第二章第二章 资金时间价值资金时间价值 通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，我们在经济分析时就主要着眼于方案在我们在经济分析时就主要着眼于方案在整个寿命期整个寿命期内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支出称之为现金流量出称之为现金流量(Cash Flow)。 例如例如，有一个总公司面临两个投资方案，有一个总公司面临两个投资方案A A、B B，寿命期都是寿命期都是4 4年，初始投资也相同，均为年，初始投资也相同，均为1000010000元。元。实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据见表据见表1 1一一1 1。 如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案呢呢? ?年末年末A方案方案B方案方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000表表1一一1 另有两个方案另有两个方案C和和D，其他条件相同，仅现金流其他条件相同，仅现金流量不同。量不同。 3000 3000 3000 方案方案D 3000 3000 30006000 1 2 3 4 5 6方案方案C 0 1 2 3 4 5 60 3000 3000 货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大大小小有关，而且与发生的有关，而且与发生的时间时间有关。由于货币的时间价有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。 以下图为例，从现金流量的以下图为例，从现金流量的绝对数绝对数看，方案看，方案E比比方案方案F好好;但从货币的但从货币的时间价值时间价值看，方案看，方案F似乎有它的似乎有它的好处。如何比较这两个方案的优劣就构成了本课程好处。如何比较这两个方案的优劣就构成了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。 0 1 2 3 4 400 0 1 2 3 4 方案F 方案E 200 200 200 100 200 200 300 300 400 2.现金流量图（现金流量图（cash flow diagram) 描述现金流量作为时间函数的图形，它描述现金流量作为时间函数的图形，它 能能 表示资金在不同时间点流入与流出的情况。表示资金在不同时间点流入与流出的情况。 是资金时间价值计算中常用的工具。是资金时间价值计算中常用的工具。大大 小小流流 向向 时间点时间点现金流量图的三大要素现金流量图的三大要素现金流量图现金流量图时间时间时间时间 t t0 1 2 3时点，表示这一年的年时点，表示这一年的年时点，表示这一年的年时点，表示这一年的年末，下一年的年初末，下一年的年初末，下一年的年初末，下一年的年初200150现金流量现金流量现金流量现金流量现金流入现金流入现金流入现金流入现金流出现金流出现金流出现金流出注意：若无特别说明注意：若无特别说明注意：若无特别说明注意：若无特别说明 时间单位均为年；时间单位均为年；时间单位均为年；时间单位均为年； 投资一般发生在年初，销售收投资一般发生在年初，销售收投资一般发生在年初，销售收投资一般发生在年初，销售收入、经营成本及残值回收等发入、经营成本及残值回收等发入、经营成本及残值回收等发入、经营成本及残值回收等发生在年末生在年末生在年末生在年末 与横轴相连的垂直线，箭头向上表示现金流入，向下表与横轴相连的垂直线，箭头向上表示现金流入，向下表示现金流出，长短为现金流量的大小，箭头处标明金额。示现金流出，长短为现金流量的大小，箭头处标明金额。现金流量的现金流量的现金流量的现金流量的大小及方向大小及方向大小及方向大小及方向300400 时间时间2002002001 2 3 4现金流入现金流入 现金流出现金流出 0 说明：说明：1. 水平线是时间标度，时间的推移是水平线是时间标度，时间的推移是自左向右自左向右， 每一格代表一个时间单位（年、月、日）；每一格代表一个时间单位（年、月、日）； 2. 箭头表示现金流动的方向：箭头表示现金流动的方向： 向上向上现金的流入，现金的流入， 向下向下现金的流出；现金的流出； 3. 现金流量图与立脚点有关。现金流量图与立脚点有关。注意：注意： 1. 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年第一年年末的时刻点同时也表示第二年年 初。初。 2. 立脚点不同立脚点不同,画法刚好相反。画法刚好相反。 3. 净现金流量净现金流量 = 现金流入现金流入 现金流出现金流出 4. 现金流量只计算现金流量只计算现金收支现金收支(包括现钞、转帐包括现钞、转帐支票等凭证支票等凭证),不计算项目内部的现金转移不计算项目内部的现金转移(如折旧等如折旧等)。现金流量图（续）现金流量图（续）现金流量图的几种简略画法现金流量图的几种简略画法0 1 2 3 4 5 6 时间（年）时间（年）200 200100200 200 2003003.3.现金流量表现金流量表：用表格的形式描述不同：用表格的形式描述不同时点时点上发上发生的各种现金流量的生的各种现金流量的大小大小和和方向方向。