是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体设设设设的样本的样本的样本的样本, , , ,令令令令 称称称称 服从服从服从服从自由度自由度自由度自由度为为为为 的的的的 分布分布分布分布，记为，记为，记为，记为概率论与数理统计概率论与数理统计的上侧分位点记为的上侧分位点记为的上侧分位点记为的上侧分位点记为Review且且且且设设设设相互独立相互独立相互独立相互独立, , , ,令令令令 称称称称 服从服从服从服从自由度自由度自由度自由度为为为为 的的的的 分布分布分布分布，记为，记为，记为，记为概率论与数理统计概率论与数理统计的上侧分位点记为的上侧分位点记为的上侧分位点记为的上侧分位点记为的双侧分位点记为的双侧分位点记为的双侧分位点记为的双侧分位点记为Review且且且且设设设设相互独立相互独立相互独立相互独立, , , ,令令令令 称称称称 服从服从服从服从自由度自由度自由度自由度为为为为 的的的的 分布分布分布分布，记为，记为，记为，记为 的上侧分位点记为的上侧分位点记为的上侧分位点记为的上侧分位点记为Review概率论与数理统计概率论与数理统计设总体设总体设总体设总体 的均值和方差的均值和方差的均值和方差的均值和方差是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本，则的样本，则的样本，则的样本，则都存在都存在都存在都存在. .概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计仍服从正态分布的样的样的样的样设设设设是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体本本本本, , , ,则则则则独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布由正态分布的性质知，线性组合概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计的样本，的样本，的样本，的样本，设设设设是总体是总体是总体是总体分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有由定理一、定理二有由定理一、定理二有由定理一、定理二有由定理一、定理二有且且且且 与与与与 独立独立独立独立，由，由，由，由 分布的定义有分布的定义有分布的定义有分布的定义有概率论与数理统计概率论与数理统计v例例1 1 设为X的一个样本,求:(1)样本均值的数学期望与方差; (2) 概率论与数理统计概率论与数理统计v例例1 1 设为X的一个样本,求:(1)样本均值的数学期望与方差; (2) 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v例例3 3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(,100), 现在进行了25次发射试验, 用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求S2超过50的概率.概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v例例4 4 从正态总体N(,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2,.,Xn.若未知, 计算概率:概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计样样本本总体总体样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、比率、方差比率、方差比率、方差总体均值、比总体均值、比率、方差等率、方差等概率论与数理统计概率论与数理统计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计新生儿的平均体重、估计废品率、估计估计新生儿的平均体重、估计废品率、估计平均降雨量等。平均降雨量等。 在参数估计问题中，假定总体分布在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数参数.概率论与数理统计概率论与数理统计v参数估计就是要从样本出发去构造一个统计量作为总体中某未知参数的一个估计量。包括点估计点估计和区间估计区间估计两种。v若总体X的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数未知，则由总体X的一个样本估计总体未知参数的值的问题就是参数的点点估计问题估计问题。v要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为置信区间，通过构造一个置置信信区间区间对未知参数进行估计的方法 称为区间估计。概率论与数理统计概率论与数理统计 设总体设总体X的分布函数形式已知的分布函数形式已知, 但它的一但它的一个或多个参数为未知个或多个参数为未知, 借助于总体借助于总体X的一个样的一个样本来估计总体未知参数的问题称为本来估计总体未知参数的问题称为点估计问点估计问题题.概率论与数理统计概率论与数理统计1.估计量估计量：用于估计总体参数的统计量如样本均值，样本比率、样本方差等例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量2.参数用 表示，估计量用 表示3.估估计计值值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 X =80，则80就是的估计值概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v点估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息；同时，也可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同。概率论与数理统计概率论与数理统计v那么那一个估计量好坏的标准是什么?u1.无偏性无偏性 (unbiasedness)设为总体未知参数的估计量设为总体未知参数的估计量若若 则称是的无偏估计量，称具有无偏性。否则，则称是的无偏估计量，称具有无偏性。否则，是有偏估计量是有偏估计量. .偏差偏差= = 概率论与数理统计概率论与数理统计v无无偏偏性性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 P P( ( ) )B BA A无偏无偏无偏无偏无偏无偏有偏有偏有偏有偏有偏有偏无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 .