特性、画出非线性的静态特性、x=f(t)、y(t)的波形；的波形； 2 利用傅氏级数求利用傅氏级数求y(t)的基波分量；的基波分量； 3 求出求出N(A)。 物理意义：描述了非线性元件对基波分量的传递能力物理意义：描述了非线性元件对基波分量的传递能力 E 描述函数法分析系统稳定性和自振荡的一般描述函数法分析系统稳定性和自振荡的一般步骤步骤p293； 1 求出求出N(A)； 2 画出画出G(jw)和和-1/N(A)的曲线的曲线 3 用奈氏稳定判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定的自用奈氏稳定判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定的自 振荡，进一步求出自振荡的频率和振幅。振荡，进一步求出自振荡的频率和振幅。2 有关例题有关例题一一设某非某非线性系性系统如如图所示，所示，试确定其自振确定其自振荡的振幅和的振幅和频率。率。解：根据线性部分的传递函数，得其幅频及相频特性分别为解：根据线性部分的传递函数，得其幅频及相频特性分别为 其中其中M=1，解出自振荡振幅为，解出自振荡振幅为 习题：设非线性系统结构如图所示。习题：设非线性系统结构如图所示。求求：1) K=10时系统是否产生稳定的自振荡，参数是多少？时系统是否产生稳定的自振荡，参数是多少？ 2) 欲使系统稳定工作，不出现自振荡，欲使系统稳定工作，不出现自振荡，K的临界稳定值是的临界稳定值是多少？多少？r(t)c(t) 012012+-课本课本313 例题例题7-14习题：求图示习题：求图示2个非线性环节串联后等效的非线性特性。个非线性环节串联后等效的非线性特性。0M-M0ab