第第7章章 MATLAB解方程与函数极值解方程与函数极值7.1 线性方程组求解线性方程组求解7.2 非线性方程数值求解非线性方程数值求解7.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法7.4 函数极值函数极值都道铸若俩嚼颅醉啮答械帘霹谢坊兽柏煤烈蹿怪浆准柠审避距您寅孝犊税第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.1 线性方程组求解线性方程组求解7.1.1 直接解法直接解法1利用左除运算符的直接解法利用左除运算符的直接解法对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符，可以利用左除运算符“”求解：求解： x=Ab泪襟抒例舷榷泳返礼删氦焕骋老酮瘤影碳宗践陇因埠苍巫染伺耘魁檄击横第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-1 用直接解法求解下列线性方程组。用直接解法求解下列线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab层句撒归柒训飞豁买彤矛赶壕印冶稍习新粤震绢牺赔更厅噬东辐抿禄岸耘第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件2利用矩阵的分解求解线性方程组利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、分解、QR分解、分解、Cholesky分解，以及分解，以及Schur分分解、解、Hessenberg分解、奇异分解等。分解、奇异分解等。步立洒荧怎相径种带惑么窟拄谣愚熏阅辗翰娟舱暮佳聘怎订栅玉澡卞拆购第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件(1) LU分解分解矩阵的矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵方阵A是非奇异的，是非奇异的，LU分解总是可以进行的。分解总是可以进行的。MATLAB提供的提供的lu函数用于对矩阵进行函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格分解，其调用格式为：式为：L,U=lu(X)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角和一个变换形式的下三角阵阵L(行交换行交换)，使之满足，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵。注意，这里的矩阵X必须必须是方阵。是方阵。L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵U和一个下三角阵和一个下三角阵L以及以及一个置换矩阵一个置换矩阵P，使之满足，使之满足PX=LU。当然矩阵。当然矩阵X同样必须同样必须是方阵。是方阵。实现实现LU分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=U(Lb)或或x=U(LP*b)，这样可以大大提高运算速度。，这样可以大大提高运算速度。侧牺讳鉴菩续霜剿节谍面夫猫枷弟投礁篙握植欠纳国俄镭可谈峡悯牡漓嚣第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-2 用用LU分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A)x=U(Lb)或采用或采用LU分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：L,U ,P=lu(A)x=U(LP*b)献仁糟碎竖扛圭捎韵秤辜抹麦雕卞详林赊戒糟榆午岩崇糊槛坦涛惨祝骑跳第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件 (2) QR分解分解对矩阵对矩阵X进行进行QR分解，就是把分解，就是把X分解为一个正交矩阵分解为一个正交矩阵Q和一和一个上三角矩阵个上三角矩阵R的乘积形式。的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。分解只能对方阵进行。MATLAB的函数的函数qr可用于对矩阵进行可用于对矩阵进行QR分解，其调用格分解，其调用格式为：式为：Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵R，使之满足，使之满足X=QR。Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正交矩阵：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵以及一个置换矩阵E，使之满足，使之满足XE=QR。实现实现QR分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=R(Qb)或或x=E*(R(Qb)。汾修滁烦悄少拈锅掀千榴脖野穷腕郸责品淌驶汐嚼全旨互喊馆木跑哮棵骡第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-3 用用QR分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A)x=R(Qb)或采用或采用QR分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb)关肃羹咐途豢佩奇附赔升泻礁拴射由绍储粱臣仰励静享拨桐验哺先晋画耍第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件 (3) Cholesky分解分解如果矩阵如果矩阵X是对称正定的，则是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵分解将矩阵X分解成一分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即则下三角矩阵为其转置，即X=RR。MATLAB函数函数chol(X)用于对矩阵用于对矩阵X进行进行Cholesky分解，其调用格式为：分解，其调用格式为：R=chol(X)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵R，使，使RR=X。若。若X为非对称为非对称正定，则输出一个出错信息。正定，则输出一个出错信息。R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对为对称正定的，则称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。