考点知识精讲首首 页页上一页上一页下一页下一页考点知考点知识精精讲中考典例精析中考典例精析第第7 7讲一元二次方程一元二次方程考点考点训练举一反三一反三考点知识精讲首首 页页上一页上一页下一页下一页考点一考点一 一元二次方程的定一元二次方程的定义在整式方程中，只含有在整式方程中，只含有_个未知数，并且含未知数个未知数，并且含未知数项的最高次数的最高次数是是_，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是准形式是_. .考点二考点二 一元二次方程的常用解法一元二次方程的常用解法一一2ax2bxc0(a0)中考典例精析上一页上一页下一页下一页首首 页页中考典例精析上一页上一页下一页下一页首首 页页C Ck k为任何任何实数，方程都有两个相等的数，方程都有两个相等的实数根数根D D根据根据k k的取的取值不同，方程根的情况分不同，方程根的情况分为没有没有实数根、有两个不相等数根、有两个不相等的的实数根和有两个相等的数根和有两个相等的实数根三种数根三种【点点拨】本本组题考考查一元二次方程的相关概念和解法一元二次方程的相关概念和解法中考典例精析上一页上一页下一页下一页首首 页页 (2011 (2011南京南京) )解方程解方程x x2 24 4x x1 10.0.【点点拨】本本题考考查一元二次方程的解法一元二次方程的解法中考典例精析上一页上一页下一页下一页首首 页页方法方法总结：解一元二次方程有以下几种方法：解一元二次方程有以下几种方法：(1)(1)直接开平方法；直接开平方法；(2)(2)配方法；配方法；(3)(3)公式法；公式法；(4)(4)因式分解法因式分解法. .解一元二次方程解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解适当的方法求解. .一般地，若方程左一般地，若方程左边是一个完全平方式，右是一个完全平方式，右边是一个非是一个非负数或完全平方式，数或完全平方式，应采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行不采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行不通通时，可采用公式法或配方法，可采用公式法或配方法. .中考典例精析上一页上一页下一页下一页首首 页页 (2010 (2010成都成都) )若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 24 4x x2 2k k0 0有两个有两个实数根，求数根，求k k的取的取值范范围及及k k的非的非负整数整数值【点点拨】本本题考考查一元二次方程的根的判一元二次方程的根的判别式，当式，当b b2 24 4acac00时，方，方程有两个程有两个实数根数根【解答解答】方程方程x x2 24 4x x2 2k k0 0有两个有两个实数根，数根，b b2 24 4acac4 42 2412412k k0.0.即即16168 8k k00，解得，解得k k2.2.k k的非的非负整数整数值为k k2,1,0.2,1,0.中考典例精析上一页上一页下一页下一页首首 页页 （20112011桂林）某市桂林）某市为争争创全国文明全国文明卫生城，生城，20082008年市政府年市政府对市市区区绿化工程投入的化工程投入的资金是金是2 0002 000万元，万元，20102010年投入的年投入的资金是金是2 4202 420万元，且万元，且从从20082008年到年到20102010年，两年年，两年间每年投入每年投入资金的年平均增金的年平均增长率相同率相同(1)(1)求求该市市对市区市区绿化工程投入化工程投入资金的年平均增金的年平均增长率；率；(2)(2)若投入若投入资金的年平均增金的年平均增长率不率不变，那么，那么该市在市在20122012年需投入多少年需投入多少万元？万元？【点点拨】求年平均增求年平均增长率率问题：一般列方程：一般列方程a a(1(1x x) )n nb b. .其中其中a a为原始原始数据，数据，b b为增增长( (减少减少) )后数据，后数据，n n为变化周期，化周期，x x为增增长( (降低降低) )率率【解答解答】(1)(1)设该市市对市区市区绿化工程投入化工程投入资金的年平均增金的年平均增长率率为x x，根，根据据题意得，意得，2 000(12 000(1x x) )2 22 4202 420，解得，解得x x1 10.10.1，x x2 22.1(2.1(舍去舍去) )中考典例精析上一页上一页下一页下一页首首 页页答：答：该市市对市区市区绿化工程投入化工程投入资金的年平均增金的年平均增长率率为10%.10%.(2)2012(2)2012年需投入年需投入资金：金：2 420(12 420(110%)10%)2 22 928.2(2 928.2(万元万元) )答：答：20122012年需投入年需投入资金金2 928.22 928.2万元万元方法方法总结：列一元二次方程解决列一元二次方程解决实际问题时，一定要，一定要检验最后的最后的结果，果，对不符合不符合实际问题的未知数的的未知数的值应舍去舍去. .