第一章第一章 多项式多项式整除理论整除理论因式分解理论因式分解理论根的理论根的理论主要内容：主要内容：一、一元多项式一、一元多项式二、多元多项式二、多元多项式 一、整除理论（带余除法的特殊情形）一、整除理论（带余除法的特殊情形） 1 1、基本概念、基本概念2 2、基本性质、基本性质(1)(1)整除的性质整除的性质. .整除、最大公因式、互素整除、最大公因式、互素(2)(2)最大公因式存在性质最大公因式存在性质. .(3)(3)互素性质互素性质. .定理定理2对对 ，在在 中存在中存在一个最大公因式一个最大公因式 ，且，且 可表成可表成 的一个组合，即的一个组合，即 ，使使 二、因式分解理论二、因式分解理论 1 1、基本概念、基本概念2 2、基本性质、基本性质(1) (1) 不可约多项式的性质不可约多项式的性质. .不可约多项式不可约多项式、重因式、本原多项式、重因式、本原多项式(2) (2) 因式分解存在性及唯一性定理因式分解存在性及唯一性定理；(3) (3) 重因式的性质重因式的性质；(4) (4) 复系数多项式因式分解定理复系数多项式因式分解定理；(5) (5) 实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理；(6) (6) 有理系数不可约多项式的判别有理系数不可约多项式的判别高斯引理、艾森斯坦判别法高斯引理、艾森斯坦判别法 三、根的理论三、根的理论(2)(2) 1 1、基本概念、基本概念2 2、基本性质、基本性质(1) (1) 余数定理余数定理多项式的根、重根多项式的根、重根(3)(3) 是是 的重根的重根 是是 的重因式的重因式 任一任一 中的中的 次多项式次多项式 在在 中的根中的根 不可能多于不可能多于 个，重根按重数计算个，重根按重数计算 且且 若有若有 使使 则则 四、多元多项式四、多元多项式 1 1、基本概念、基本概念2 2、基本性质、基本性质对称多项式的基本定理对称多项式的基本定理法一：法一： 逐步消去首项法逐步消去首项法（4 4） 设设是是一个整系数多项式，而一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，是它的一个有理根， 其中其中 是互素的，则必有是互素的，则必有 多元多项式、齐次多项式、对称多项式多元多项式、齐次多项式、对称多项式法二：法二： 待定系数法（针对齐次对称多项式）待定系数法（针对齐次对称多项式）基本内容联系示意图基本内容联系示意图数域数域一元多项式一元多项式多项式函数多项式函数带余除法带余除法方程的根方程的根最大公因式最大公因式多元多项式多元多项式代数学基本定理代数学基本定理对称多项式基本定理对称多项式基本定理综合除法综合除法余数定理余数定理整除整除因式分解因式分解不可约多项式不可约多项式唯一性定理唯一性定理重因式重因式复数域复数域实数域实数域有理数域有理数域根与系数根与系数一、一、整除、互素的判别与证明、最大公因式的求法整除、互素的判别与证明、最大公因式的求法二、二、不可约多项式的性质与判定不可约多项式的性质与判定三、三、重因式、重根的判别与证明重因式、重根的判别与证明四、四、有理系数多项式不可约的判别、有理根有理系数多项式不可约的判别、有理根基本题型基本题型