3.4 3.4 基本不等式基本不等式: : 华南师大附中 曲政ICM2002会标会标如图，这是在北如图，这是在北京召开的第京召开的第22届届国际数学家大会国际数学家大会会标会标根据会标会标根据中国古代数学家中国古代数学家赵爽的弦图设计赵爽的弦图设计的，颜色的明暗的，颜色的明暗使它看上去象一使它看上去象一个风车，代表中个风车，代表中国人民热情好客。国人民热情好客。ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=_、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S =_=_、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究探究SS a2+b22ab思考：（1）该结论成立的条件是什么 ？ 若a,bR，那么（2）公式中等号成立的条件是什么？（当且仅当a=b时，取“=”号） 若a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，等号成立）思考3 ：不等式左右两边有何种运算结构？任意两数的平方和不小于它们的积的两倍由此公式，我们可以变形为思考：以下不等式成立吗？思考：以下不等式成立吗？ 若a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，等号成立）若若a0 b0（当且仅当a=b时，等号成立）那么那么a + b 2 基本不等式的证明1 作差比较法；2 换元法；3 反证法；4 几何解释法。 探究探究2：ABCDE1 1、如图、如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C C是是ABAB上与上与A A、B B不重合的一不重合的一点，点，AC=AC=a a,CB,CB= =b b, ,过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DEDE，连，连AD,BD,AD,BD,则则CD=CD=, ,半径半径= =ab半弦不大于半径半弦不大于半径、你能用这个图形得出、你能用这个图形得出基本不等式基本不等式几何解释吗几何解释吗? ?O基本不等式基本不等式当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数1.两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于不小于它们的它们的几何平均数几何平均数. .2.2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项3.3.变形用变形用例题1例例2.(1) 已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.(2) 已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.(3) 已知已知 能得到什么结论能得到什么结论? 请说明理由请说明理由.练习1、已知a、b、c都是正数，求证：（ab）（bc）（ca）abc 1 今天这节课学了哪些主要知识？ （1）重要不等式和基本不等式各自成立的条件及结构特征（2）基本不等式的简单应用 2 在解决问题时用了哪些方法？（1）数形结合思想（2）换元法、作差比较法 （3）类比、配凑等技巧你会了你会了吗？吗？思考：我们已经知道那么，在 的条件下，你能比较 的大小吗？由此，你可以得到什么结论呢？由此，你可以得到什么结论呢？必做题：(1)课本第100页练习1; (2)习题3.4 A组第1题.选作题：几何解释法是一种很好的证明不等式的方法，你能否再尝试一下利用其他几何图形来证明这两个不等式吗？