举一反三上一页上一页下一页下一页首首 页页1 1一元二次方程一元二次方程a a2 24 4a a7 70 0 的解的解为_._.2 2已知已知x x1 1是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程2 2x x2 2kxkx1 10 0的一个根，的一个根，则实数数k k的的值是是_._.3 3方程方程x x( (x x1)1)5(5(x x1)1)的解是的解是_._.5 5某公司某公司4 4月份的利月份的利润为160160万元，要使万元，要使6 6月份的利月份的利润达到达到250250万元，万元，则平均每月增平均每月增长的百分率是的百分率是_._.1x15，x211 125%举一反三上一页上一页下一页下一页首首 页页7 7用配方法解方程：用配方法解方程：6 6x x2 2x x12120.0.8 8【前情提示前情提示】为了使同学了使同学们更好地解答本更好地解答本题，我，我们提供了一种提供了一种解解题思路，你可以依照思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也的解答也可以可以选用其他的解用其他的解题方案，此方案，此时不必填空，只需按照解答不必填空，只需按照解答题的一般要求的一般要求进行解答行解答青山村种的水稻青山村种的水稻20092009年平均每公年平均每公顷产8 000 kg,20118 000 kg,2011年平均每公年平均每公顷产9 9 680 kg680 kg，求，求该村水稻每公村水稻每公顷产量的年平均增量的年平均增长率率【解解题方案方案】设该村水稻每公村水稻每公顷产量的年平均增量的年平均增长率率为x x. .(1)(1)用含用含x x的代数式表示：的代数式表示：举一反三上一页上一页下一页下一页首首 页页20102010年种的水稻平均每公年种的水稻平均每公顷的的产量量为_ _ ；20112011年种的水稻平均每公年种的水稻平均每公顷的的产量量为 ；(2)(2)根据根据题意，列出相意，列出相应方程方程 ；(3)(3)解解这个方程，得个方程，得 ；(4)(4)检验： _ _；(5)(5)答：答：该村水稻每公村水稻每公顷产量的年平均增量的年平均增长率率为_. .8000(1x)8000(1x)28000(1x)29680x10.1 x22.1 x10.1，x22.1都是原方程的根，但都是原方程的根，但x22.1不符不符合合题意，所以只能取意，所以只能取x0.110%考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页一元二次方程一元二次方程训练时间：6060分分钟 分分值：100100分分考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页一、一、选择题( (每小每小题3 3分，共分，共3030分分) )1 1(2011(2011安徽安徽) )一元二次方程一元二次方程x x( (x x2)2)2 2x x 的根是的根是( () )A A1 1 B B2 2C C1 1和和2 2 D D1 1和和2 2【解析解析】由由x x( (x x2)2)2 2x x得得( (x x1)(1)(x x2)2)0 0，x x1 11 1，x x2 22.2.【答案答案】D D考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页2 2(2011(2011江西江西) )已知已知x x1 1 是方程是方程x x2 2bxbx2 20 0 的一个根，的一个根，则方程方程的另一个根是的另一个根是( () )A A1 B1 B2 C2 C2 D2 D1 1【解析解析】把把x x1 1代入方程代入方程x x2 2bxbx2 20 0得得1 1b b2 20 0，b b1 1，解方程，解方程x x2 2x x2 20 0得得x x1 12 2，x x2 21 1，方程的另一个根是方程的另一个根是x x2.2.【答案答案】C C考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页3 3(2010(2010中考中考变式式题) )一元二次方程一元二次方程axax2 2bxbxc c0(0(a a0)0)有两个不相有两个不相等的等的实数根，数根，则b b2 24 4acac满足的条件是足的条件是( () )A Ab b2 24 4acac0 0 B Bb b2 24 4acac00C Cb b2 24 4acac0 0.0.