第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析第一节第一节第一节第一节 典型的测试信号典型的测试信号典型的测试信号典型的测试信号第二节第二节第二节第二节 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应第三节第三节第三节第三节 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应第四节第四节第四节第四节 高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应第五节第五节第五节第五节 线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性第六节第六节第六节第六节 劳斯稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据第七节第七节第七节第七节 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差7/22/20241第三章 控制系统的时域分析第一节第一节 典型的测试信号典型的测试信号典型的测试信号一般应具备两个条件典型的测试信号一般应具备两个条件自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论（1）信号的数学表达式要简单）信号的数学表达式要简单（2）信号易于在实验室中获得）信号易于在实验室中获得一、阶跃输入一、阶跃输入 图图3-1 典型试验信号典型试验信号a) 阶跃信号阶跃信号 b) 斜坡信号斜坡信号 c) 等加速度信号等加速度信号 二、斜坡信号二、斜坡信号(3-1)7/22/20242第三章 控制系统的时域分析四、脉冲信号四、脉冲信号自动控制理论自动控制理论图图3-2三、等加速度信号三、等加速度信号等加速度信号是一种抛物线函数，其数学表达式为五、正弦信号五、正弦信号正弦信号的数学表达式为7/22/20243第三章 控制系统的时域分析第二节第二节 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应一阶系统的方框图如图一阶系统的方框图如图3-3所示，它的传递函数为所示，它的传递函数为 图图3-3 一阶系统的框图一阶系统的框图a) 一阶系统框图一阶系统框图 b) 等效框图等效框图一、单位阶跃响应一、单位阶跃响应自动控制理论自动控制理论7/22/20244第三章 控制系统的时域分析 表示阶跃 响应曲线 C(t)上升到其终值的63.2%时，对应的时间就是系统的时间常数T二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应自动控制理论自动控制理论7/22/20245第三章 控制系统的时域分析三、单位脉冲响应三、单位脉冲响应线性定常系统的性质线性定常系统的性质（1）一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的时域响应的导数）一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的时域响应的导数（2）一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号的时域响应的积分）一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号的时域响应的积分结论结论：了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。自动控制理论自动控制理论7/22/20246第三章 控制系统的时域分析第三节第三节 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应一、传递函数的推导一、传递函数的推导图3-6 位置随动系统原理图自动控制理论自动控制理论图3-6中:7/22/20247第三章 控制系统的时域分析 图3-7 图3-6所示系统的框图a) 图3-6所示系统的框图 b) 系统的简化框图二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应标准形式：标准形式：自动控制理论自动控制理论7/22/20248第三章 控制系统的时域分析图3-8 二阶系统的框图1、自动控制理论自动控制理论其拉氏反变换为其拉氏反变换为: :7/22/20249第三章 控制系统的时域分析或写作2、自动控制理论自动控制理论其拉氏反变换为:7/22/202410第三章 控制系统的时域分析3、二阶过阻尼系统的近似处理自动控制理论自动控制理论图3-9 二阶系统的实极点7/22/202411第三章 控制系统的时域分析近似计算值：三、二阶系统阶跃响应的性能指标三、二阶系统阶跃响应的性能指标1、上升时间、上升时间 当被控制量c(t)首次由零上升到其稳态值所需的时间，称上升时间tr。自动控制理论自动控制理论7/22/202412第三章 控制系统的时域分析求得：2、峰值时间、峰值时间瞬态响应第一次出现峰值的时间叫峰值时间,用tp表示自动控制理论自动控制理论简化上式，求得因为：图3-13 二阶系统瞬态响应的性能指标7/22/202413第三章 控制系统的时域分析3、超调量、超调量Mp4、调整时间、调整时间ts 阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值 的误差范围(一般为5%或2%),并从此不现超越这个范围的时间称为系统的调整时间,用ts表示之。