概率论与数理统计概率论与数理统计u注注:是是的的无偏估计量无偏估计量是是2 2的无偏估计量的无偏估计量概率论与数理统计概率论与数理统计是是2 2的有偏估计量的有偏估计量概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计u2有效性有效性 若若都是都是的无偏估计量且的无偏估计量且 或或 则称则称较较为有效估计量。为有效估计量。两个以上的两个以上的无偏估计量无偏估计量具有最小方差具有最小方差最佳无偏估计量最佳无偏估计量概率论与数理统计概率论与数理统计有效性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小方差的估计量更有效 AB 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布P P( ( ) )概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计u3相合性（相合性（consistency）如果对任意小的正数，有如果对任意小的正数，有则称则称是是的一致估计量，称的一致估计量，称具有一致性，可以证明具有一致性，可以证明均具有一致性。均具有一致性。概率论与数理统计概率论与数理统计 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数, 是统计量是统计量, 故对故对不同的样本值不同的样本值, 得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同, 求估计求估计量的问题是关键问题量的问题是关键问题.估计量的求法估计量的求法: (两种两种)矩估计法和最大似然估计法矩估计法和最大似然估计法.概率论与数理统计概率论与数理统计1、 矩估计法矩估计法 其基本思想是用样本矩估计总体矩其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据理论依据: 它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方思想建立起来的一种估计方法法 .是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的皮尔逊最早提出的 .大数定律大数定律概率论与数理统计概率论与数理统计 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法这种估计法称为矩估计法.记总体记总体k阶中心矩为阶中心矩为样本样本k阶中心矩为阶中心矩为概率论与数理统计概率论与数理统计设设 X1, X2, , Xn 来自总体来自总体X的样本的样本记总体记总体k阶矩为阶矩为样本样本k阶矩为阶矩为矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤:概率论与数理统计概率论与数理统计例例1 1 设总体设总体 服从泊松分布服从泊松分布 ， 求参数求参数 的估计量的估计量.解：解：设设 是总体是总体 的一个的一个样本样本,由于由于 ,可得可得 概率论与数理统计概率论与数理统计解解例例例例2 2 2 2概率论与数理统计概率论与数理统计解方程组得到解方程组得到a, b的矩估计量分别为的矩估计量分别为概率论与数理统计概率论与数理统计解解例例例例3 3 3 3概率论与数理统计概率论与数理统计解解解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为例例例例4 4 4 4概率论与数理统计概率论与数理统计上例表明上例表明: 总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异不同的总体分布而异.一般地一般地:概率论与数理统计概率论与数理统计 矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行, 缺点是，当总体类型已知时，没有缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息 . 一般场合下一般场合下,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一性 .概率论与数理统计概率论与数理统计2、 最大似然估计法最大似然估计法(MLE)最最大大似似然然法法是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的一种参数估计方法的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯在高斯在1821年提出的年提出的 ,然而，然而，GaussFisher这个方法常归功于英国统这个方法常归功于英国统计学家费歇计学家费歇 . 费歇在费歇在1922年重新发现了年重新发现了 这一方法，并首先研究了这这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质种方法的一些性质 .概率论与数理统计概率论与数理统计最大似然原理的直观想法是最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的结果个可能的结果A,B,若在一次试验中结果若在一次试验中结果A出现，出现，一般认为一般认为A出现的概率最大出现的概率最大概率论与数理统计概率论与数理统计似然函数实质上似然函数实质上是是样本的联合分布律样本的联合分布律于是定义下面的似然函数于是定义下面的似然函数概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计求最大似然估计量的一般步骤为求最大似然估计量的一般步骤为： （1）求似然函数求似然函数（2）一般地，求出一般地，求出及似然方程及似然方程 （3）解似然方程得到最大似然估计值解似然方程得到最大似然估计值 （4）最后得到最大似然估计量最后得到最大似然估计量 概率论与数理统计概率论与数理统计解解似然函数似然函数例例1 1概率论与数理统计概率论与数理统计这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.概率论与数理统计概率论与数理统计解解X 的的似然函数为似然函数为例例2概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计它们与相应的矩它们与相应的矩估计量相同估计量相同.概率论与数理统计概率论与数理统计三、小结三、小结两种求点估计的方法两种求点估计的方法:矩估计法矩估计法最大似然估计法最大似然估计法 在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法, 在最大似然估计法使用不方便时在最大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法再用矩估计法.概率论与数理统计概率论与数理统计