【答案答案】B B考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页4 4(2011(2011兰州州) )用配方法解方程用配方法解方程 x x2 22 2x x5 50 0 时，原方程，原方程应变形形为( () )A A( (x x1)1)2 26 6 B B( (x x2)2)2 29 9C C( (x x1)1)2 26 6 D D( (x x2)2)2 29 9【解析解析】由由x x2 22 2x x5 50 0得得x x2 22 2x x5 5，x x2 22 2x x1 16 6，( (x x1)1)2 26 6，故，故选C.C.【答案答案】C C考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页5 5(2010(2010中考中考变式式题) )上海世博会的某上海世博会的某纪念品原价念品原价168168元，元，连续两次两次降价降价a a% %后售价后售价为128128元，下面所列方程中正确的是元，下面所列方程中正确的是( () )A A168(1168(1a a%)%)2 2128 128 B B168(1168(1a a%)%)2 2128128C C168(1168(12 2a a%)%)128 128 D D168(1168(1a a2 2%)%)128128【解析解析】第一次降价第一次降价a a% %后，售价后，售价为168(1168(1a a%)%)，第二次降价后，第二次降价后为168168(1(1a a%)(1%)(1a a%)%)168(1168(1a a%)%)2 2，即，即168(1168(1a a%)%)2 2128.128.【答案答案】B B考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页6 6(2011(2011福州福州) )一元二次方程一元二次方程x x( (x x2)2)0 0 根的情况是根的情况是( () )A A有两个不相等的有两个不相等的实数根数根B B有两个相等的有两个相等的实数根数根C C只有一个只有一个实数根数根D D没有没有实数根数根【解析解析】解一元二次方程解一元二次方程x x( (x x2)2)0 0得得x x1 10 0，x x2 22 2，所以方程有，所以方程有两个不相等的两个不相等的实数根数根【答案答案】A A考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页7 7(2010(2010中考中考变式式题) )一元二次方程一元二次方程x x2 2x x2 20 0的两根之的两根之积是是( () )A A1 B1 B2 C2 C1 D1 D2 2【答案答案】B B考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页8 8(2011(2011成都成都) )已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2nxnxk k0(0(m m0)0)有有两个两个实数根，数根，则下列关于判下列关于判别式式n n2 24 4mkmk 的判断正确的是的判断正确的是( () )A An n2 24 4mkmk0 0 B Bn n2 24 4mkmk0 0C Cn n2 24 4mkmk0 0 D Dn n2 24 4mkmk00【解析解析】方程有两个方程有两个实数根，数根，n n2 24 4mkmk0.0.【答案答案】D D考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页9 9(2010(2010中考中考变式式题) )如果方程如果方程axax2 22 2x x1 10 0有两个不等的有两个不等的实根，根，则实数数a a的取的取值范范围是是( () )A Aa a1 1 B Ba a100，即，即2 22 24 4a a00，a a1.1.又又a a00，a a11且且a a0.0.【答案答案】B B考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页1010(2012(2012中考中考预测题) )在一幅在一幅长80 cm80 cm、宽50 cm50 cm的矩形的矩形风景画景画的四周的四周镶一条金色一条金色纸边，制成一幅矩形挂，制成一幅矩形挂图如下如下图所示，如果要使整所示，如果要使整个挂个挂图的面的面积是是5 400 cm5 400 cm2 2，设金色金色纸边的的宽为x x cm cm，那么，那么x x满足的足的方程是方程是( () )考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页A Ax x2 2130130x x1 4001 4000 0 B Bx x2 26565x x3503500 0C Cx x2 2130130x x1 4001 4000 0 D Dx x2 26565x x3503500 0【解析解析】由由题意可列方程意可列方程为(80(802 2x x)(50)(502 2x x) )5 4005 400，化，化简为x x2 26565x x3503500.0.