自动控制理论自动控制理论图3-14 二阶系统的Mp与 关系曲线7/22/202414第三章 控制系统的时域分析求得：求得：近似计算：近似计算：5、稳态误差、稳态误差自动控制理论自动控制理论7/22/202415第三章 控制系统的时域分析四、二阶系统阶的动态校正四、二阶系统阶的动态校正1、比例微分、比例微分(PD)校正校正由图3-7b可知，校正前系统的特征方程为：图3-15 具有PD校正的二阶系统对应的加上PD校正后，系统特征方程为：自动控制理论自动控制理论于是有：7/22/202416第三章 控制系统的时域分析2、测速反馈校正、测速反馈校正图3-16 随动系统框图图3-17 图3-16的等效框图自动控制理论自动控制理论调节调节Kp值值,使之满足稳态误差使之满足稳态误差ess要求要求,然后调节然后调节Kp值使之满足值使之满足 的要求。的要求。7/22/202417第三章 控制系统的时域分析例例3-13-1图3-18 控制系统的框图图3-19 图3-18的等效图解：解：据此画出图3-19所示的方框图。自动控制理论自动控制理论7/22/202418第三章 控制系统的时域分析第四节第四节 高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式自动控制理论自动控制理论一、高阶系统的时域响应一、高阶系统的时域响应7/22/202419第三章 控制系统的时域分析求拉氏反变换，得：高阶系统时域响应的瞬态分量是由一阶和二阶系统的时域响应函数组成，其中控制信号的极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。由此可知由此可知自动控制理论自动控制理论（3-45）如果所有的闭环极点均有负实部，由式(3-45)可知，随着时间的推移，式中所有的瞬态分量将不断地衰减，当时间 时，该式等号右方只剩下控制信号极点所确定的稳态分量A0项。这表示在过渡过程结束后，系统的被控制量仅与控制量有关。这种闭环极点均位于s左半平面的系统称为稳定系统。稳定是控制系统能正常工作的必要条件，有关这方面的内容，将在本章第五节中作专题阐述。7/22/202420第三章 控制系统的时域分析自动控制理论自动控制理论二、闭环主导极点二、闭环主导极点对于稳定的的高阶系统，其瞬态响应不仅与其闭环极点有关，而且也与其零点有关。即系统瞬态响应的类型（指数型或振荡型）系统调整时间的长短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点（假设它们附近没有闭环零点）；如果系统所有的闭环极点均远于虚轴，则系统的瞬态响应分量就衰减得很快，从而大大缩短了系统的过渡时间。不难看出，闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号的正负。 如果系统中有一实数极点(或一对复数极点)距虚轴最近,且其附近没有闭环零点；而其他闭环极点与虚轴的距离都比这个（或这对）极点与虚轴的距离大5倍以上，则此系统的瞬态响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。这是因为这种极点所决定的瞬态分量不仅持续时间最长，而且其初值幅值也大，充分体现了它在系统响应中的主导作用，故称其这系统的主导极点。7/22/202421第三章 控制系统的时域分析解：解：用部分分式法将上式展开，由拉氏反变换得 显然，由极点s3=-15产生的瞬态响应项一仅幅值小，而且衰减得快，因而对系统的输出响应很小，故可把它略去。于是，系统的输出可近似地用下式表示：例例3-33-3 已知一系统的闭环传递函数为自动控制理论自动控制理论三、偶极子三、偶极子 如果闭环系统的一个零点与一个极点彼此十分靠近，人们常称这样的闭环7/22/202422第三章 控制系统的时域分析自动控制理论自动控制理论零、极点为偶极子。不难证明，只要偶极子不十分靠近坐极原点，则它们对系统瞬态响应的影响就很小，因而可忽略它们的存在。例例3-43-4 已知系统的闭环传递函数为式中 。求系统的单位阶跃响应。（3-46）解：解：该系统有一对复数极点 、一个实数极点 和一个实数零点 。1）假设实数极点 不十分靠近坐标原点，且令 ，使实数极点和零点十分靠近，以构成一对偶极子，则式（3-46）所示系统的单位阶跃响应为7/22/202423第三章 控制系统的时域分析自动控制理论自动控制理论考虑到 ，上式经简化得（3-47）（3-48）基于上述对a和 的假设，式（3-47）可进一步近似表示为由式（3-48）可知，系统的单位阶跃响应主要由一对主导极点决定，偶极子对系统瞬态响应的影响十分微小，故可略去不计。假设 ，即一对偶极子十分靠近坐标原点，则式（3-47）可改写为由于 的值是可比的，故 项不能略去。综上所述，得出如下结论： 如果偶极子不靠近坐标原点，则它们对系统的瞬态响应可略去不计 如果偶极子十分靠近坐标原点，则应考虑它们对系统瞬态响应的影响，但不会改变主导极点的作用。7/22/202424第三章 控制系统的时域分析第五节第五节 线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它在瞬间受到某一扰动而偏离了原有的平衡状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反之，则称为不稳定。如图3-22所示。稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本身的结构和参数用系统的单位脉冲响应函数 来描述系统的稳定性如果则系统是稳定的则系统是稳定的自动控制理论自动控制理论图3-22 稳定与不稳定系统的响应曲线7/22/202425第三章 控制系统的时域分析若 ，表示方程的所有根全位于S平面的左方，这是系统稳定的充要条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是在给定信号作用下系统稳定的充要条件自动控制理论自动控制理论（3-49）7/22/202426第三章 控制系统的时域分析系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件令控制系统特征方程为如果式（3-51）的根都是负实根和实部为负的复数根，则方程中各项系数均为正值，且无零系数。对此说明如下：自动控制理论自动控制理论（3-51）7/22/202427第三章 控制系统的时域分析 对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统，特征方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而非充分条件。结论结论自动控制理论自动控制理论由于上式等号右方所有因式的系数都为正值，因而它们相乘后S的多次项示数必然都为正值，且不会有零系数出现。7/22/202428第三章 控制系统的时域分析第六节第六节 劳斯稳定判据劳斯稳定判据令系统特征方程为排劳斯表：排劳斯表：自动控制理论自动控制理论7/22/202429第三章 控制系统的时域分析结论结论（1）若劳斯表中第一列的系数均为正值,则系统稳定（2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定例例3-53-5 一调速系统的特征方程为由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的例例3-63-6 已知系统的特征方程为自动控制理论自动控制理论7/22/202430第三章 控制系统的时域分析求系统稳定的K值范围欲使系统稳定则应满足排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全为零。解决的办法是以一个很小正数来代替为零的这项。然后完成劳斯表的排列。自动控制理论自动控制理论解不等式组得：7/22/202431第三章 控制系统的时域分析结论：结论：如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于该方程在S平面右半面上根的数目。例例3-73-7 已知系统的特征方程为，试判别相应系统的稳定性解：解： 列劳斯表方程中有对虚根，系统不稳定。方程中有对虚根，系统不稳定。例例3-83-8 已知系统的特征方程为，试用劳斯判据确定方程式的根在S平面上的具体分布自动控制理论自动控制理论7/22/202432第三章 控制系统的时域分析解：解： 列劳斯表2 2）如果劳斯表的某一行中所有的系数都为零，则表示相应方程中含有一些大小相等，径向位置相反的根。结论：有两个根在结论：有两个根在S S的右半平面。的右半平面。例：例：劳斯列表：自动控制理论自动控制理论7/22/202433第三章 控制系统的时域分析例例3-93-9 用劳斯判据检验下列方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方？自动控制理论自动控制理论7/22/202434第三章 控制系统的时域分析解：解：列劳斯表有一个根在垂直线有一个根在垂直线S=-1S=-1的右方。的右方。自动控制理论自动控制理论7/22/202435第三章 控制系统的时域分析第七节第七节 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差稳态误差的定义稳态误差的定义图3-24 控制系统框图给定输入下的稳定误差给定输入下的稳定误差自动控制理论自动控制理论7/22/202436第三章 控制系统的时域分析1 1、阶跃信号输入、阶跃信号输入静态位置误差系数2 2、斜坡信号输入、斜坡信号输入图3-25 型系统跟踪斜坡输入响应自动控制理论自动控制理论7/22/202437第三章 控制系统的时域分析3 3、抛物线信号输入、抛物线信号输入图3-26 型系统跟踪抛物线输入响应自动控制理论自动控制理论7/22/202438第三章 控制系统的时域分析扰动作用下的稳定误差扰动作用下的稳定误差图3-27 闭环控制系统自动控制理论自动控制理论7/22/202439第三章 控制系统的时域分析1 1、0 0型系统型系统(v=0)(v=0)2 2、型系统型系统(v=1)(v=1)1 1）自动控制理论自动控制理论7/22/202440第三章 控制系统的时域分析2 2）3 3、型系统型系统(v=2)(v=2)1 1）自动控制理论自动控制理论2 2）3 3）7/22/202441第三章 控制系统的时域分析提高系统稳态精度的方法提高系统稳态精度的方法1 1、对扰动进行补偿、对扰动进行补偿图3-28 按扰动补偿的复合控制系统全补偿条件：全补偿条件：自动控制理论自动控制理论7/22/202442第三章 控制系统的时域分析2 2、对输入进行补偿、对输入进行补偿图图3-29 3-29 按输入补偿的复合控制系统按输入补偿的复合控制系统自动控制理论自动控制理论7/22/202443第三章 控制系统的时域分析