年末年末 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5n-1n-1 n n现金流入现金流入1300130019001900250025002500250029002900现金流出现金流出60006000500500700700900900900900900900净现金流量净现金流量-6000-6000 0 00 080080012001200160016001600160020002000项目寿命周期：建设期试产期达产期项目寿命周期：建设期试产期达产期二二、利息公式利息公式（一）（一）利息的种类利息的种类 设：设：I利息利息 P本金本金 n 计息期数计息期数 i利率利率 F 本利和本利和单利单利复利复利1. 单利单利每期均按原始本金计息（利不生利）每期均按原始本金计息（利不生利） I = P i n F=P（1+ i n）则有则有 例题例题1：假如以年利率：假如以年利率6%借入资金借入资金1000元元,共共借借4年年,其偿还的情况如下表其偿还的情况如下表年年年初欠款年初欠款年末应付利息年末应付利息年末欠款年末欠款 年末偿还年末偿还110001000 0.06=6010600210601000 0.06=6011200311201000 0.06=6011800411801000 0.06=60124012402 复利复利利滚利利滚利F=P(1+i)nI=F-P=P(1+i)n-1公式的推导公式的推导如下如下：年份年份年初本金年初本金P当年利息当年利息I年末本利和年末本利和F P(1+i)2P(1+i)n-1 P(1+i)n 1 PPiP(1+i)2P(1+i)P(1+i) in1P(1+i)n-2P(1+i)n-2 i n P(1+i)n-1P(1+i)n-1 i年年 初初欠欠 款款年年 末末 应应 付付 利利 息息年年 末末欠欠 款款年年 末末偿偿 还还1234 例题例题2：假如以年利率假如以年利率6%借入资金借入资金1000元元,共借共借4年年,其偿还的情况如下表其偿还的情况如下表年年10001000 0.06=601060010601060 0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60 0.06=67.421191.02 0.06=71.46（二）复利计息利息公式（二）复利计息利息公式 以后采用的符号如下以后采用的符号如下 i i 利率；利率； n n 计息期数；计息期数； P P 现在值，即相对于将来值的任何较早时间的价值；现在值，即相对于将来值的任何较早时间的价值； F F 将来值，即相对于现在值的任何以后时间的价值；将来值，即相对于现在值的任何以后时间的价值； A n A n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末 实现。实现。 G等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入 是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或 收入的差额。收入的差额。三、三、等值换算等值换算现值是指发生在（或折算为）某一特定时间序列起点的费用或效益，用P表示终值是指发生在（或折算为）某一特定时间序列终点的费用或效益，用F表示0 1 t nPF现值终值年金 所谓年金是按照固定的、间隔时间相等的期间，陆续支付或领取的一系列同额款项；01234n-1n01234n-1n时值和等值 时值(TIME VALUE)是指一笔资金在不同的时点上具有不同的数值，这些不同的数值就叫做这笔资金在不同时点上的时值，用T表示等值(EQUIVALANCE VALUE)是指在不同的时点上的两笔不同数额的资金具有相同的经济价值，用E表示 110121132 0123n-1n100时值时值时值时值1.一次支付复利公式一次支付复利公式 0 1 2 3 n 1 n F=？P (已知）已知） (1+i)n 一次支付复利系数一次支付复利系数F = P(1+i)F = P(1+i)n n= =P(F/P,i,n)P(F/P,i,n) 例如在第一年年初，以年利率例如在第一年年初，以年利率6%投资投资1000元，元，则到第四年年末可得之本利和则到第四年年末可得之本利和 F=P(1+i)n =1000 (1+6%)4 =1262.50元元 例：某投资者购买了例：某投资者购买了1000元的债券，限期元的债券，限期3年，年年，年利率利率10%，到期一次还本付息，按照复利计算法，则，到期一次还本付息，按照复利计算法，则3年后该投资者可获得的利息是多少？年后该投资者可获得的利息是多少？I=P(1+i)n1=1000(1+10%)31=331 元元解：解：0123年年F=?i=10%10002.一次支付现值公式一次支付现值公式 0 1 2 3 n 1 n F (已知）已知）P =？ 例如年利率为例如年利率为6%，如在第四年年末得到的本利，如在第四年年末得到的本利和为和为1262.5元，则第一年年初的投资为多少？元，则第一年年初的投资为多少？ 3.等额支付系列复利公式等额支付系列复利公式 0 1 2 3 n 1 n F =？ A (已知）A1累累 计计 本本 利利 和和 （ 终终 值值 ）等额支付值等额支付值年末年末23AAnAAA+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1=F 0 1 2 3 n 1 n F =？ A (已知）已知） 即即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1) 以以(1+i)乘乘(1)式式,得得 F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) ，得得F(1+i) F= A(1+i)n A 例如连续例如连续5年每年年末借款年每年年末借款1000元，按年利率元，按年利率6%计算，第计算，第5 年年末积累的借款为多少？