【答案答案】B B考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页二、填空二、填空题( (每小每小题3 3分，共分，共2424分分) )1111(2010(2010中考中考变式式题) )方程方程x x2 24 4x x0 0的解是的解是_【解析解析】x x2 24 4x x0 0，x x( (x x4)4)0 0，x x0 0或或x x4 40 0，即，即x x1 10 0，x x2 24.4.【答案答案】x x1 10 0，x x2 24 4考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页1212(2010(2010中考中考变式式题) )两两圆的的圆心距心距d d5 5，它，它们的半径分的半径分别是一元是一元二次方程二次方程x x2 25 5x x4 40 0的两个根，的两个根，这两个两个圆的位置关系是的位置关系是_【解析解析】设半径半径为R R、r r，则R Rr r5.5.d d5 5，R Rr rd d，故两，故两圆位位置关系是外切置关系是外切【答案答案】外切外切考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页1313(2011(2011山西山西)“)“十二五十二五”时期，山西将建成中西部旅游期，山西将建成中西部旅游强省，省，以旅游以旅游业为龙头的服的服务业将成将成为推推动山西山西经济发展的主要展的主要动力力.2010.2010年全年全省全年旅游省全年旅游总收入大收入大约1 0001 000亿美元，如果到美元，如果到20122012年全省全年旅游年全省全年旅游总收入收入要达到要达到1 440 1 440 亿元，那么年平均增元，那么年平均增长率率应为_【解析解析】设年平均增年平均增长率率为x x，根据，根据题意列方程，得意列方程，得1 000(11 000(1x x) )2 21 4401 440，解得，解得x x1 10.20.2，x x2 22.2(2.2(舍去舍去) )所以年平均增所以年平均增长率率应为20%.20%.【答案答案】20%20%考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页1414(2010(2010中考中考变式式题) )方程方程2 2x x2 23 3x x1 10 0的解是的解是_考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案】10考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页1616(2010(2010中考中考变式式题) )已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程( (m m1)1)x x2 2x x1 10 0有有实数根，数根，则m m的取的取值范范围是是_考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案】7考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页1818(2012(2012中考中考预测题) )已知已知x x1 1是方程是方程x x2 2mxmx5 50 0的一个根，的一个根，则m m_，方程的另一根，方程的另一根为_【解析解析】把把x x1 1代入方程，得代入方程，得( (1)1)2 2m m5 50 0，m m1 15 54 4，原方程原方程为x x2 24 4x x5 50 0，( (x x5)(5)(x x1)1)0 0，x x5 50 0或或x x1 10 0，x x1 15 5，x x2 21 1，即另一根，即另一根为x x5.5.【答案答案】4 4x x5 5考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页三、解答三、解答题( (共共4646分分) )1919(15(15分分) )解方程解方程(1)(2012(1)(2012中考中考预测题) )用用配方法配方法解一元二次方程：解一元二次方程：x x2 25 54 4x x；(2)(2011(2)(2011武武汉) )x x2 23 3x x1 10 0；(3)(2012(3)(2012中考中考预测题)()(x x1)1)2 29(9(x x1)1)【答案答案】解：解：(1)(1)移移项，得，得x x2 24 4x x5 5配方，得配方，得x x2 24 4x x4 45 54 4，即，即( (x x2)2)2 29 9开方，得开方，得x x2 233即即x x2 23 3或或x x2 23 3，x x1 15 5，x x2 21 1(2)(2)a a1 1，b b3 3，c c1 1，考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页2020(6(6分分)(2012)(2012中考中考预测题) )如如图，在，在宽为20 m20 m、长为32 m32 m的矩形地的矩形地面上修筑同面上修筑同样宽的道路的道路( (图中阴影部分中阴影部分) )，余下部分作，余下部分作为草坪，要使草坪的草坪，要使草坪的面面积为540 m540 m2 2，求道路的，求道路的宽【答案答案】解：解：设道路的道路的宽为x x m m，根据，根据题意，得意，得(20(20x x)(32)(32x x) )540540，x x2 25252x x1001000 0，x x1 12 2，x x2 250(50(不合不合题意，舍去意，舍去) )答：道路的答：道路的宽为2 m.2 m.