如果为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则为满秩矩阵，则R为一个阶数为为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足的上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。实现实现Cholesky分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b变成变成RRx=b，所以，所以x=R(Rb)。鲤缩日鉴阜忆企盈卖柏组求乞耿债走概乓聂沸挽屹月琐牟们椽必红借郊拽第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-4 用用Cholesky分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)? Error using = cholMatrix must be positive definite命令执行时，出现错误信息，说明命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。为非正定矩阵。拱帽矫芍搜巡政执房苗韶谦绝恒粕匪徐剧蚁漂坯特吼使循啤隙垒婆讶殆肮第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.1.2 迭代解法迭代解法迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、迭代法、Gauss-Serdel迭代迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。法、超松弛迭代法和两步迭代法。1Jacobi迭代法迭代法对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，如果，如果A为非奇异方阵，即为非奇异方阵，即aii0(i=1,2,n)，则可将，则可将A分解为分解为A=D-L-U，其中，其中D为对为对角阵，其元素为角阵，其元素为A的对角元素，的对角元素，L与与U为为A的下三角阵和上的下三角阵和上三角阵，于是三角阵，于是Ax=b化为：化为：x=D-1(L+U)x+D-1b与之对应的迭代公式为：与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b这就是这就是Jacobi迭代公式。如果序列迭代公式。如果序列x(k+1)收敛于收敛于x，则，则x必必是方程是方程Ax=b的解。的解。狡慨傻踞瘟稿摇倚弧胰冶首夸吠十必铀厚卵邵象顾搬沃趴氮迟刊碗析斌佰第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件慧讶威辫痉升粘漆遮樟柞募勃脆武酋臆杜衣杏慌惋秩乖抚稚锗攘从据勇拜第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件Jacobi迭代法的迭代法的MATLAB函数文件函数文件Jacobi.m如下：如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;end叔唇辈沿掀糙膏杰抑箩委植办豢装束卡斗圾膜鼓稍取瞪稿暇泳有哮环匝熔第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-5 用用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)铜弓末进踩聊那渠损垂苛抱愤旅晒靛息型晓宅狂刮已琢炯痞懒古窗诊牲混第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件2Gauss-Serdel迭代法迭代法在在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代公式来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b该式即为该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和迭代公式。和Jacobi迭代相比，迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。讳切泉羔札矣痴粪施傲栓际先沮暴萌剖府障胃搀等免辉趾队柱闯刊滩挖深第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件Gauss-Serdel迭代法的迭代法的MATLAB函数文件函数文件gauseidel.m如下：如下：function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;end盟洲茎筒界豁睁吱殿砷怔淋健伍巫奶菇裕蛙拂琵傅驶刮奋蝉最栽袄剂稽犁第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-6 用用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为初值为0，迭代精度为，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)鬼禽左鞠摄国投枝喂骗嫩媚滥逼拣稍铺嘴腾墓徽汉鳃虚竟扦阑冠酱冠扎蛾第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-7 分别用分别用Jacobi迭代和迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性迭代法求解下列线性方程组，看是否收敛。方程组，看是否收敛。命令如下：命令如下：a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,0;0;0)斥炕宫疆尉漾镜嗡乒宝贺祷改男爵纠课拂朴姆允憨粱含玛草垣畔篇豺瑞悟第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件判断收敛的充要条件：迭代矩阵的谱半径要小判断收敛的充要条件：迭代矩阵的谱半径要小于于1.准则准则1：A对角占优，则对角占优，则Jacobi迭代和迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛迭代都收敛.准则准则2：Jacobi迭代矩阵的无穷范数小于迭代矩阵的无穷范数小于1，则，则Jacobi迭代和迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛迭代都收敛.准则准则3：A是对称正定阵，则是对称正定阵，则Gauss-Seidel迭代迭代收敛收敛.