第四节直线、平面平行的判定及其性质【知【知识梳理】梳理】1.1.直直线与平面平行与平面平行(1)(1)判定定理判定定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判判定定定定理理平面外一条直平面外一条直线与与_的一条直的一条直线平行平行, ,则该直直线与此平面平行与此平面平行l此平此平面内面内(2)(2)性质定理性质定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言性性质定定理理一条直一条直线与一个平面与一个平面平行平行, ,则过这条直条直线的的任一平面与此平面的任一平面与此平面的_与与该直直线平行平行abab交交线2.2.平面与平面平行平面与平面平行(1)(1)判定定理判定定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判判定定定定理理一个平面内的两条一个平面内的两条_与另一个平面平与另一个平面平行行, ,则这两个平面平行两个平面平行相交相交直直线(2)(2)性质定理性质定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言性性质定定理理如果两个平行平面同如果两个平行平面同时和和第三个平面第三个平面_,_,那么它那么它们的的_平行平行abab相交相交交交线【考点自【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命出下列命题: :如果一个平面内的两条直如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面平行于另一个平面, ,那么那么这两个两个平面平行平面平行; ;如果两个平面平行如果两个平面平行, ,那么分那么分别在在这两个平面内的两条直两个平面内的两条直线平平行或异面行或异面; ;若直若直线a a与平面与平面内无数条直内无数条直线平行平行, ,则a;a;若直若直线aa平面平面,P,P,则过点点P P且平行于直且平行于直线a a的直的直线有无有无数条数条; ;若平面若平面平面平面,直直线aa平面平面,则直直线aa平面平面.其中正确的是其中正确的是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选D.D.错误错误. .当这两条直线为相交直线时当这两条直线为相交直线时, ,才能保证这才能保证这两个平面平行两个平面平行. .正确正确. .如果两个平面平行如果两个平面平行, ,则在这两个平面内的直线没有公共则在这两个平面内的直线没有公共点点, ,则它们平行或异面则它们平行或异面. .错误错误. .若直线若直线a a与平面与平面内无数条直线平行内无数条直线平行, ,则则aa或或a a .错误错误. .有且只有一条直线有且只有一条直线, ,且该直线为过直线且该直线为过直线a a和点和点P P的平面与的平面与平面平面的交线的交线. .错误错误. .若平面若平面平面平面,直线直线aa平面平面,则则aa或或a a .2.2.若两条直若两条直线都与一个平面平行都与一个平面平行, ,则这两条直两条直线的位置关系的位置关系是是( () )A.A.平行平行 B. B.相交相交C.C.异面异面 D. D.以上均有可能以上均有可能【解析】【解析】选选D.D.借助长方体模型可知借助长方体模型可知, ,两条直线的位置关系可以两条直线的位置关系可以为平行、相交、异面为平行、相交、异面. .3.(20143.(2014长沙模沙模拟) )若直若直线ab,ab,且直且直线aa平面平面,则直直线b b与与平面平面的位置关系是的位置关系是( () )A.bA.b B.b B.bC.bC.b或或b D.bb D.b与与相交或相交或b b或或bb【解析】【解析】选选D.D.当当b b与与相交或相交或b b 或或bb时时, ,均满足直线均满足直线ab,ab,且直线且直线aa平面平面的情况的情况, ,故选故选D.D.4.(20144.