考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页2121(7(7分分)(2011)(2011南充南充) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 22 2x xk k1 10 0的的实数解是数解是x x1 1和和x x2 2. .(1)(1)求求k k 的取的取值范范围；(2)(2)如果如果x x1 1x x2 2x x1 1x x2 21 1且且k k为整数，求整数，求k k 的的值【答案答案】解：解：(1)(1)方程有方程有实数根，数根，2 22 24(4(k k1)01)0，解得，解得k k0.0.k k的取的取值范范围是是k k0.0.考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页(2)(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得根据一元二次方程根与系数的关系，得x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 2k k1 1，x x1 1x x2 2x x1 1x x2 22 2( (k k1)1)由已知，得由已知，得2 2k k1 11 1，解得，解得k k2.2.又由又由(1)(1)得得k k00，2 2k k0.0.k k为整数，整数，k k的的值为1 1或或0.0.考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页2222(8(8分分)(2011)(2011日照日照) )为落落实国国务院房地院房地产调控政策，使控政策，使“居者有居者有其屋其屋”，某市加快了廉租房的建，某市加快了廉租房的建设力度力度.2010.2010年市政府共投年市政府共投资2 2亿元人民元人民币建建设了廉租房了廉租房8 8万平方米，万平方米，预计到到20122012年底三年共累年底三年共累计投投资9.59.5亿元人元人民民币建建设廉租房，若在廉租房，若在这两年内每年投两年内每年投资的增的增长率相同率相同(1)(1)求每年市政府投求每年市政府投资的增的增长率；率；(2)(2)若若这两年的建两年的建设成本不成本不变，求到，求到20122012年底共建年底共建设了多少万平方米了多少万平方米廉租房廉租房【答案答案】解：解：(1)(1)设每年市政府投每年市政府投资的增的增长率率为x x，根据，根据题意，得意，得2 22 2(1(1x x) )2(12(1x x) )2 29.59.5，整理，得，整理，得x x2 23 3x x1.751.750 0，考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页答：每年市政府投答：每年市政府投资的增的增长率率为50%.50%.(2)(2)到到20122012年底共建廉租房面年底共建廉租房面积9.5(82)9.5(82)38(38(万平方米万平方米) )考点训练上一页上一页下一页下一页首首 页页2323(10(10分分)(2012)(2012中考中考预测题) )随着人随着人们经济收入的不断提高及汽收入的不断提高及汽车产业的快速的快速发展，汽展，汽车已越来越多地已越来越多地进入普通家庭，成入普通家庭，成为居民消居民消费新的新的增增长点据某市交通部点据某市交通部门统计，20082008年年底全市汽年年底全市汽车拥有量有量为180180万万辆，而截止到而截止到20102010年年底，全市的汽年年底，全市的汽车拥有量已达有量已达216216万万辆(1)(1)求求20082008年年底至年年底至20102010年年底年年底该市汽市汽车拥有量的年平均增有量的年平均增长率；率；(2)(2)为保保护城市城市环境，境，缓解汽解汽车拥堵状况，堵状况，该市交通部市交通部门拟控制汽控制汽车总量，要求到量，要求到20122012年底全市汽年底全市汽车拥有量不超有量不超过231.96231.96万万辆；另据估；另据估计，从从20112011年初起，年初起，该市此后每年市此后每年报废的汽的汽车数量是上年底汽数量是上年底汽车拥有量的有量的10%.10%.假定每年新增汽假定每年新增汽车数量相同，数量相同，请你你计算出算出该市每年新增汽市每年新增汽车数量最数量最多不能超多不能超过多少万多少万辆？