1第十二章第十二章 薄板弯曲薄板弯曲概述第一节 基本假设基本假设 第二节 基本方程基本方程第三节 横截面上的内力横截面上的内力第四节 薄板的边界条件薄板的边界条件第五节 薄板弯曲薄板弯曲的直角坐标求解的直角坐标求解第六节 圆形薄板的轴对称弯曲圆形薄板的轴对称弯曲第七节 变分法求薄板的位移变分法求薄板的位移2概述概述薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t t与板面的最与板面的最小尺寸小尺寸b b的比值满足如下条件：的比值满足如下条件：则称为薄板。则称为薄板。 将坐标原点取于中面将坐标原点取于中面内的一点，内的一点，x x 和和y y 轴在中轴在中面内，面内，z z 垂直轴向下，如垂直轴向下，如图所示。图所示。 我们把平分板厚度的平我们把平分板厚度的平面称为中面。面称为中面。3 当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应力、应变和位移。力、应变和位移。4第一节第一节 基本假设基本假设 薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设：薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设：（1 1）板厚不变假设）板厚不变假设即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的挠度。挠度。（2 2）中面法线保持不变假设）中面法线保持不变假设 垂直于中面方向的正应变垂直于中面方向的正应变 很小，可以忽略不计。很小，可以忽略不计。 即即 ，由几何方程得，由几何方程得 ，从而有：，从而有：5 在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂直于弯曲后的中面。即直于弯曲后的中面。即（3 3）中面为中性层假设）中面为中性层假设即即由由几何方程得几何方程得（4 4）应力）应力 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为6第二节第二节 基本方程基本方程 按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 为基本未知为基本未知量，把所有其它物理量都用量，把所有其它物理量都用 来表示。来表示。（1 1）几何方程）几何方程 在薄板的中面上取一微在薄板的中面上取一微小矩形小矩形ABCDABCD如图所示。它的如图所示。它的边长为边长为dxdx和和dydy，载荷作用后，载荷作用后，弯成曲面弯成曲面A AB BC CD D。设。设A A点点的挠度为的挠度为 ，弹性曲面沿，弹性曲面沿x x和和y y方向的倾角分别为方向的倾角分别为 和和 ，则则7B B点的挠度为点的挠度为D D点的挠度为点的挠度为 由由 和和 可知可知或或写成写成对对z z进行积分，并利用进行积分，并利用 ，得，得于是应变分量用于是应变分量用 表示为表示为: :8 小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的曲率可近似地用挠度曲率可近似地用挠度 表示为表示为: :所以应变分量又可写成所以应变分量又可写成9（2 2）物理方程）物理方程 不计不计 所引起的应变，物理方程为：所引起的应变，物理方程为：把把应力分量用应变分量表示，得：应力分量用应变分量表示，得：10（3 3）弹性曲面微分方程）弹性曲面微分方程 在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得： 上式说明，主要的应力分量上式说明，主要的应力分量 沿板的厚度线性沿板的厚度线性分布。分布。将应力分量用挠度将应力分量用挠度 表示，得：表示，得：11 将应力分量用挠度将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化表示的物理方程代入上式，并化简得：简得： 由于挠度由于挠度 不随不随z z 变化，且薄板在上下面的边界条变化，且薄板在上下面的边界条件为：件为：12将前面二式对将前面二式对z z 进行积分，得：进行积分，得：再由再由平衡微分方程第三式，得：平衡微分方程第三式，得：将将 用挠度用挠度 表达式代入，并化简得：表达式代入，并化简得：（1）13由于挠度由于挠度 不随不随z z 变化，且薄板有边界条件变化，且薄板有边界条件: :将（将（1 1）式对）式对z z 积分，得积分，得: : 设设在在薄板顶面上每单位面积作用的载荷薄板顶面上每单位面积作用的载荷q q( (包括横向面包括横向面力和横向体力），板上面的边界条件为力和横向体力），板上面的边界条件为: :将将 的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程: :14其中其中称为薄板的弯曲刚度。称为薄板的弯曲刚度。 薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。15第三节第三节 横截面上的内力横截面上的内力 在薄板横截面上取一微分六面体，在薄板横截面上取一微分六面体，其三边的长度分别为其三边的长度分别为 , ,如图所如图所示。