(2014温州模温州模拟) )下列命下列命题中正确的个数是中正确的个数是( () )若直若直线a a不在不在内内, ,则a;a;若直若直线l上有无数个点不在平面上有无数个点不在平面内内, ,则l;若若l与平面与平面平行平行, ,则l与与内任何一条直内任何一条直线都没有公共点都没有公共点; ;平行于同一直平行于同一直线的两个平面平行的两个平面平行. .A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4【解析】【解析】选选A.a=AA.a=A时时,a,a ,所以所以错错; ;直线直线l与与相交时相交时, ,l上也可以有无数个点不在上也可以有无数个点不在内内, ,故故错错; ;l,l与与无公共点无公共点, ,所以所以l与平面与平面内任一直线都无公共点内任一直线都无公共点,正确正确; ;长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中平面中平面A A1 1C C1 1与平面与平面D D1 1C C都与直线都与直线ABAB平行平行, ,但两平面相交但两平面相交, ,所以所以错误错误. .5.5.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E是是DDDD1 1的中点的中点, ,则BDBD1 1与平面与平面ACEACE的的位置关系位置关系为. .【解析】【解析】如图如图. .连接连接BDBD与与ACAC交于交于O O点点, ,连接连接OE,OE,所以所以OEBDOEBD1 1, ,而而OEOE 平面平面ACE,BDACE,BD1 1 平面平面ACE,ACE,所以所以BDBD1 1平面平面ACE.ACE.答案答案: :平行平行考点考点1 1 有关平行关系的判断有关平行关系的判断【典例【典例1 1】(1)(1)下列命下列命题正确的是正确的是( () )A.A.若两条直若两条直线和同一个平面所成的角相等和同一个平面所成的角相等, ,则这两条直两条直线平行平行B.B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, ,则这两个两个平面平行平面平行C.C.若一条直若一条直线平行于两个相交平面平行于两个相交平面, ,则这条直条直线与与这两个平面两个平面的交的交线平行平行D.D.若两个平面都垂直于第三个平面若两个平面都垂直于第三个平面, ,则这两个平面平行两个平面平行(2)(2013(2)(2013广广东高考高考) )设l为直直线,是两个不同的平面是两个不同的平面, ,下列下列命命题中正确的是中正确的是( () )A.A.若若l,l,则B.B.若若l,l,则C.C.若若l,l,则D.D.若若,l,则l【解题视点】【解题视点】(1)(1)本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面平行的判定和性质线面平行的判定和性质, ,需要熟练掌握定义、定理需要熟练掌握定义、定理. .(2)(2)本题考查空间推理论证能力本题考查空间推理论证能力, ,应熟练运用平行与垂直的判定应熟练运用平行与垂直的判定与性质与性质, ,还要能举出反例还要能举出反例. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.若两条直线和同一平面所成角相等若两条直线和同一平面所成角相等, ,这两这两条直线可能平行条直线可能平行, ,也可能为异面直线也可能为异面直线, ,也可能相交也可能相交, ,所以所以A A错错; ;一一个平面上的三点到另一个平面的距离相等个平面上的三点到另一个平面的距离相等, ,则这两个平面平行则这两个平面平行或相交或相交, ,故故B B错错; ;若两个平面垂直同一个平面若两个平面垂直同一个平面, ,则这两个平面可以则这两个平面可以平行平行, ,也可以相交也可以相交, ,故故D D错错; ;只有选项只有选项C C正确正确. .(2)(2)选选B.B.对于选项对于选项A,A,若若l,l,则平面则平面,可能相交可能相交, ,此时交此时交线与线与l平行平行, ,故故A A错误错误; ;对于选项对于选项B,B,垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线的两个平面平行平行; ;对于选项对于选项C,C,能推出两个平面相交且两个平面垂直能推出两个平面相交且两个平面垂直; ;对于选对于选项项D,D,l,l,l 都有可能都有可能. .【规律方法】【规律方法】有关平行关系判断的技巧有关平行关系判断的技巧(1)(1)熟悉线面关系的各个定理熟悉线面关系的各个定理, ,无论是单项选择还是含选择项的无论是单项选择还是含选择项的填空题填空题, ,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除排除, ,再逐步判断其余选项再逐步判断其余选项. .