精 品 数 学 课 件北 师 大 版 三角函数式的化简与证明三角函数式的化简与证明 由于三角函数式中包含着各种不同的角、不由于三角函数式中包含着各种不同的角、不同的函数种类以及不同的式子的结构形式，因此在三角函数同的函数种类以及不同的式子的结构形式，因此在三角函数式的化简与证明中，我们需从三个方面去考虑：式的化简与证明中，我们需从三个方面去考虑：1.1.明确化简明确化简( (证明证明) )的要求：的要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出值的应尽量求出值出值的应尽量求出值. .2.2.熟悉化简熟悉化简( (证明证明) )的方法：的方法：(1)(1)直接应用公式，包括公式的正直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；用、逆用和变形用；(2)(2)常用切化弦，异名化同名、异角化同常用切化弦，异名化同名、异角化同角等角等. .3.3.掌握化简掌握化简( (证明证明) )的技巧：的技巧：(1)(1)注意特殊角与特殊值的互化；注意特殊角与特殊值的互化；(2)(2)注意角的变换技巧；注意角的变换技巧；(3)(3)注意注意“1 1”的代换的代换. .【例例1 1】已知已知求求 的值的值【审题指导审题指导】本题看似是求值问题，但实质是考查式子的化本题看似是求值问题，但实质是考查式子的化简，先根据角的范围得出简，先根据角的范围得出tantan的值，再利用公式化简带入求的值，再利用公式化简带入求值值. .【规范解答规范解答】解得解得tan tan 3 3或或又又又又 三角函数求值三角函数求值 三角函数的求值是三角恒等变形中最重要三角函数的求值是三角恒等变形中最重要也是最典型的问题，是考试中必不可少的考查点，因此我们也是最典型的问题，是考试中必不可少的考查点，因此我们必须熟悉这类问题的考查形式和解决的技巧方法必须熟悉这类问题的考查形式和解决的技巧方法. .常见的求值类型如下：常见的求值类型如下：(1)(1)给角求值给角求值: :解决的关键是正确地分析角解决的关键是正确地分析角( (已知角与未知角已知角与未知角) )之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值. .(2)(2)给值求值给值求值: :解决的关键是分析已知式与待求式之间角、名解决的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值. .(3)(3)给值求角给值求角: :解题的关键是求出该角的某一三角函数值，讨解题的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角论角的范围，求出该角. . 求值问题中要特别注意考虑角的范围，解题过求值问题中要特别注意考虑角的范围，解题过程中往往忽视角的范围而出现增根程中往往忽视角的范围而出现增根. . 【例例2 2】(1)(1)已知已知求求sinsin和和coscos的值的值. .(2)(2)已知已知 x(0,),x(0,),求求cotxcotx的值的值. .【审题指导审题指导】(1)(1)利用同角三角函数基本关系式和角的变换求利用同角三角函数基本关系式和角的变换求值值, ,(2)(2)可以利用平方关系求值，也可以利用可以利用平方关系求值，也可以利用“1 1”的代换求值的代换求值. .【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为 所以所以又因为又因为 所以所以 因为因为 所以所以(2)(2)由由 所以所以又因为又因为x(0,)x(0,)，所以，所以sinx0,cosx0,cosx2,a2,则有则有 即即 与与a a2 2矛盾矛盾, ,若若-2a2,-2a2,则有则有 即即a=-1a=-1或或a=-3(a=-3(舍去舍去),), 时时a=-1,a=-1,此时此时当当cosx=1cosx=1时时f(x)f(x)取得最大值为取得最大值为5.5.1. 1. 的值为的值为( )( )(A)1 (B) (C)2 (D)(A)1 (B) (C)2 (D)【解析解析】选选A.A.原式原式【易错提醒易错提醒】本题常因找不出本题常因找不出5555与与5 5之间的关系而出现不之间的关系而出现不会求解的思维误区会求解的思维误区. .2.2.函数函数f(x)=2sinxcosxf(x)=2sinxcosx是是( )( )(A)(A)最小正周期为最小正周期为22的奇函数的奇函数(B)(B)最小正周期为最小正周期为22的偶函数的偶函数(C)(C)最小正周期为最小正周期为的奇函数的奇函数(D)(D)最小正周期为最小正周期为的偶函数的偶函数【解析解析】选选C.C.本题考查三角函数的性质本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx= f(x)=2sinxcosx= sin2xsin2x，周期为，周期为的奇函数的奇函数. .3.3.已知已知 是第三象限角，则是第三象限角，则cos(-)cos(-)的值是的值是( )( )【解析解析】选选A.A.又又 是第三象限角，是第三象限角，4.4.在在ABCABC中，中，cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB，则，则ABCABC为为( )( )(A)(A)锐角三角形锐角三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形 (C)(C)钝角三角形钝角三角形 (D)(D)无法判定无法判定【解析解析】选选C.cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)0,-cosC0, C.cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)0,-cosC0, cosC0,CcosC0,C为钝角为钝角. .5.5.已知已知 那么那么sinsin的值为的值为_, _, cos2cos2的值为的值为_._.【解析解析】 答案答案: : 6.6.求值：求值：tan20tan20+tan40+tan40+ tan20+ tan20tan40tan40 =_.=_.【解析解析】原式原式答案答案: :7.7.函数函数 在区间在区间 上的最小值为上的最小值为_【解析解析】答案答案: :1 18.8.已知函数已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(xR)f(x)=2sinxcosx+cos2x(xR)(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期和最大值；的最小正周期和最大值；(2)(2)若若为锐角，且为锐角，且 求求tan2tan2的值的值. .【解析解析】(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+cos2xf(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为 最大值为最大值为为锐角，即为锐角，即9.9.已知向量已知向量 且且 其中其中(1)(1)求求sinsin和和coscos的值；的值；(2)(2)若若 求求coscos的值的值 【解析解析】 且且 即即sin=2cos. sin=2cos. sinsin2 2+cos+cos2 2=1, =1, 解得解得cos=coscos=cos-(-)-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos(-)+sinsin(-)=