年年末积累的借款为多少？ 解：解：4.等额支付系列积累基金公式等额支付系列积累基金公式 0 1 2 3 n 1 n F (已知） A =？ 5.等额支付系列资金恢复公式等额支付系列资金恢复公式 0 1 2 3 n 1 n P(已知） A =？根据F = P(1+i)F = P(1+i)n n= =P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)F =A F =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i P(1+i)P(1+i)n n =A=A (1+i)(1+i)n n 1 1i i 6.等额支付系列资金恢复公式等额支付系列资金恢复公式 0 1 2 3 n 1 n P=？ A (已知） 等值计算公式表等值计算公式表: :等值的概念等值的概念 在某项经济活动中，如果两个方案的在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的。经济效果相同，就称这两个方案是等值的。 例如，在年利率例如，在年利率6%情况下，现在的情况下，现在的300元等元等值于值于8年末的年末的300 (1+0.06)8 =478.20元。这两个等元。这两个等值的现金流量如下图所示。值的现金流量如下图所示。478.20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 300 i=6% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 i=6% 同一利率下不同时间的货币等值同一利率下不同时间的货币等值 货币等值是考虑了货币的时间价值。货币等值是考虑了货币的时间价值。 即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；一定相等； 反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。却可能相等。货币的等值包括货币的等值包括三个因素三个因素 金额金额金额发生的时间金额发生的时间利率利率 在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在方案评价、比较中广泛应用。方案评价、比较中广泛应用。 运用利息公式应注意的问题注意的问题: 1. 为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初； 2. 方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末； 3. 本年的年末即是下一年的年初； 4. P是在当前年度开始时发生； 5. F是在当前以后的第n年年末发生； 6. A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生； 7. 均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。例例1 1：某人把：某人把10001000元存入银行，设年利率为元存入银行，设年利率为 6% 6%，5 5年后全部提出，共可得多少元？年后全部提出，共可得多少元？查表得：（查表得：（F/P,6%,5）1.338例题1四四 资金的等值计算资金的等值计算例例2 2：某企业计划建造一条生产线，预计：某企业计划建造一条生产线，预计5 5年后年后 需要资金需要资金10001000万元，设年利率为万元，设年利率为10%10%，问现需，问现需要存入银行多少资金？要存入银行多少资金？例题例题2 某单位在大学设立奖学金，每年年末存某单位在大学设立奖学金，每年年末存入银行入银行2 2万元，若存款利率为万元，若存款利率为3%3%。第。第5 5年末可年末可得款多少？得款多少？例题例题3 某厂欲积累一笔福利基金，用于某厂欲积累一笔福利基金，用于3 3年后建年后建造职工俱乐部。此项投资总额为造职工俱乐部。此项投资总额为200200万元，设万元，设利率为利率为5%5%，问每年末至少要存多少钱？，问每年末至少要存多少钱？例题例题4 某大学生贷款读书，每年初需从银行某大学生贷款读书，每年初需从银行贷款贷款6,0006,000元，年利率为元，年利率为4%4%，4 4年后毕业时年后毕业时共计欠银行本利和为多少？共计欠银行本利和为多少？例题例题5 某人贷款买房，预计他每年能还贷某人贷款买房，预计他每年能还贷2 2万元，打算万元，打算1515年还清，假设银行的按揭年年还清，假设银行的按揭年利率为利率为5%5%，其现在最多能贷款多少？，其现在最多能贷款多少？例题例题6 某投资人投资某投资人投资2020万元从事出租车运营，万元从事出租车运营，希望在希望在5 5年内等额收回全部投资，若折现率年内等额收回全部投资，若折现率为为15%15%，问每年至少应收入多少？，问每年至少应收入多少？例题例题7例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i 。0123n-1nA0123n-1nA=A（1+ i ）解：例:有如下图示现金流量，解法正确的有( )LB:答案答案: AC012345678AF=? A. F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8) B. F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7) C. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2) D. F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2) E. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1) 例例：下下列列关关于于时时间间价价值值系系数数的的关关系系式式，表表达达正正确确的有（的有（ ）A（F/A,i,n）= (P/A,i,n)(F/P,i,n) B（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)(F/P,i,n2),其中其中n1+n2=nC（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)(P/F,i,n2),其中其中n1+n2=nD（P/A,i,n）=(P/F,i,n)(A/F,i,n)E 1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)答案答案: A B例：若例：若i1=2i2；n1=n2/2，则当则当 P 相同时有相同时有( ) 。 A （F/P，i1，n1）（F/P，i2，n2） C （F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2） D 无法确定两者的关系无法确定两者的关系答案答案: A某债券是一年前发行的，面额为500元限为三年，年利率为10%，每年支付利息，到期还本，若投资者要求在余下的两年中收益为8%，问该债券现在低于( )元，投资者才会买。A、471.5 B、493.6 C、517.8 D、533.0答案：C四、名义利率和有效利率四、名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。名义利率和有效利率的概念。当当利率的时间单位利率的时间单位与与计息期计息期不一致时，不一致时，有效利率有效利率资金在计息期发生的实际利率。资金在计息期发生的实际利率。例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%， 则则 3%（半年）有效利率（半年）有效利率如上例为如上例为 3%2=6% （年）名义利率（年）名义利率（年）名义利率（年）名义利率=每一计息期的每一计息期的有效利率有效利率一年中计息期数一年中计息期数 1.离散式复利离散式复利 按期（年、季、月和日）计息的方法。按期（年、季、月和日）计息的方法。 如果名义利率为如果名义利率为r,一年中计息一年中计息n次，每次计息的次，每次计息的 利率为利率为r/ n，根据一次支付复利系数公式，根据一次支付复利系数公式， 年末本利和为：年末本利和为： F=P1+r/nn 一年末的利息为：一年末的利息为： P1+r/nn P 按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：为： 例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？优惠些？ 解：解：因为因为i乙乙 i甲甲，所以甲银行贷款条件优惠些。，所以甲银行贷款条件优惠些。 例：现投资例：现投资10001000元，时间为元，时间为1010年，年利率为年，年利率为8%8%，每季度计息一次，求每季度计息一次，求1010年末的将来值。年末的将来值。 F=？1000 0 1 2 3 40 季度每每季度季度的有效利率为的有效利率为8%4=2%，用年实际用年实际利率求解利率求解:年有效利率年有效利率i为：为： i=（ 1+ 2%）41=8.2432% F=1000 F=1000（F/PF/P，8.2432%8.2432%，1010）=2208=2208（元）元）用季度用季度利率求解利率求解: F=1000 F=1000（F/PF/P，2%2%，4040）=10002.2080=2208=10002.2080=2208（元）元）解： 例例: :某企业向银行借款某企业向银行借款10001000元元, ,年利率为年利率为4%,4%,如按季如按季度计息度计息, ,则第则第3 3年应偿还本利和累计为年应偿还本利和累计为( )( )元。元。 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172F=1000(F/P,1%,4F=1000(F/P,1%,43)3) =1000(F/P,1%,12) =1000(F/P,1%,12) =1127 =1127元元答案答案: C F=？1000 0 1 2 3 12 季度季度解解:例例: 已知某项目的计息期为月已知某项目的计息期为月,月利率为月利率为8 ,则项目则项目的名义利率为的名义利率为( ) 。 A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6解解:（年）名义利率（年）名义利率=每一计息期每一计息期的有效利率的有效利率一年中计息期数一年中计息期数 所以所以 r=128 =96 =9.6% 例：假如有人目前借入例：假如有人目前借入2000元，在今后元，在今后2年中每月等年中每月等额偿还，每次偿还额偿还，每次偿还99.80元，复利按月计算。