第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲（第二课时）（第二课时）11. 在三棱锥在三棱锥P-ABC中，中，ABAC， ACB=60，PA=PB=PC，点点P到平面到平面ABC的距离的距离为为 AC. 求二面角求二面角P-AC-B的大小的大小.题型题型4 求二面角的大小求二面角的大小2解法解法1：由条件知由条件知ABC为直角三角形，为直角三角形，且且BAC=90.因为因为PA=PB=PC，所以点所以点P在平面在平面ABC上的上的射影是射影是ABC的外心，的外心，即斜边即斜边BC的中点的中点E.取取AC的中点的中点D，连结，连结PD，DE，PE.因为因为PE平面平面ABC，DEAC(因为因为DE AB)，所以所以ACPD. 所以所以PDE就是二面角就是二面角P-AC-B的的平面角平面角.3又又PE= AC，DE= AC(因为因为 A C B=60)，所以所以 ，所以所以PDE=60.故二面角故二面角P-AC-B的大小为的大小为60.解法解法2：由条件知由条件知ABC为直角三角形，为直角三角形，且且BAC=90.因为因为PA=PB=PC，所以点所以点P在平面在平面ABC上的射影是上的射影是ABC的外心，的外心，即斜边即斜边BC的中点的中点.4设设O为为BC的中点，取的中点，取AC的中点的中点D，连结，连结PD，DO，PO，则，则PO平面平面ABC. 建立如图所示直角坐标系建立如图所示直角坐标系设设AC=a，则，则A( a，- a，0)，B(-a，0，0)，C(a，0，0)，D( a，- a，0)，P(0，0， a).所以所以 =(- a， a，0)， =(- a， a， a).因为因为ABAC，又，又PA=PC，所以所以PD AC ，5所以所以cos ， 即为二面角即为二面角P-AC-B的余弦值的余弦值.而而cos ， = 所以二面角所以二面角P-AC-B的大小为的大小为60.6点点评评：求求二二面面角角的的大大小小有有两两种种方方法法：几几何何法法与与向向量量法法.本本题题解解法法1是是利利用用几几何何法法来来解解决决的的，即即按按“一一找找、二二证证、三三计计算算”三三个个步步骤骤进进行行；解解法法2是是利利用用向向量量法法来来解解决决的的，即即通通过过求求垂垂直直于于两两平平面面交交线线的的直直线线的的方方向向向向量量所所成成的的角角(需要注意是相等还是互补需要注意是相等还是互补).78910112. 在在RtABC中，中，ACB=30， ABC=90，D为为AC的中点，的中点，E为为BD的中点，的中点，连结连结AE并延长交并延长交BC于点于点F，将，将ABC沿沿BD折成一个大小为折成一个大小为的二面角的二面角A-BD-C.(1)证明：平面证明：平面AEF平面平面BCD(2)当当为何值时，有为何值时，有ABCD? 题型题型4 二面角背景下的位置关系分析二面角背景下的位置关系分析12解：解：(1)证明：因为证明：因为ABC为为直角三角形，直角三角形，ACB=30，所以所以AB= AC.又又D为为AC的中点，的中点，所以所以AD= AC，所以，所以AB=AD.因为因为E为为BD的中点，所以的中点，所以AEBD，所以所以BDAE，BDEF，所以所以BD平面平面AEF.又又BD平面平面BCD，所以平面所以平面AEF平面平面BCD.13 (2)作作AOEF，垂足为，垂足为O.因为平面因为平面AEF平面平面BCD，所以所以AO平面平面BCD.连结连结OB，则则OB是是AB在平面在平面BCD内的射影内的射影所以所以ABCDBOCD.延长延长BO、CD相交于相交于H，设，设AB=2a，则则AE = ABcos30= a.由由BEOBHD，得得 .14所以所以在在RtAOE中，中，cosAEO= .