第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1 1了解平面向量的实际背景；了解平面向量的实际背景；2 2掌握向量的几何表示；掌握向量的几何表示；3 3理解向量的有关概念；理解向量的有关概念；4 4逐步培养学生观察、分析、综合和类比的能力和逐步培养学生观察、分析、综合和类比的能力和“知知识重组识重组”意识和意识和“数形结合数形结合”能力能力. . 同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具一些学科问题的有力工具.其实数学的很多理论是由其它其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的学科的一些知识抽象而来的.成为理论后又反过来对其它成为理论后又反过来对其它学科起作用学科起作用.比如同学们学习的物理，它与数学就有非常比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系密切的关系. 请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量？向的量？ 向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念 我们可以对位移、力我们可以对位移、力这些既有大小又有方向的量这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研这种量就是我们本章所要研究的究的向量向量.向量的概念：向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等，称为数量度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量物理学中常称为标量. 注意：注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量，数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小性，不能比较大小.向量的几何表示向量的几何表示 由于由于实数与数数与数轴上的点一一上的点一一对应，所以数量常常用数，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量. 对于向量，我于向量，我们常用常用带箭箭头的的线段段有向有向线段来表段来表示，示，线段按一定比例（段按一定比例（标度）画出，它的度）画出，它的长短表示向量的短表示向量的大小，箭大小，箭头的指向表示向量的方向的指向表示向量的方向. 的的长度，度，记作作 .有向有向线段：段：带有方向的有方向的线段叫有向段叫有向线段段.（如（如图）我）我们在在有向有向线段的段的终点点处画上箭画上箭头表示它的方向表示它的方向.以以A A为起点、起点、B B为终点的有向点的有向线段段记作作 ,起点写在终点的前面起点写在终点的前面.A（起点）起点）B（终点）点）已知已知 ，线段段ABAB的的长度也叫做有向度也叫做有向线段段有向线段的三要素：有向线段的三要素：起点、方向、长度起点、方向、长度.（知道了有向线段的起点、方向和长度，（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就可以唯一确定它的终点就可以唯一确定.）用字母用字母 ， ， 等表示.向量的表示方法：向量的表示方法：几何表示：几何表示：用有向用有向线段表示；段表示；字母表示：字母表示：用表示向量的有向用表示向量的有向线段的起点与段的起点与终点字点字 母表示如：母表示如： ;问题问题1 1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说的说 法对吗？法对吗？不对，不对，向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. .向量的向量的长度（或称模）：度（或称模）：向量向量 的大小，也就是向量的大小，也就是向量的的长度（或称模）：度（或称模）：记作作 .零向量、零向量、单位向量概念：位向量概念：长度度为0 0的向量叫零向量，的向量叫零向量，记作作 .注意注意: : 与与0 0的区别（及书写方法）的区别（及书写方法）. .长长度等于度等于1 1个个单单位的向量，叫位的向量，叫单单位向量位向量.说说明：明：零向量、零向量、单单位向量的定位向量的定义义都是只限制大小，不确都是只限制大小，不确定方向定方向.例例1 1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示分别用向量表示A A地至地至B B、C C两地的位移，并求出两地的位移，并求出A A地至地至B B、C C两地的实际距离（精确到两地的实际距离（精确到1km1km）. .1:80000001:8000000解：解： 表示表示A A地至地至B B地的位移，且地的位移，且 240km 240km . . 表示表示A A地至地至C C地的位移，且地的位移，且 300km 300km . .相等向量与共线向量相等向量与共线向量(平行向量）平行向量）平行向量定平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我我们规定定 与任一向量平行与任一向量平行.说明明：（1 1）综合合、才是平行向量的完整定才是平行向量的完整定义； （2 2）向量向量 平行，记作平行，记作 .OABC共线向量定义：共线向量定义： 平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上量都可移到同一直线上.说明：说明：（1 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；两平行线的位置关系； （2 2）共线向量可以相互平行，要区别于在同）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系一直线上的线段的位置关系. .abc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4相等向量定相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量度相等且方向相同的向量叫相等向量. .说明：说明：（1）向量）向量 与与 相等，记作相等，记作 ;（2 2）零向量与零向量相等；）零向量与零向量相等；（3 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有段来表示，并且与有向向线段的起点无关段的起点无关. .在平面上，两个在平面上，两个长度相等且指向一致的有向度相等且指向一致的有向线段表示同段表示同一个向量，因一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定向量完全由它的方向和模确定. .问题问题2 2：两个向量是否可以比：两个向量是否可以比较较大小？大小？ 向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，等关系，没有大小之分，“对于向量对于向量 、 ， 或或 ”这种说法是错误的这种说法是错误的. .例例2.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 OABCDEF1.1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. .向量向量 与与 是共线向量，则是共线向量，则A A、B B、C C、D D 四点必在一直线上；四点必在一直线上；单位向量都相等；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量任一向量与它的相反向量( (长度相同长度相同, ,方向相反的向方向相反的向量量) )不相等；不相等；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. .()()()()()()()()2.2.下面几个命题：下面几个命题： （3 3）若）若|a|=|b|a|=|b|，则，则a = ba = b（2 2）若）若|a|=0|a|=0，则，则a = 0a = 0|a|=|b|a|=|b|a ba b（4 4）两个向量）两个向量a a、b b相等的等价条件是相等的等价条件是（1 1）若）若a = ba = b，b = cb = c，则，则a = c.a = c.A A0 0B. 1 C. 2 D. 3 B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是其中正确的个数是( )( )（5 5）若）若A A、B B、C C、D D是不共线的四点，则是不共线的四点，则AB=DCAB=DC是四边形是四边形ABCDABCD是平形四边形的充要条件是平形四边形的充要条件. .C CA AB BC CD DF FE EM M解：解：（1 1）DEDE、BFBF、FBFB、FAFA、 AFAF、EDED、MCMC（2 2）FBFB、AFAF、MCMC3.3.如图如图,D,D、E E、F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBCMF是平是平行四边形，请分别写出行四边形，请分别写出：（1 1）与）与CMCM模相等且共线的向量；模相等且共线的向量； （2 2）与）与EDED相等的向量；相等的向量；4. 4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P P，那么，那么它们的终点的集合组成什么图形？它们的终点的集合组成什么图形？P零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 向量的概念向量的概念: :向量的表示方法：向量的表示方法：共线向量与平行向量关系：共线向量与平行向量关系： 平行向量的定义：平行向量的定义： 相等向量的定义：相等向量的定义： 无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵品质。 加里宁