理解逻辑联结词理解逻辑联结词“或或”，“且且”，“非非”的含义的含义/理解四种命题及理解四种命题及其相互关系其相互关系/掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义第第3 3课时课时 简易逻辑简易逻辑1命题的概念：命题的概念：可可以判断以判断 的的语语句叫做命句叫做命题题正确的命正确的命题题叫做真命叫做真命题题；错误错误的的 命命题题叫做叫做 2简单命题和复合命题：简单命题和复合命题：“或或”、“且且”、“非非”这这些些词词叫做叫做 不含有不含有逻辑联结词逻辑联结词的命的命题题是是 ；由由简单简单命命题题和和逻辑联结词逻辑联结词“或或”、“且且”、 “非非”构成的命构成的命题题是是 复合命复合命题题的构成形式是的构成形式是p或或q，记记作作“pq”； p且且q，记记作作“pq”； ，记记作作“綈綈q”假命题假命题逻辑联结词逻辑联结词简单命题简单命题复合命题复合命题非非q真假真假3判断复合命题真假的方法判断复合命题真假的方法4(1)命命题题的四种形式的四种形式 pqp或或qp且且q非非p真真真真真真假假真真假假真真假假真真真真真真假假假假假假真真假假假假假假原命原命题题若若p，则则q.逆命逆命题题若若q，则则p.否命否命题题若若綈綈p, 则则綈綈q.逆否命逆否命题题若若綈綈q, 则则綈綈p.（2）原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为 ；命题与其逆否命题；命题与其逆否命题 . .逆否命题逆否命题等价等价(1)条件条件p成立成立结论结论q成立，成立，则则称条件称条件p是是结论结论q的的 ；(2)结论结论q成立成立条件条件p成立，成立，则则称条件称条件p是是结论结论q的的 ；(3)条条 件件 p成成 立立 结结 论论 q成成 立立 ， 且且 结结 论论 q成成 立立 条条 件件 p成成 立立 ， 则则 称称 条条 件件 p是是 结结 论论 q的的 思考思考：数学中的定义是否都是充要条件？：数学中的定义是否都是充要条件？ 数学中的定理是否都是充要条件？数学中的定理是否都是充要条件？充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件5充分条件充分条件 必要条件必要条件 充要条件充要条件6. 反证法反证法 假假定要定要证结论证结论不成立，由此推出矛盾，不成立，由此推出矛盾，则说则说明假明假设设不成立，而得出要不成立，而得出要证结论证结论成立成立1已知已知p是是r的充分条件而不是必要条件，的充分条件而不是必要条件，q是是r的充分条件，的充分条件，s是是r的必要条件，的必要条件，q是是s的必要条件的必要条件现现有下列命有下列命题题：s是是q的充要条件；的充要条件；p是是q的充分条件，而不是必要条件；的充分条件，而不是必要条件；r是是q的必要条件，的必要条件， 而不是充分条件；而不是充分条件；綈綈p是是綈綈s的必要条件，的必要条件， 而不是充分条件；而不是充分条件；r是是s的充分条件，而不是必要条件的充分条件，而不是必要条件 则则正确命正确命题题的序号是的序号是() A B C D 解析：解析：由已知条件可知：由已知条件可知： 因此因此为为正确命正确命题题答案：答案：BA“xP”是是“xQ”的充分条件但不是必要条件的充分条件但不是必要条件B“xP”是是“xQ”的必要条件但不是充分条件的必要条件但不是充分条件C“xP”是是“xQ”的充分必要条件的充分必要条件D“xP”既不是既不是“xQ”的充分条件也不是的充分条件也不是“xQ”的必要条件的必要条件答案：答案：A2若集合若集合P1,2,3,4，Q x|0x0，设设p：函数函数ycx在在R上上递递减；减；q：不等式不等式x|x2c|1的解集的解集为为 R，如果如果“p或或q”为为真，且真，且“p且且q”为为假，求假，求c的范的范围围 解答：解答：由由p0c1c ，“p或或q”为为真真，且且“p且且q”为为假假，p真真q假或假或p假假q真，真， 若若p真真q假，假，则则c的范的范围围是是(0,1)(， (0， ； 若若p假假q真，真，则则c的范的范围围是是(，01，)( ，)1，)，因此因此c的范的范围围是是(0， 1，).1.