(2)(2)特别注意定理所要求的条件是否完备特别注意定理所要求的条件是否完备, ,图形是否有特殊情形图形是否有特殊情形. .【变式式训练】已知两条直已知两条直线a,b,a,b,两个平面两个平面,则下列下列结论中中正确的是正确的是( () )A.A.若若a a,且且,则aaB.B.若若b b,ab,ab,则aaC.C.若若a,a,则aaD.D.若若b,ab,b,ab,则aa【解析】【解析】选选A.A.A.A.因为因为,又又a a ,所以所以a,a,故故A A正确正确; ;B.B.因为因为b b ,ab,ab,若若a a ,则则a a不可能与不可能与平行平行, ,故故B B错误错误; ;C.C.因为因为a,a,若若a a ,则结论不成立则结论不成立, ,故故C C错误错误; ;D.D.因为因为b,ab,b,ab,若若a a ,则结论不成立则结论不成立, ,故故D D错误错误. .【加固【加固训练】1.(20141.(2014大同模大同模拟) )若两条不同的直若两条不同的直线与同一平与同一平面所成的角相等面所成的角相等, ,则这两条直两条直线( () )A.A.平行平行 B. B.相交相交C.C.异面异面 D. D.以上皆有可能以上皆有可能【解析】【解析】选选D.D.如图如图, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,BCBC1 1ADAD1 1, ,两直线与平面两直线与平面ABCDABCD所成角相等所成角相等, ,BCBC1 1与与B B1 1C C相交相交, ,两直线与平面两直线与平面ABCDABCD所成角相等所成角相等, ,BCBC1 1与与A A1 1D D异面异面, ,两直线与平面两直线与平面ABCDABCD所成角也相等所成角也相等. .2.2.设a,ba,b为不重合的两条直不重合的两条直线,为不重合的两个平面不重合的两个平面, ,给出出下列命下列命题: :若若a a,b,b ,a,b,a,b是异面直是异面直线, ,那么那么b;b;若若aa且且b,b,则ab;ab;若若a a,b,a,b,b,a,b共面共面, ,那么那么ab;ab;若若,a,a,则a.a.上面命上面命题中中, ,所有真命所有真命题的序号是的序号是. .【解析】【解析】中的直线中的直线b b与平面与平面也可能相交也可能相交, ,故不正确故不正确; ;中的直线中的直线a,ba,b可能平行、相交或异面可能平行、相交或异面, ,故不正确故不正确; ;由线面平行由线面平行的性质得的性质得正确正确; ;由面面平行的性质可得由面面平行的性质可得正确正确. .答案答案: :考点考点2 2 直直线与平面平行的判定和性与平面平行的判定和性质 【考情】【考情】平行关系是空平行关系是空间几何中的一种重要关系几何中的一种重要关系, ,包括包括线线平平行、行、线面平行、面面平行面平行、面面平行, ,其中其中线面平行在高考面平行在高考试题中出中出现频率很高率很高, ,一般出一般出现在解答在解答题中中. .考考查线面平行的判定定理与性面平行的判定定理与性质定理在定理在证明或判断中的明或判断中的应用用. .高频考点高频考点通关通关 【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014丽水模水模拟) )正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F,G G分分别是是A A1 1B B1 1,CD,B,CD,B1 1C C1 1的中点的中点, ,则正确命正确命题是是( () )A.AECG B.AEA.AECG B.AE与与CGCG是异面直是异面直线C.C.四四边形形AECAEC1 1F F是正方形是正方形 D.AE D.AE平面平面BCBC1 1F F(2)(2013(2)(2013新新课标全国卷全国卷)如如图, ,直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,D,E,D,E分分别是是AB,BBAB,BB1 1的中点的中点. .证明明:BC:BC1 1平面平面A A1 1CD;CD;设AAAA1 1=AC=CB=2,AB=2 ,=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱求三棱锥C-AC-A1 1DEDE的体的体积. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据正方体的几何特征根据正方体的几何特征, ,可以判断出可以判断出AEAE与与CGCG相相交交, ,但不垂直但不垂直, ,由此可以判断出由此可以判断出A,BA,B的真假的真假. .分析四边形分析四边形AECAEC1 1F,F,即即可判断可判断C C的真假的真假. .由线面平行的判定定理由线面平行的判定定理, ,可以判断出可以判断出D D的真假的真假, ,进而得到答案进而得到答案. .(2)(2)连接连接ACAC1 1, ,构造中位线构造中位线, ,利用线线平行证线面平行利用线线平行证线面平行; ;利用条件中的垂直关系求出利用条件中的垂直关系求出A A1 1D,DE,AD,DE,A1 1E E的长的长, ,确定确定DEADEA1 1D,D,再再利用利用 CD CD求体积求体积. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.由正方体的几何特征由正方体的几何特征, ,可得可得AECAEC1 1G,G,但但AEAE与平面与平面BCCBCC1 1B B1 1不垂直不垂直, ,故故AECGAECG不成立不成立; ;由于由于EGAC,EGAC,故故A,E,G,CA,E,G,C四点共面四点共面, ,所以所以AEAE与与CGCG是异面直线错误是异面直线错误; ;在四边形在四边形AECAEC1 1F F中中,AE=EC,AE=EC1 1=C=C1 1F=AF,F=AF,但但AFAF与与AEAE不垂直不垂直, ,故四边形故四边形AECAEC1 1F F是正方形错误是正方形错误; ;而而AECAEC1 1F,F,由线面平行的判定定理由线面平行的判定定理, ,可得可得AEAE平面平面BCBC1 1F.F.(2)(2)连接连接ACAC1 1, ,交交A A1 1C C于点于点F,F,则则F F为为ACAC1 1中点中点. .又又D D是是ABAB的中点的中点, ,连接连接DF,DF,则则BCBC1 1DF.DF.因为因为DFDF 平面平面A A1 1CD,BCCD,BC1 1 平面平面A A1 1CD,CD,所以所以BCBC1 1平面平面A A1 1CD.CD.因为因为ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱是直三棱柱, ,所以所以AAAA1 1CD.CD.由已知由已知AC=CB,DAC=CB,D为为ABAB的中点的中点, ,所以所以CDAB.CDAB.又又AAAA1 1AB=A,AB=A,于是于是CDCD平面平面ABBABB1 1A A1 1. .由由AAAA1 1ACACCBCB2,AB2,AB 得得ACB=90ACB=90，CD= CD= ，A A1 1D= ,D= ,DE= ,ADE= ,A1 1E=3,E=3,故故A A1 1D D2 2+DE+DE2 2=A=A1 1E E2 2, ,即即DEADEA1 1D.D.所以所以【通关【通关锦囊】囊】重点重点题型型破解策略破解策略线面平行的面平行的证明明(1)(1)关关键是是设法在平面内找到一条直法在平面内找到一条直线与已知直与已知直线平平行行. .可利用几何体的特征可利用几何体的特征, ,合理运用中位合理运用中位线、比例关、比例关系系, ,特殊位置作相关的平行特殊位置作相关的平行线, ,或者构造平行四或者构造平行四边形形. .(2)(2)证明直明直线与平面平行的常用方法与平面平行的常用方法: :利用利用线面平行的判定定理面平行的判定定理;利用面面平行的性利用面面平行的性质判断判断线面的面的位置关系位置关系利用定利用定义、定理、公理直接判断、定理、公理直接判断, ,或是或是结合合图形运用形运用模型法模型法进行直行直观判断判断线面平行性面平行性质的的应用用将将线面平行面平行问题转化化为线线平行平行问题, ,挖掘定理挖掘定理隐含含的条件的条件, ,确定解确定解题方法方法【特别提醒】【特别提醒】证明线面平行时证明线面平行时, ,要注意说明已知直线不在平面要注意说明已知直线不在平面内内. .