因为因为BD平面平面AEF，所以所以=AEF=-AEO=-arccos .15点点评评：与与二二面面角角有有关关的的综综合合问问题题涉涉及及到到空空间间位位置置关关系系与与空空间间角角大大小小关关系系之之间间的的综综合合.解解决决此此类类问问题题需需注注意意几几个个转转化化：一一是是三三维维空空间间向向二二维维空空间间的的转转化化；二二是是空空间间角角向向线线线线角角的的转转化化；三三是是线线面面关关系系向向线线线线关系的转化等关系的转化等.16 在棱长为在棱长为a的正方体的正方体OABC-O ABC中，中，E、F分别是棱分别是棱AB、BC上上的动点，且的动点，且AE=BF. (1)求证：求证：AFCE； (2)当三棱锥当三棱锥B-BEF的体积取得最大的体积取得最大值时，求二面角值时，求二面角B-EF-B的大小的大小(结果用结果用反三角函数表示反三角函数表示). 17解：解：(1)证明：如图，以证明：如图，以O为原点建为原点建立空间直角坐标系立空间直角坐标系.设设AE=BF=x，则则A(a，0，a)，F(a-x，a，0)，C(0，a，a)，E(a，x，0)，所以，所以 =(-x，a，-a)， =(a，x-a，-a).因为因为 =-xa+a(x-a)+a2=0， 所以所以AFCE.18(2)记记BE=y，则，则x+y=a.故三棱锥故三棱锥B-BEF的体积为的体积为 当且仅当当且仅当x=y= 时，等号成立时，等号成立.因此，三棱锥因此，三棱锥B-BEF的体积取得最大值的体积取得最大值时，时，BE=BF= .过过B作作BDEF交交EF于于D，连结，连结BD，则，则BDEF.所以所以BDB是二面角是二面角B-EF-B的平面角的平面角.19在在RtBEF中，因为中，因为BE=BF= ，BD是斜边上的高，所以是斜边上的高，所以BD= .在在RtBDB中，中，故二面角故二面角B-EF-B的大小为的大小为arctan 201. 二二面面角角的的大大小小是是通通过过其其平平面面角角来来度度量量的的.而而二二面面角角的的平平面面角角需需具具有有以以下下三三个个特特点点：顶顶点点在在棱棱上上；两两边边分分别别在在两两个个面面内内；两两边边与与棱都垂直棱都垂直. 2. 作作二二面面角角的的平平面面角角主主要要有有如如下下三三种种作作法法: (1)特特征征法法：直直接接在在二二面面角角的的棱棱上上取取一一点点(特特殊殊点点)，分分别别在在两两个个半半平平面面中中作作棱棱的的垂垂线线，得得出出平平面角面角.用定义法时，要认真观察图形的特性用定义法时，要认真观察图形的特性.21(2)三三垂垂线线法法：已已知知二二面面角角其其中中一一个个面面内内一一点点到到另另一一个个面面的的垂垂线线，用用三三垂垂线线定定理理或或其其逆定理作出平面角逆定理作出平面角. (3)垂垂面面法法：已已知知二二面面角角内内一一点点到到两两个个面面的的垂垂线线，过过两两垂垂线线作作平平面面与与两两个个半半平平面面的的交交线线所所成成的的角角即即为为平平面面角角.由由此此可可知知，二二面面角角的的平面角所在的平面与棱垂直平面角所在的平面与棱垂直.22 3. 求求二二面面角角的的大大小小有有几几何何法法和和向向量量法法两两种种.用用几几何何法法求求解解时时，先先要要作作出出二二面面角角的的平平面面角角，再再通通过过解解三三角角形形求求平平面面角角的的大大小小.若若二二面面角角的的棱棱在在原原图图中中没没有有画画出出来来，一一般般应应先先作作出出二二面面角角的的棱棱.用用向向量量法法求求二二面面角角的的大大小小，一一般般通通过过向向量量的的坐坐标标运运算算求求解解，即即转转化化为为求求二二面面角的两个面的法向量的夹角角的两个面的法向量的夹角.23