试求月有效元，复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。利率、名义利率和年有效利率。 解：解： 99.802000（A/P，i，24) （A/P，i，24)99.8/2000=0.0499 查表，上列数值相当于查表，上列数值相当于 i1.5月有效利率月有效利率 则则 名义利率名义利率 r1.5 1218 年有效利率年有效利率 i（11.5)12119.562.连续式复利连续式复利按瞬时计息的方式。按瞬时计息的方式。 在这种情况下，复利可以在一年中按无限在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：多次计算，年有效利率为：式中：式中：e自然对数的底，其数值为自然对数的底，其数值为2.71828 下表给出了名义利率为下表给出了名义利率为12%分别按不同计息分别按不同计息期计算的实际利率：期计算的实际利率：复利周期复利周期每年计息数期每年计息数期各期实际利率各期实际利率实际年利率实际年利率一年一年半年半年一季一季一月一月一周一周一天一天连续连续124125236512.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000 %12.3600 %12.5509 %12.6825 %12.7341 %12.7475 %12.7497 % 名义利率的名义利率的实质实质：当计息期小于一年的利率化当计息期小于一年的利率化为年利率时为年利率时,忽略了时间因素忽略了时间因素,没有计算利息的利息没有计算利息的利息 。4.名义利率和有效（年）利率的应用：名义利率和有效（年）利率的应用：1)计息期与支付期相同计息期与支付期相同可直接进行换算求得可直接进行换算求得2)计息期短于支付期计息期短于支付期运用多种方法求得运用多种方法求得3)计息期长于支付期计息期长于支付期按财务原则进行计息，即现按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计息期分界点处的支付保持不变。息期分界点处的支付保持不变。 从利息表上查到，当从利息表上查到，当n=9，1.750落在落在6%和和7%之间。之间。6%的表上查到的表上查到1.6897%的表上查到的表上查到1.839从从用直线内插法可得用直线内插法可得(二二)计息期为一年的等值计算计息期为一年的等值计算相同相同有效利率有效利率名义利率名义利率直接计算直接计算 例：当利率为多大时，现在的例：当利率为多大时，现在的300元等值于第元等值于第9年年年年末的末的525元？元？解：解： F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750 计算表明，当利率为计算表明，当利率为6.41%时，现在的时，现在的300元等值于元等值于第第9年年末的年年末的525元。元。 例：当利率为例：当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年的年末等额年的年末等额支付为多少时与第支付为多少时与第6年年末的年年末的10000 等值？等值？ A=F（A/F,8%,6）=10000 (0.1363) =1363 元元/年年 计算表明，当利率为计算表明，当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年年1363 元的年末等额支付与第元的年末等额支付与第6年年末的年年末的10000 等值。等值。解：10000 0 1 2 3 4 5 6 年 i=8% 0 1 2 3 4 5 6 年 A=？ i=8% 例：当利率为例：当利率为10%时，从现在起连续时，从现在起连续5年年的年末等额支付为的年末等额支付为600元，问与其等值的第元，问与其等值的第0年的现值为多大？年的现值为多大？ 解：解： P=A(P/A,10%,5)=2774.59元元 计算表明，当利率为计算表明，当利率为10%时，从现在起时，从现在起连续连续5年的年的600元年末等额支付与第元年末等额支付与第0年的现值年的现值2274.50元是等值的。元是等值的。 (三三)计息期短于一年的等值计算计息期短于一年的等值计算 如计息期短于一年，仍可利用以上的利息如计息期短于一年，仍可利用以上的利息公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三种情况：种情况： 1.计息期计息期和和支付期支付期相同相同 例：年利率为例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，每半年计息一次，从现在起，连续连续3年，每半年为年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？年的现值为多大？ 解：每计息期的利率解：每计息期的利率 （每半年一期）（每半年一期） n=(3年年) (每年每年2期期)=6期期 P=A（P/A，6%，6）=100 4.9173=491.73元元 计算表明，按年利率计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算，每半年计息一次计算利息，从现在起连续利息，从现在起连续3年每半年支付年每半年支付100元的等额支付元的等额支付与第与第0年的现值年的现值491.73元的现值是等值的。元的现值是等值的。 