【关注【关注题型】型】线面平面平行的探行的探索性索性问题一般采用一般采用执果索因的方法果索因的方法, ,假假设求解的求解的结果存果存在在, ,从从这个个结果出果出发, ,寻找找这个个结论成立的充分成立的充分条件条件, ,如果找到了符合如果找到了符合题目目结果要求的条件果要求的条件, ,则存在存在; ;如果找不到符合如果找不到符合题目目结果要求的条件果要求的条件( (出出现矛盾矛盾),),则不存在不存在【通关【通关题组】1.(20141.(2014宁波模宁波模拟) )已知直已知直线m,nm,n和平面和平面,则mnmn的一个必要的一个必要不充分条件是不充分条件是( () )A.m,n B.m,nA.m,n B.m,nC.m,nC.m,n D.m,n D.m,n与与成等角成等角【解析】【解析】选选D.D.对于对于A,m,nA,m,n为为mnmn的既不充分也不必要的既不充分也不必要条件条件; ;对于对于B,m,nB,m,n为为mnmn的充分不必要条件的充分不必要条件; ;对于对于C, C, m,nm,n 为为mnmn的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件; ;对于对于D,m,nD,m,n与与成成等角为等角为mnmn的必要不充分条件的必要不充分条件, ,故选故选D.D.2.(20142.(2014湖州模湖州模拟) )如如图, ,在四棱在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面是平行四底面是平行四边形形,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,点点M,NM,N分分别为BC,PABC,PA的中点的中点. .在在线段段PDPD上是否上是否存在一点存在一点E,E,使使NMNM平面平面ACE?ACE?若存在若存在, ,请确定点确定点E E的位置的位置; ;若不存若不存在在, ,请说明理由明理由. .【解析】【解析】在在PDPD上存在一点上存在一点E,E,使得使得NMNM平面平面ACE,ACE,且且E E为线段为线段PDPD的中点的中点. .证明如下证明如下: :如图如图, ,取取PDPD的中点的中点E,E,连接连接NE,EC,AE,NE,EC,AE,因为因为N,EN,E分别为分别为PA,PDPA,PD的中点的中点, ,所以所以NE AD.NE AD.又在平行四边形又在平行四边形ABCDABCD中中,CM AD.,CM AD.所以所以NE MC,NE MC,即四边形即四边形MCENMCEN是平行四边形是平行四边形. .所以所以NM EC.NM EC.又又ECEC 平面平面ACE,NMACE,NM 平面平面ACE,ACE,所以所以MNMN平面平面ACE,ACE,即在即在PDPD上存在一点上存在一点E,E,且且E E为线段为线段PDPD的中点的中点, ,使得使得NMNM平面平面ACE.ACE.3.(20143.(2014石家庄模石家庄模拟) )如如图, ,在直角在直角梯形梯形ABCDABCD中中,B=90,DCAB,BC=,B=90,DCAB,BC=CD= AB=2,GCD= AB=2,G为线段段ABAB的中点的中点, ,将将ADGADG沿沿GDGD折起折起, ,使平面使平面ADGADG平面平面BCDG,BCDG,得到几何体得到几何体A-BCDG.A-BCDG.(1)(1)若若E,FE,F分分别为线段段AC,ADAC,AD的中点的中点, ,求求证:EF:EF平面平面ABG.ABG.(2)(2)求三棱求三棱锥C-ABDC-ABD的体的体积. .【解析】【解析】(1)(1)因为折叠前后因为折叠前后CD,BGCD,BG的位置关系不变的位置关系不变, ,所以所以CDBG.CDBG.因为在因为在ACDACD中中,E,F,E,F分别为分别为AC,ADAC,AD的中点的中点, ,所以所以EFCD.EFCD.所以所以EFBG.EFBG.又因为又因为EFEF 平面平面ABG,BGABG,BG 平面平面ABG,ABG,所以所以EFEF平面平面ABG.ABG.(2)(2)因为因为BC=CD= AB=2,GBC=CD= AB=2,G为线段为线段ABAB的中点的中点, ,所以所以CD=BG.CD=BG.又因为又因为B=90,CDBG,BC=CD,B=90,CDBG,BC=CD,所以四边形所以四边形BCDGBCDG是一个正方形是一个正方形, ,所以所以BGDG,AGDG,BGDG,AGDG,折叠后仍然成立折叠后仍然成立, ,因为平面因为平面ADGADG平面平面BCDG,BCDG,所以所以AGAG平面平面BCDG,BCDG,所以所以V V三棱锥三棱锥C-ABDC-ABD=V=V三棱锥三棱锥A-BCDA-BCD= AGS= AGSBCDBCD= 2 22= .