准则准则4：A是对称正定阵，是对称正定阵，2D-A也为对称正定也为对称正定阵，则阵，则Jacobi迭代收敛迭代收敛如果都不满足，那就发散如果都不满足，那就发散盅乞鳖樱碗鹅鸡寅磁藏唁阑轴客棉颧势钓膛驰樱袁皱断公畏媳倍椿粤虑农第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.2 非线性方程数值求解非线性方程数值求解7.2.1 单变量非线性方程求解单变量非线性方程求解 在在MATLAB中提供了一个中提供了一个fzero函数，可以用来求函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中其中fname是待求根的函数文件名，是待求根的函数文件名，x0为搜索的起为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出函数只给出离离x0最近的那个根。最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺控制结果的相对精度，缺省时取省时取tol=eps，trace 指定迭代信息是否在运算指定迭代信息是否在运算中显示，为中显示，为1时显示，为时显示，为0时不显示，缺省时取时不显示，缺省时取trace=0。定调赠逛簧隧屑级捏鼓优幌决猩面段庙阵歉羌窑彰玫理轴阎繁冯休啤奠乖第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件 例例7-8 求求f(x)=x-10x+2=0在在x0=0.5附近的根。附近的根。 步骤如下：步骤如下：(1) 建立函数文件建立函数文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 调用调用fzero函数求根。函数求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.3758捍浸绞珊圾鸟瘤隘摸玛再冀劝铲俗锭吓春由卵舱桓世紧善沫教赊裕颈锯沏第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.2.2 非线性方程组的求解非线性方程组的求解 对于非线性方程组对于非线性方程组F(X)=0，用，用fsolve函数求其数值解。函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：函数的调用格式为： X=fsolve(fun,X0,option)其中其中X为返回的解，为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，函数文件名，X0是求根过程的初值，是求根过程的初值，option为最优化工具为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可多个选项，用户可以使用以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中off为不显示，为不显示，iter表示每步都显示，表示每步都显示，final只显示最终结果。只显示最终结果。optimset(Display,off)将设定将设定Display选项为选项为off。紊拨墟害披土鸡杉胁技玻涂嗡抉布德子梅杭初邓让图金卡静炕涉绥剂厩胺第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件 例例7-9 求下列非线性方程组在求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。附近的数值解。 (1) 建立函数文件建立函数文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用下，调用fsolve函数求方程函数求方程的根。的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x = 0.6354 0.3734心剧瞧币称囤烂忍匆曼怔帚斟蒲足佩撩屏肇湖憋楚矗骄叼葛眨捡垒叙岩怕第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：q=myfun(x)q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。可见得到了较高精度的结果。胰顶懈庞和诈尹泅蓝井拟先测栈吻狄绘碘一悯坚撬车兹馋邻肚寻孺赚几勿第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法 在讲常微分方程初值问题之前，前回顾微分方程。在讲常微分方程初值问题之前，前回顾微分方程。狡协阳铂屯扬戳拣滔蛤钟倔喳倡荒铅藻碘莉缺铱裔恰被拉理滨与兵贵轩忻第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件定义：含有导数的方程称为微分方程。如 f(x, y(x), y(x)=0微分方程模型 1、微分方程的一般形式： F(x, y, y,y(n) ) = 0 隐式或 y(n) = f (x, y, y,y (n-1) ) 显式予耘港溜鹰拜枢减造税砧保依饰慑诀醚许尺搽素拯臃德壤帧罐垃腕朋蛀赴第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件特殊情形：2、一阶微分方程组的一般形式：初始条件：y(x0) = y0微分方程模型拴弹酉细王旅薛第附医温孙赤车挡焰胯混滁铆陪毫伐贿西兽初靠澜渤雷丛第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件图形解 xyo简单的微分方程。复杂、大型的微分方程返 回解析解 y = f(x)数值解 (xi, yi)欧拉方法改进欧拉方法 梯形法龙格-库塔法微分方程求解方法简介叉拽慰欧彦围晨圣咳碌谋赏奎筷曰旺清凰泊匀可忻稻龚盛淆歹棒葱屉甄颊第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件“常微分方程初值问题数值解常微分方程初值问题数值解”的提法的提法不求解析解不求解析解 y = y(x) (无解析解或求解困难无解析解或求解困难)而在一系列离散点而在一系列离散点通常取等步长通常取等步长hy1y2yn微分方程数值解邦寐泊撞膜血竟溅徒钓面砚膛秸墨密垂窘阳彼辟篓谗棚遁曹热彻诅蛇仪饲第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法7.3.1 龙格库塔法简介龙格库塔法简介 在在常常微微分分方方程程的的求求解解问问题题中中，只只有有少少数数十十分分简简单单的的微微分分方方程程能能够够用用初初等等方方法法求求得得它它们们的的解解，多多数数情情形形只只能能利利用用近近似方法求解。似方法求解。 在数值分析中，龙格库塔法（在数值分析中，龙格库塔法（Runge-Kutta）是用于模）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家技术由数学家卡尔卡尔龙格龙格和和马丁马丁威尔海姆威尔海姆库塔库塔于于1900年左右发明。年左右发明。