在垂直于示。在垂直于x x 轴的横截面上，作用着轴的横截面上，作用着正应力正应力 和剪应力和剪应力 。由于。由于 和和 在板厚上的总和为零，只能分别合在板厚上的总和为零，只能分别合成为弯矩成为弯矩 和扭矩和扭矩 ；而；而 只能合只能合成横向剪力成横向剪力 。 显然，在垂直于显然，在垂直于x x 轴的横截面上，轴的横截面上，每单位宽度之值如下：每单位宽度之值如下：16 同理同理17 将将上节给出的应力分量与挠度上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分之间关系代入，并积分得：得：上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。弹性方程。18 利用应力分量与挠度利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方之间的关系、薄板挠曲微分方程以及内力与形变之间的弹性方程，消去程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各，可以给出各应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。19 显然，沿着薄板的厚度，应力分量显然，沿着薄板的厚度，应力分量 的最大值的最大值发生在板面，发生在板面， 和和 的最大值发生在中面，而的最大值发生在中面，而 之最大值之最大值发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中， 在数值上较大，因而是主要应力；在数值上较大，因而是主要应力； 及及 数值较数值较小，是次要的应力；挤压应力小，是次要的应力；挤压应力 在数值上最小，是更次要在数值上最小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩。扭矩。20 第四节第四节 薄板的边界条件薄板的边界条件以图示矩形板为例以图示矩形板为例：1 1 固定边固定边 假定假定OA OA 边是固支边界，则边边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即：零。即：2 2 简支边简支边 假设假设OC OC 边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩MyMy21等于零。等于零。 即：即：由于由于且在且在OCOC上上即即则则简支边简支边OC OC 边界条件可写成：边界条件可写成：22 3 3 自由边自由边 板边板边CB CB 为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即：剪应力都为零，即：由于扭矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可由于扭矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可合并为：合并为：23 将将M Mx x、Q Qx x、M Mxyxy与与 的关系代入，得自由边界的关系代入，得自由边界CB CB 的边界条件的边界条件为：为：24 第五节第五节 薄板弯曲的直角坐标求解薄板弯曲的直角坐标求解 用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首先设定具有待定系数的薄板挠度先设定具有待定系数的薄板挠度 的表达式；其次利用薄的表达式；其次利用薄板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠度板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠度与应力分量的关系，求得应力分量。与应力分量的关系，求得应力分量。例例1 1 试求边界固定的椭圆形薄试求边界固定的椭圆形薄板在承受均布载荷板在承受均布载荷q q 后的最大后的最大挠度和最大弯矩。挠度和最大弯矩。解：在图示坐标下，椭圆薄板解：在图示坐标下，椭圆薄板的边界方程为的边界方程为: :25 设挠度的表达式为设挠度的表达式为: :其中其中C C为常数。设为常数。设n n为薄板边界外法线，则在薄板的边界为薄板边界外法线，则在薄板的边界上应有上应有: :注意到注意到显然所设挠度显然所设挠度 的表达式满足固定边界条件。的表达式满足固定边界条件。26将挠度将挠度 的表达式代入弹性曲面微分方程的表达式代入弹性曲面微分方程得得: :从而从而内力内力27 最大挠度为最大挠度为: :最大弯矩为（设最大弯矩为（设ab):ab):其中其中28 例例2 2 试求图示四边简支，试求图示四边简支，承受均布载荷承受均布载荷 的矩形的矩形薄板之最大挠度。薄板之最大挠度。解：取图示坐标系解：取图示坐标系设设则在则在x=0x=0及及x=ax=a边界上，边边界上，边界条件界条件自然满足。自然满足。