= 2 22= .【加固【加固训练】1.(20131.(2013菏菏泽模模拟) )如如图所示所示,ABCD-A,ABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是是棱棱长为a a的正方体的正方体,M,N,M,N分分别是下底面的棱是下底面的棱A A1 1B B1 1,B,B1 1C C1 1的中点的中点,P,P是是上底面的棱上底面的棱ADAD上的一点上的一点,AP= ,AP= ,过P,M,NP,M,N的平面交上底面于的平面交上底面于PQ,PQ,Q Q在在CDCD上上, ,则PQ=PQ=. .【解析】【解析】如图如图, ,连接连接AC,AC,易知易知MNMN平面平面ABCD,ABCD,所以所以MNPQ.MNPQ.因为因为MNAC,MNAC,所以所以PQAC.PQAC.又因为又因为APAP ，所以所以所以所以答案：答案：2.(20132.(2013洛阳模洛阳模拟) )如如图所示所示, ,在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,A,A1 1AA平平面面ABC,ABC,若若D D是棱是棱CCCC1 1的中点的中点, ,在棱在棱ABAB上是否存在一点上是否存在一点E,E,使使DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1? ?若存在若存在, ,请确定点确定点E E的位置的位置; ;若不存在若不存在, ,请说明理由明理由. .【解析】【解析】存在点存在点E,E,且且E E为为ABAB的中点的中点. .证明如下证明如下: :取取ABAB的中点的中点E,BBE,BB1 1中点中点F,F,连接连接DE,DF,EF,DE,DF,EF,则则B B1 1FCFC1 1D,BD,B1 1F=CF=C1 1D,D,所以四边形所以四边形B B1 1FDCFDC1 1为平行四边形为平行四边形. .所以所以DFBDFB1 1C C1 1. .又又DFDF 平面平面ABAB1 1C C1 1, ,B B1 1C C1 1 平面平面ABAB1 1C C1 1, ,所以所以DFDF平面平面ABAB1 1C C1 1. .同理同理EFEF平面平面ABAB1 1C C1 1. .因为因为DFEF=F,DFDFEF=F,DF 平面平面DEF,EFDEF,EF 平面平面DEF,DEF,所以平面所以平面DEFDEF平面平面ABAB1 1C C1 1. .因为因为DEDE 平面平面DEF,DEF,所以所以DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1. .考点考点3 3 面面平行的判定和性面面平行的判定和性质【典例【典例3 3】如如图, ,在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,E,F,E,F,G,HG,H分分别是是AB,AC,AAB,AC,A1 1B B1 1,A,A1 1C C1 1的中点的中点, ,求求证: :(1)B,C,H,G(1)B,C,H,G四点共面四点共面. .(2)(2)平面平面EFAEFA1 1平面平面BCHG.BCHG.【解题视点】【解题视点】(1)(1)要证明要证明B,C,H,GB,C,H,G四点共面四点共面, ,只需要证明直线只需要证明直线GHGH与直线与直线BCBC共面共面, ,即证明即证明GHBCGHBC即可即可. .(2)(2)要证明平面要证明平面EFAEFA1 1与平面与平面BCHGBCHG平行平行, ,可利用面面平行的判定定可利用面面平行的判定定理证明理证明. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为G,HG,H分别是分别是A A1 1B B1 1,A,A1 1C C1 1的中点的中点, ,所以所以GHGH是是AA1 1B B1 1C C1 1的中位线的中位线, ,所以所以GHBGHB1 1C C1 1. .又因为又因为B B1 1C C1 1BC,BC,所以所以GHBC,GHBC,所以所以B,C,H,GB,C,H,G四点共面四点共面. .(2)(2)因为因为E,FE,F分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点, ,所以所以EFBC.EFBC.