“AB”等价于等价于“A是是B的充分条件的充分条件”；“BA”等价于等价于“A是是B的必要条的必要条 件件”；“AB”等价于等价于“A是是B的充要条件的充要条件”，这这也是数形也是数形结结合思想方法的合思想方法的 具体体具体体现现2对对充要条件的充要条件的证证明首先要弄清明首先要弄清“充分性充分性”和和“必要性必要性”证明：证明：先先证证必要性：必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，即即(ab1)(a2abb2)0，又又ab0，a2abb2(a b)2 0，因此，因此ab10，即即ab1.再再证证充分性：充分性：ab1，即即ab10，(ab1)(a2abb2)0.即即a3b3aba2b20.【例例2】 若若ab0，试证试证a3b3aba2b20成立的充要条件是成立的充要条件是ab1. 变变式式2. 已已知知a、b是是实实数数，求求证证：a4b42b21成成立立的的充充分分条条件件是是a2b21.该该条件是否条件是否为为必要条件？必要条件？试证试证明你的明你的结论结论证证明明：a2b21，a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2a2b21.即即a4b42b21成立的充分条件是成立的充分条件是a2b21.另另一一方方面面又又a4b42b21，即即为为a4(b42b21)0.a4(b21)20，(a2b21)(a2b21)0，又，又a2b210，a2b210，即，即a2b21.因因此此a2b21既既是是a4b42b21的的充充分分条条件件，也也是是a4b42b21的的必必要要条件条件.“正正难则难则反反”是常是常见见的数学思想方法，比如的数学思想方法，比如证证明一个数是无理数、一个函数不明一个数是无理数、一个函数不是周期函数等是周期函数等问题时问题时，可考，可考虑虑使用反使用反证证法，反法，反证证法在立体几何定理的推法在立体几何定理的推导过导过程中也有着程中也有着较为较为广泛的广泛的应应用用证证明明：设设(x0，y0)为为函函数数yf(x)与与其其反反函函数数图图象象的的交交点点，假假设设y0x0，则则x0y0，若若x0y0，则则x0f1(x0)，f(x0)f(f1(x0)x0，即即y0y0同理可推出矛盾因此同理可推出矛盾因此y0x0，即点，即点(x0，y0)在直在直线线yx上上【例例3】(原创题原创题)已已知函数知函数yf(x)在在(，)上递增，试用反证法证明：函数上递增，试用反证法证明：函数yf(x)与反函数与反函数yf1(x)图象的交点一定在直线图象的交点一定在直线yx上上(1)求证：求证：数数列列Sn不是等比数列；不是等比数列；(2)数列数列Sn是等差数列是等差数列吗吗？为为什么？什么？解答解答：(1)证证明：明：证证法一：法一：(反反证证法法)若若Sn是等比数列，是等比数列，则则S S1S3，即即 (1q)2a1a1(1qq2)a10，(1q)21qq2，即，即q0与与q0矛盾，故矛盾，故Sn不是等比数列不是等比数列变式变式3.设设an是公比为是公比为q的等比数列的等比数列，Sn是它的前是它的前n项和项和证证法二：只需法二：只需证证明明SnSn2S ，Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1，SnSn2S Sn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10.故故Sn不是等比数列不是等比数列(2)当当q1时时，Sn是等差数列是等差数列当当q1时时，Sn不是等差数列，否不是等差数列，否则则S1，S2，S3成等差数列，成等差数列，即即2S2S1S3.2a1(1q)a1a1(1qq2)a10，2(1q)2qq2，qq2，q1，q0与与q0矛盾矛盾 1对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反 