将将 的表达式代入弹性曲面微分方程的表达式代入弹性曲面微分方程29 得得将将 展为傅立叶级数展为傅立叶级数其中其中m为偶数m为奇数则则取取微分方程的特解为：微分方程的特解为：30 并并注意到挠度注意到挠度 是是y y 的偶函数，则非齐次线性常微分方程的偶函数，则非齐次线性常微分方程的一般解为的一般解为: :利用边界条件利用边界条件 ( (已用对称性）处，已用对称性）处， 得得31 挠度的表达式：挠度的表达式：若若a=ba=b，则则可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。32 第六节第六节 圆形薄板的轴对称弯曲圆形薄板的轴对称弯曲 求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄板所受的横向载荷是绕薄板所受的横向载荷是绕z z 轴对称的（轴对称的（z z 轴垂直板面向下）轴垂直板面向下），则该弹性薄板的位移也将是绕，则该弹性薄板的位移也将是绕z z 轴对称的，即轴对称的，即 只是只是r r 的函数，不随的函数，不随 而变。而变。一、弹性曲面微分方程一、弹性曲面微分方程 参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成：形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成：或或33 二、内力二、内力展开后得：展开后得：该该微分方程的通解为微分方程的通解为其中其中 是任意一个特解。是任意一个特解。 从薄板内取出一个微分单从薄板内取出一个微分单元体，图示。在元体，图示。在 r r 为常量的横为常量的横截面上，弯矩和横向剪力分别截面上，弯矩和横向剪力分别为为M Mr r 和和 ；在；在 为常量的横截为常量的横截面上，则为面上，则为 和和 。由于是轴。由于是轴对称问题，故没有扭矩。对称问题，故没有扭矩。34 把把x x 轴和轴和y y 轴分别转到这个微分单元体的轴分别转到这个微分单元体的r r 和和 方向，方向，则利用坐标转换公式，有：则利用坐标转换公式，有：35 三、应力分量三、应力分量利用坐标转换公式，同理有：利用坐标转换公式，同理有：将将应力分量用内力表示有：应力分量用内力表示有：36例例3 3 半径为半径为a a的实心圆板，周边固支，受均布载荷的实心圆板，周边固支，受均布载荷 及圆心及圆心处的集中力处的集中力P P 作用，求挠度。作用，求挠度。解：解：由题意知，本题为圆板轴对称弯曲，挠曲线方程为：由题意知，本题为圆板轴对称弯曲，挠曲线方程为：取取特解特解知知通解为通解为由由实心圆板中心处的挠度实心圆板中心处的挠度 应有界知：应有界知：从板中取出半径为从板中取出半径为r r 的部分圆板，由的部分圆板，由z z方向的平衡条件给出方向的平衡条件给出37故故而又有而又有故故由由 得得由由 得得故板的故板的挠度挠度38第七节第七节 变分法求薄板的位移变分法求薄板的位移 薄板小挠度弯曲时，薄板小挠度弯曲时， 为微量，可略去不计。此为微量，可略去不计。此时弹性薄板的变形能时弹性薄板的变形能: :用用挠度挠度 表示表示: :39 其中其中A A为为薄板面积。薄板面积。 对于板边固定的任意形状板，以及板边界处对于板边固定的任意形状板，以及板边界处 的多的多边形（板中无孔洞），由分步积分公式得边形（板中无孔洞），由分步积分公式得: :对于固定板，对于固定板， 即即对于沿板边对于沿板边 的矩形板，总有的矩形板，总有 或或因此因此40即即弹性板的变形能简化为：弹性板的变形能简化为：例例4 4 求四边简支矩形板求四边简支矩形板 在均布载荷在均布载荷 作用作用下的挠度。下的挠度。解：用里兹法。取板的挠度为如下重三角级数解：用里兹法。取板的挠度为如下重三角级数显然，该级数的每一项都满足四边简支的边界条件。显然，该级数的每一项都满足四边简支的边界条件。板的板的弹性变形能：弹性变形能：41 在在均布载荷均布载荷 作用下，外力势能作用下，外力势能V V 为为总位能总位能: :由由取极值的条件得出：取极值的条件得出：（ m,n均为奇数均为奇数）42 由此得出由此得出故故（ m,n均为奇数均为奇数）(m或或n为为偶数时偶数时）43练习12.1 矩形薄板具有固定边OA，简支边OC及自由边AB和BC，角点B处有链杆支承，板边所受荷载如图所示。试将板边的边界条件用挠度表示。xyzM M0 0q qoA AC CB Bab解：（1）OA边（2）OC边后一式用挠度表示为44（3）AB边用挠度表示为（4）BC边45用挠度表示为（5）在B支点46练习12.2 有一块边长分别为a 和b 的四边简支矩形薄板，坐标如图所示。受板面荷载 作用，试证 能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力。xyzoab解： 不难验证 能满足所有简支边的边界条件，由挠曲面方程可确定 ，从而求出挠度、弯矩和反力。474849练习12.3 有一半径为a 的圆板，在 r=b 处为简支，荷载如图所示。求其最大挠度。qqrzba解： 板的挠度函数可分两部分表达50 和 的各阶导数如下：51在 r=a 及 r=b 处的边界条件或连续条件为将挠度及其导数代入上述六式，可解出六个常数如下：52把求出的常数代入 的表达式，并将 与 进行比较，较大者即为圆板的最大挠度。53 54