因为因为EFEF 平面平面BCHG,BCBCHG,BC 平面平面BCHG,BCHG,所以所以EFEF平面平面BCHG.BCHG.因为因为A A1 1G G EB,EB,所以四边形所以四边形A A1 1EBGEBG是平行四边形是平行四边形, ,所以所以A A1 1EGB.EGB.因为因为A A1 1E E 平面平面BCHG,GBBCHG,GB 平面平面BCHG,BCHG,所以所以A A1 1EE平面平面BCHG.BCHG.因为因为A A1 1EEF=E,EEF=E,所以平面所以平面EFAEFA1 1平面平面BCHG.BCHG.【互【互动探究】探究】在本例条件下在本例条件下, ,若若D D1 1,D,D分分别为B B1 1C C1 1,BC,BC的中点的中点, ,求求证: :平面平面A A1 1BDBD1 1平面平面ACAC1 1D.D.【证明】【证明】如图所示如图所示, ,连接连接A A1 1C C交交ACAC1 1于点于点H,H,因为四边形因为四边形A A1 1ACCACC1 1是平行四边形是平行四边形, ,所以所以H H是是A A1 1C C的中点的中点, ,连接连接HD,HD,因为因为D D为为BCBC的中点的中点, ,所以所以A A1 1BHD.BHD.因为因为A A1 1B B 平面平面A A1 1BDBD1 1, ,DHDH 平面平面A A1 1BDBD1 1, ,所以所以DHDH平面平面A A1 1BDBD1 1. .又由三棱柱的性质知又由三棱柱的性质知,D,D1 1C C1 1 BD,BD,所以四边形所以四边形BDCBDC1 1D D1 1为平行四边形为平行四边形, ,所以所以DCDC1 1BDBD1 1. .又又DCDC1 1 平面平面A A1 1BDBD1 1, ,BDBD1 1 平面平面A A1 1BDBD1 1, ,所以所以DCDC1 1平面平面A A1 1BDBD1 1, ,又因为又因为DCDC1 1DH=D,DH=D,所以平面所以平面A A1 1BDBD1 1平面平面ACAC1 1D.D.【规律方法】【规律方法】1.1.判定面面平行的方法判定面面平行的方法方法一方法一利用定义利用定义( (不易操作不易操作) )方法二方法二利用面面平行的判定定理利用面面平行的判定定理方法三方法三利用线线平行直接证面面平行利用线线平行直接证面面平行方法四方法四利用面面平行的传递性利用面面平行的传递性(,(,)方法五方法五利用线面垂直的性质利用线面垂直的性质( (l,l)2.2.面面平行的性质面面平行的性质(1)(1)两平面平行两平面平行, ,则一个平面内的直线平行于另一平面则一个平面内的直线平行于另一平面. .(2)(2)若一平面与两平行平面相交若一平面与两平行平面相交, ,则交线平行则交线平行. .提醒提醒: :利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行. .重视三种平行间的转化关系重视三种平行间的转化关系线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想有关的问题的指导思想, ,解题中既要注意一般的转化规律解题中既要注意一般的转化规律, ,又要又要看清题目的具体条件看清题目的具体条件, ,选择正确的转化方向选择正确的转化方向. .【变式式训练】1.(20141.(2014温州模温州模拟) )平面平面平面平面的一个充分的一个充分条件是条件是( () )A.A.存在一条直存在一条直线a,a,aa,a,aB.B.存在一条直存在一条直线a,aa,a,a,aC.C.存在两条平行直存在两条平行直线a,b,aa,b,a,b,b,a,b,a,bD.D.存在两条异面直存在两条异面直线a,b,aa,b,a,b,b,a,b,a,b【解析】【解析】选选D.D.由两异面直线由两异面直线a,b,aa,b,a ,b,b ,a,a知在知在内存内存在直线在直线a,a,使得使得aa,aa,同理在同理在内有直线内有直线bb使得使得bb.bb.由由于于a a与与b b异面异面, ,平移后必相交平移后必相交. .故可得出故可得出.2.2.如如图所示所示, ,已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱是棱长为3 3的正方体的正方体, ,点点E E在在AAAA1 1上上, ,点点F F在在CCCC1 1上上,G,G在在BBBB1 1上上, ,且且AE=FCAE=FC1 1=B=B1 1G=1,HG=1,H是是B B1 1C C1 1的中点的中点. .