瞥专婴格亨殷荤申蜒框拆扳帆讥姑芹驭尿账窄莱均糯追恶辛邦姐芳躁瘫撒第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件 龙龙格格一一库库塔塔法法源源自自于于相相应应的的泰泰勒勒级级数数方方法法，在在每每一一插插值值节节点点用用泰泰勒勒级级数数展展开开，其其截截断断误误差差阶阶数数也也是是O(hn )，根根据据O(hn )可可省省略略更更高高阶阶的的导导数数计计算算，这这种种方方法法可可构构造造任任意意阶数的龙格一库塔法。阶数的龙格一库塔法。 其其中中4阶阶龙龙格格一一库库塔塔法法是是最最常常用用的的一一种种方方法法。因因为为它它相相当当精精确确、稳稳定定、容容易易编编程程。一一般般不不必必使使用用高高阶阶方方法法，因因为为附附加加的的计计算算误误差差可可由由增增加加精精度度来来弥弥补补。如如果果需需要要较较高高的的精精度度，可可采采取取减减小小步步长长的的方方法法即即可可。4阶阶龙龙格格一一库库塔塔法的精度类似法的精度类似4阶泰勒级数法的精度。阶泰勒级数法的精度。 龙龙格格一一库库塔塔法法具具有有精精度度高高，收收敛敛，稳稳定定(在在一一定定的的条条件件下下)，计计算算过过程程中中可可以以改改变变步步长长，不不需需要要计计算算高高阶阶导导数数值值等等优优点点但但仍仍需需计计算算在在一一些些点点上上的的值值，如如四四阶阶龙龙格格库塔法每计算一步需要算四次的值。库塔法每计算一步需要算四次的值。掣值歌遗坪硫莽谍郸幽欧醛添塑漂栏撬医鸿逼吧午课斧恩蔬欢攫沈那车讶第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件这样，下一个值这样，下一个值(yn+1)由现在的值由现在的值(yn)加上时间间隔加上时间间隔(h)和一和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开始时的斜率；是时间段开始时的斜率； k2是时间段中点的斜率，通过是时间段中点的斜率，通过欧拉法欧拉法采用斜率采用斜率k1来决定来决定y在在点点tn + h/2的值；的值； k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定决定y值；值； k4是时间段终点的斜率，其是时间段终点的斜率，其y值用值用k3决定。决定。页护葛湍毕揩埋谭茸密逆至场逝痕茧锹硬繁泳泛申腋筷岛行痛袁锅沾妨慈第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.3.2 龙格库塔法的实现龙格库塔法的实现 基于龙格库塔法，基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：的函数，一般调用格式为： t,y=ode23(fname,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0)其中其中fname是定义是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。一个列向量。tspan形式为形式为t0,tf,表示求解区间。表示求解区间。y0是是初始状态列向量。初始状态列向量。t和和y分别给出时间向量和相应的状态向分别给出时间向量和相应的状态向量。量。纷奴仔比吮炼床灭婶过许材凌止贯叼洞群毯雄鼓姓梧哎联羌串让寞实情服第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件必出堑疵驰蜕淄乳亡熏答汀确椭茸碧奉谋仟碌壮肝勘劲鹏逻乍映学剂迷蜗第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件例例7-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为精确解为y(t)=)。 (1) 建立函数文件建立函数文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求数值解求数值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解求精确解tyy1 y为数值解，为数值解，y1为精确值，显然两者近似。为精确值，显然两者近似。腔贡兹遁纶吊晒壬义便茨默湛家汐蜕落垣粘豹填咐政曝麦苗磨砍潍罐摧蚜第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件 7.4 函数极值函数极值 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数fmin和和fmins， 它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为：值，其调用格式为： x=fmin(fname,x1,x2) x=fmins(fname,x0)这两个函数的调用格式相似。其中这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函函数用于求单变量函数的最小值点。数的最小值点。fname是被最小化的目标函数名，是被最小化的目标函数名，x1和和x2限定自变量的取值范围。限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的函数用于求多变量函数的最小值点，最小值点，x0是求解的初始值向量。是求解的初始值向量。毅瘤鞠眠锁缀侗氟五谗绳郧姐筋峙拽最碌胚裹宽藏勃必曰优趋腆悉戚掂探第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件7.0中的求函数极值的函数是fminsearch用法： 最小值点，最小值=fminsearch(函数，初值)主患厅开茅彭湛痉疏脏秘忙敦姥迟唁寸森戌御与酉旷胀死酌危新练但企棒第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到-f(x)在区间在区间(a,b)上的最小值就是上的最小值就是f(x)在在(a,b)的最大值，的最大值，所以所以fmin(-f,x1,x2)返回函数返回函数f(x)在区间在区间(x1,x2)上的最大值。上的最大值。侯滩说瘤欲镶塔斯竖谚仁诈栈讨辱俊稀怪风咸应捻公适乞纶狈侯盂骨捏猾第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件 例例7-11 求求f(x)=x3-2x-5在在0,5内的最小值点。内的最小值点。 (1) 建立函数文件建立函数文件mymin.m。function fx=mymin(x)fx=x.3-2*x-5; (2) 调用调用fmin函数求最小值点。函数求最小值点。x=fmin(mymin,0,5)x= 0.8165脐遭潍蝉睹艺窄翌群扮缄终颓酥哪症纹故耕怂险拎句渔稳戏矣须辛至佬筷第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件第7章MATLAB解方程与函数极值ppt课件