例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后两年中分元，在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还次等额偿还，每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。和年有效利率。 解：现在解：现在 99.80=2000（A/P，i,24） （A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499 查表，上列数值相当于查表，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一因为计息期是一个月，所以月有效利率为个月，所以月有效利率为1.5%。 名义利率名义利率 ： r=(每月每月1.5%） （12个月）个月）=18% 年有效利率：年有效利率： 2.计息期短于支付期计息期短于支付期 例：按年利率为例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，每季度计息一次计算利息，从现在起连续从现在起连续3年的等额年末支付借款为年的等额年末支付借款为1000元，问元，问与其等值的第与其等值的第3年年末的借款金额为多大？年年末的借款金额为多大？ 解：解： 其现金流量如下图其现金流量如下图 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度 F=？100010001000 第一种方法第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：量见下图： 0 1 2 3 4239 239239 2390 1 2 3 410001000将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）将年度支付转化为计息期末支付（单位：元） A=F （A/F，3%，4） =1000 0.2390=239元元（A/F，3%，4） 239F=？季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 经转变后计息期与支付期重合（单位：元）经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392元 第二种方法第二种方法：把等额支付的每一个支付看作为一次：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。这个和就是等额支付的实际结果。 F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000 =3392元元 F=A(F/A,12.55%,3)=1000 3.3923=3392元 第三种方法第三种方法：将名义利率转化为年有效利率，以一：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。年为基础进行计算。 年有效利率是年有效利率是 通过三种方法计算表明，按年利率通过三种方法计算表明，按年利率12%，每季，每季度计息一次，从现在起连续三年的度计息一次，从现在起连续三年的1000元等额年末元等额年末借款与第三年年末的借款与第三年年末的3392元等值。元等值。 例例4:假定现金流量是：第假定现金流量是：第6年年末支付年年末支付300元，元，第第9、10、11、12年末各支付年末各支付60元，第元，第13年年末支年年末支付付210元，第元，第15、16、17年年末各获得年年末各获得80元。按年元。按年利率利率5计息，与此等值的现金流量的现值计息，与此等值的现金流量的现值P为多为多少？少？P=?03006789 10 11 12 13 1415 16 172106080解：P=300(P/F,5%,6) 60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8) 210(P/F,5%,13) +80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14) =3000.716260 3.5456 0.6768210 0.5303 +80 2.7232 0.5051 =369.16 也可用其他公式求得 P=300(P/F,5%,6) 60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12) 210(P/F,5%,13) +80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17) =3000.746260 4.3101 0.5568210 0.5303 +80 3.153 0.4363 =369.16 例: 求每半年向银行借1400元，连续借10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按: 1）年利率为12； 2）年利率为12，每半年计息一次 3）年利率12，每季度计息一次，这三种情况计息。01210年28002800140014002800解：1）计息期长于支付期F=14002（F/A,12，10）49136 （元）2）计息期等于支付期F=1400(F/A,12%2，102）51500 （元）3）计息期短于支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410） 52000 （元）0123414001400i1243A=1400(A/F,3%,2)季度