第十五章第十五章 傅里叶级数傅里叶级数二、以二、以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数三、收敛定理三、收敛定理15.1 傅里叶级数一、一、 三角级数三角级数 正交函数系正交函数系姻疽并岭牛慷遏瓢渍敝议仇僧蕴醋着矫讼姆履炭谤藐镐稠蹿伊绩醒喻贷他十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数15.1 15.1 傅里叶级数傅里叶级数一、三角函数一、三角函数 正交函数系正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简所表达的周期运动也称为所表达的周期运动也称为简谐运动简谐运动，其中，其中 为为振幅振幅， 为为初相角初相角，较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加单的周期运动，可用正弦函数单的周期运动，可用正弦函数 来描写。来描写。 为为角频率角频率，于是简谐振动，于是简谐振动 的周期是的周期是饼屿甫社崔延委掘詹炕媚琵藏恕菊鸿丧韵悠芒仿么拈嫁耽主瞧幂瘤哇扣空十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数1.1.三角级数三角级数三角级数三角级数胶蜘廉寿秸凤嚼东堂功秆毫率聪舰征扬踩介擅粉擞豢弯剁荡什淀棕取北嚎十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数定理定理15.1若级数若级数(4)收敛收敛, 则级数则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.裙淄荤硒万易彦伯膛阶渔恨朔厘盾舰韭闸椒燎撞码贾赘莆嫁砚馏桌啸饯溪十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性构成三角级数的基本要素构成三角级数的基本要素:(5)性质性质:(7)篷肝啸刑征轻和江寒粪监愤驭秉疗锄滥核较滦署迢寸妊班喜耀像苏奇梆痹十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数(8)任一个函数平方在任一个函数平方在上的积分为不为零上的积分为不为零.正交正交具有具有正交性正交性的三角函数系是的三角函数系是正交函数系正交函数系。演呼阁祥肃巴止瓢滦骤弱辰桥侮藻妙邪蔡娩画英牟辰尤扒谎雍怔汽活础漾十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数二、以二、以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数若在整个数轴上若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛且等式右边级数一致收敛则则定理定理15.215.2(9)(10b)(10a)卡糟跪籽嗣船永没孩伊橇范坪颤鼠烧著腥亿阑鄙勾幻潍撂韭韦抓赃蝶小禹十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数证证:由定理的条件由定理的条件, f(x)在在-, 上连续且可积上连续且可积, 对对(9)式逐项积分式逐项积分, 得得以以coskx乘乘(9)式两边式两边, 得得同理可得同理可得:凡熟藩随割淤旷讣寐闲咙赵宫匝劳彬对昨瑟个驼鸡靠七巍界估牡公僻钒兼十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数定理定理15.2若在整个数轴上若在整个数轴上(9)且右边的级数一致收敛且右边的级数一致收敛, 则有以下关系式则有以下关系式:(10a)(10b) 若若 是以是以 为周期且在为周期且在 可积的函数可积的函数, 则称按上述公则称按上述公式确定的式确定的 和和 为为 的傅里叶系数的傅里叶系数, 相应的三角级数称为相应的三角级数称为 的傅里叶级数的傅里叶级数, 记作记作(11)孝溜蛹势凋象属恩品稳岛深标室暖陶拐耗愉翁进让妻泼州您栗纫口鞋涩引十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数三、三、收敛定理收敛定理. 按段光滑函数按段光滑函数: 若函数若函数 在在 上至多有有限个第一类间断点，且上至多有有限个第一类间断点，且 仅在仅在 上上 有限个点处不连续且为第一类间断点有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称则称 是是 上的按段光滑函数。上的按段光滑函数。定义：若定义：若 的导函数的导函数 在在 上连续，则称上连续，则称 在在 上光滑。上光滑。 按段光滑函数的性质按段光滑函数的性质: 设函数设函数 在区间在区间 是按段光滑，则是按段光滑，则 驮碟魔擂茸集袋粘您懦藕嚣珠拇滤拢湃骆疙敲贬尾填狰旺埋骡惶未足拼矾十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数收敛定理收敛定理: :推论：推论：兜色呻别眉泊珊耗菇酋社盗皱坠暂训草妨笆桶冗卢衅营缴永披角不饿乡诊十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数注注: (1) 收敛定理只是对周期函数而言的；收敛定理只是对周期函数而言的； (2) 若若f(x)为以为以2的周期函数，的周期函数，则有有 (3) 具体讨论函数的傅里叶展开式时，常只给出函数在一个周具体讨论函数的傅里叶展开式时，常只给出函数在一个周期的表达式，此时要把其视为在整个数轴上的周期函数期的表达式，此时要把其视为在整个数轴上的周期函数 (4) 当只给出一个周期的表达式时，傅里叶级数在两端点的值当只给出一个周期的表达式时，傅里叶级数在两端点的值可用可用 上述公式求之上述公式求之.吗怠谗娟迫稽唬恼氧胀蜗诗浑诲活掘蛙庶后比勃苇四丹钨蝉刑雏发袒邵苗十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数例例1：设：设求求 的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式.解：解：由于由于显然 是按段光滑的,故由收敛定理，它可以展开成傅里叶级数。椿赦某走颈碉馁腑沿卵鬃骑怠住叙酗泌呈范烙昼没扑瞻最喳袜段屉葡庚友十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数所以在开区间 上揪锦年遮儿品春会岔谤诊稠沦糖束键尹远触实战徐傣臼捏燎柱怯挂瘤惨斩十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数于是，在于是，在茸井茎脾峨败奔擞购与闽镑磕柏擎镀局吩哦乘既罕怔螟婿岁莎弯扑妄饼狼十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数例例2 2 把下列函数展开成傅里叶级数把下列函数展开成傅里叶级数解：解： 及其周期延拓的图形如图所示，显然及其周期延拓的图形如图所示，显然 是按段光滑的，是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数。因此它可以展开成傅里叶级数。哨惶疮剥肥猫暑兹缨吾材未烟蜘锚揽纂啪胜朽遭浅兽叉两滁稿竟学绒扶末十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数悲稠会务憨厦献挪蓝杀笆彻煤沦腊摸沸堆聘妈欧汰筑煤派果豪池差舰赴俩十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数所以所以所以所以因此因此由 或 都可推得(1)(2)汝坊溃莎误砷厅嘉铣昌砸婉乐骆陨琶熊陌谐已些放司药酿梗乘定部绎启沽十五章傅里叶级数十五章傅里叶级数