例例，这这是是最最基基本本的的数数学学思思维维方方式式在在判判断断命命题题正正误误的的过过程程中中，要要注注意意简简单单命题与复合命题之间的真假关系；要注意命题四种形式之间的真假关系命题与复合命题之间的真假关系；要注意命题四种形式之间的真假关系2在在充充分分条条件件、必必要要条条件件和和充充要要条条件件的的判判断断过过程程中中，可可利利用用图图示示这这种种数数形形结结合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性3特特殊殊情情况况下下如如果果命命题题以以p：xA，q：xB的的形形式式出出现现，则则有有：(1)若若AB，则则p是是q的的充充分分条条件件；(2)若若BA，则则p是是q的的必必要要条条件件；(3)若若AB，则则p是是q的充要条件的充要条件【方法规律方法规律】4反证法是一种重要的间接证法，一般在命题结论涉及反证法是一种重要的间接证法，一般在命题结论涉及“无限无限”的形式、的形式、“否定否定”的的 形式或形式或“至多至多”、“至少至少”的形式时，可考虑采用反证法反证法在很大程度上的形式时，可考虑采用反证法反证法在很大程度上就就 是证明原命题的逆否命题，反证法的基本步骤是：是证明原命题的逆否命题，反证法的基本步骤是：(1)否定命题的结论否定命题的结论(即命题的即命题的 否定，要注意命题的否定和否命题的区别否定，要注意命题的否定和否命题的区别)；(2)通过逻辑推理导出矛盾通过逻辑推理导出矛盾(可以与已可以与已 知矛盾、可以与公理和定义矛盾等等知矛盾、可以与公理和定义矛盾等等)，从而说明原命题是正确的，从而说明原命题是正确的. (2009辽辽宁宁)(本本题题满满分分12分分)如如图图，已已知知两两个个正正方方形形ABCD和和DCEF不不在在同同一一平面内，平面内，M，N分分别为别为AB，DF的中点的中点(1)若若CD2，平面，平面ABCD平面平面DCEF，求，求MN的的长长；(2)用反用反证证法法证证明：直明：直线线ME与与BN是两条异面直是两条异面直线线.解解答答：(1)取取CD的的中中点点G，连连接接MG，NG.因因为为ABCD，DCEF为为正正方方形形，且且边边长长为为2，所以，所以MGCD，MG2，NG .因因为为平面平面ABCD平面平面DCEF，所以，所以MG平面平面DCEF.可得可得MGNG.所以所以MN .6分分(2)证明：证明：假假设设直直线线ME与与BN共面，共面， 8分分则则AB平面平面MBEN，且平面，且平面MBEN与平面与平面DCEF交于交于EN.由已知，两正方形由已知，两正方形ABCD和和DCEF不共面，故不共面，故AB 平面平面DCEF.又又ABCD，所所以以AB平平面面DCEF，而而EN为为平平面面MBEN与与平平面面DCEF的的交交线线，所所以以ABEN，又又ABCDEF，所所以以ENEF，这这与与ENEFE矛矛盾盾，故故假假设设不不成立成立所以所以ME与与BN不共面，它不共面，它们们是异面直是异面直线线 12分分 【答题模板答题模板】1. 本本题题主要考主要考查查了立体几何中点、了立体几何中点、线线、面的位置关系及其、面的位置关系及其长长度度问题问题，同，同时时考考查查反反 证证法在立体几何中的法在立体几何中的应应用等解有关立体几何用等解有关立体几何问题问题的通法是：的通法是：结结合立体几何合立体几何图图形，通形，通过过必要的必要的辅辅助助线线，把立体几何，把立体几何问题问题通通过过点、点、线线、面的位置关系、面的位置关系转转化化为为平平 面几何面几何问题问题来来处处理与解决利用反理与解决利用反证证法来法来证证明立体几何中的相关明立体几何中的相关问题时问题时，要充，要充 分利用点、分利用点、线线、面的位置关系的相关定理与性、面的位置关系的相关定理与性质质2本本题题第第(1)问问事事实实上就是求上就是求长长方体方体对对角角线线的的长长度；度； 本本题题第第(2)问实际问实际上是上是“过过平面外一点和平面外一点和过过平面内一点的直平面内一点的直线线与平面内不与平面内不 过该过该点的直点的直线线是异面直是异面直线线”结论证结论证明的改明的改编题编题【分析点评分析点评】3(1)求平行六面体的求平行六面体的对对角角线长线长可利用空可利用空间间向量向量进进行运算行运算 (2)异面直异面直线线的判定，直的判定，直线线与平面平行和平面与平面平行的判定定理的与平面平行和平面与平面平行的判定定理的证证 明都可采用反明都可采用反证证法法. 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册