8.8立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识基础知识自主学习自主学习设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则1.两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法知识梳理l1与l2所成的角a与b的夹角范围(0， 0，求法cos cos 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos |.2.直线与平面所成角的求法直线与平面所成角的求法3.求二面角的大小求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小.(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cosn1，n2|利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB| .(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为 .知识拓展知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()思考辨析思考辨析(5)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()1.(2017烟台质检)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为A.45 B.135C.45或135 D.90考点自测答案解析即m，n45.两平面所成的二面角为45或18045135.2.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为A.30 B.60 C.120 D.150答案解析090，30.故选A.3.(2016郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为答案解析设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量 (2,2,1)， (0,2，1)，由向量的夹角公式得cos ，故选A.4.(教材改编)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 ，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_.答案解析5.P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_.答案解析90题型分类题型分类深度剖析深度剖析题型一求异面直线所成的角题型一求异面直线所成的角例例1(2015课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；证明(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解答所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 .思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.跟跟踪踪训训练练1 如图所示正方体ABCDABCD，已知点 H在 ABCD的 对 角 线 BD上 ， HDA 60.求 DH与CC所成的角的大小.解答题型二求直线与平面所成的角题型二求直线与平面所成的角例例2(2016全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB；证明(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解答思维升华利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.跟踪训练跟踪训练2 在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示.(1)求证：ABCD；证明平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.解答题型三求二面角题型三求二面角例例3(2016山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；证明解答思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.跟跟踪踪训训练练3 (2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；证明(2)求二面角OEFC的正弦值；解答解答题型四求空间距离题型四求空间距离(供选用供选用)例例4如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 ，求点A到平面MBC的距离.解答思维升华求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；(2)等体积法；(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.跟跟踪踪训训练练4 (2016四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD ，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；解答(2)求B点到平面PCD的距离；解答解答典典例例(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值.利用空间向量求解空间角答题模板系列答题模板系列6规范解答答题模板课时作业课时作业1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于A.120 B.60C.30 D.60或3012345678910 11 12答案解析设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为.则sin |cos |cos 120| .又0，90，30，故选C.12345678910 11 122.(2016广州模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 ，则该二面角的大小为A.150 B.45C.60 D.120答案解析12345678910 11 123.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为答案解析12345678910 11 124.(2016长春模拟)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为答案解析12345678910 11 125.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12 ，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BDE的距离为答案解析12345678910 11 126.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱C1C上，则 的最小值为答案解析12345678910 11 127.(2016合肥模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_.答案解析12345678910 11 128.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_.答案解析12345678910 11 129.(2016石家庄模拟)已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为_.答案解析12345678910 11 1210.(2016南昌模拟)如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO，沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到如图(2)的五棱锥PABFED，且PB .(1)求证：BD平面POA；证明(2)求二面角BAPO的正切值.解答12345678910 11 1212345678910 11 1211.(2016四川)如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；解答(2)若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解答12345678910 11 1212345678910 11 12*12.(2016潍坊模拟)如图，边长为 的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直.已知ABCD，ABBC，DCBC AB1，点M在线段EC上.(1)证明：平面BDM平面ADEF；证明解答(2)判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成的锐二面角为 . 12345678910 11 12