(1)(1)求求证:E,B,F,D:E,B,F,D1 1四点共面四点共面. .(2)(2)求求证: :平面平面A A1 1GHGH平面平面BEDBED1 1F.F.【证明】【证明】(1)(1)连接连接FG.FG.因为因为AE=BAE=B1 1G=1,G=1,所以所以BG=ABG=A1 1E=2,E=2,又又BGABGA1 1E,E,所以四边形所以四边形BGABGA1 1E E为平行四边形为平行四边形. .则则A A1 1GBE.GBE.又又C C1 1FBFB1 1G,CG,C1 1F=BF=B1 1G,G,所以四边形所以四边形C C1 1FGBFGB1 1为平行四边形为平行四边形. .则则FGBFGB1 1C C1 1,FG=B,FG=B1 1C C1 1. .又又B B1 1C C1 1DD1 1A A1 1,B,B1 1C C1 1=D=D1 1A A1 1, ,所以所以FGDFGD1 1A A1 1,FG=D,FG=D1 1A A1 1. .则四边形则四边形A A1 1GFDGFD1 1为平行四边形为平行四边形. .则则A A1 1GDGD1 1F,F,所以所以D D1 1FBE.FBE.故故E,B,F,DE,B,F,D1 1四点共面四点共面. .(2)(2)因为因为H H是是B B1 1C C1 1的中点的中点, ,所以所以B B1 1H= .H= .又又B B1 1G=1,G=1,又又 且且FCB=GBFCB=GB1 1H=90.H=90.所以所以BB1 1HGCBF,HGCBF,则则BB1 1GH=CFB=FBG.GH=CFB=FBG.所以所以HGFB.HGFB.又由又由(1)(1)知知,A,A1 1GBE,GBE,且且HGAHGA1 1G=G,FBBE=B,G=G,FBBE=B,所以平面所以平面A A1 1GHGH平面平面BEDBED1 1F.F.【加固【加固训练】1.1.已知平面已知平面平面平面,P,P是是,外一点外一点, ,过点点P P的直的直线m m与与,分分别交于交于A,C,A,C,过点点P P的直的直线n n与与,分分别交于交于B,D,B,D,且且PA=6,AC=9,PD=8,PA=6,AC=9,PD=8,则BDBD的的长为( () )A.16 B.24A.16 B.24或或 C.14 D.20 C.14 D.20【解析】【解析】选选B.B.分两种情况考虑分两种情况考虑. .如图如图，当点，当点P P在两平面同侧时，连在两平面同侧时，连ABAB，CDCD，则，则ABCDABCD，故故 即即 解得解得BDBD . .同理，如图同理，如图，当点，当点P P在两平面之间时，可得在两平面之间时，可得BDBD24.24.2.(20132.(2013南通模南通模拟) )如如图所示所示, ,斜三棱柱斜三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,点点D,DD,D1 1分分别为AC,AAC,A1 1C C1 1上的点上的点. .(1)(1)当当 等于何等于何值时,BC,BC1 1平面平面ABAB1 1D D1 1? ?(2)(2)若平面若平面BCBC1 1DD平面平面ABAB1 1D D1 1, ,求求 的的值. .【解析】【解析】(1)(1)如图所示如图所示, ,取取D D1 1为线段为线段A A1 1C C1 1的中点的中点, ,此时此时 =1. =1.连接连接A A1 1B,B,交交ABAB1 1于点于点O,O,连接连接ODOD1 1. .由棱柱的性质知由棱柱的性质知, ,四边形四边形A A1 1ABBABB1 1为平行四边形为平行四边形, ,所以点所以点O O为为A A1 1B B的中点的中点. .在在AA1 1BCBC1 1中中, ,点点O,DO,D1 1分别为分别为A A1 1B,AB,A1 1C C1 1的中点的中点, ,所以所以ODOD1 1BCBC1 1. .又因为又因为ODOD1 1 平面平面ABAB1 1D D1 1, ,BCBC1 1 平面平面ABAB1 1D D1 1, ,所以所以BCBC1 1平面平面ABAB1 1D D1 1. .所以当所以当 =1 =1时时,BC,BC1 1平面平面ABAB1 1D D1 1. .(2)(2)由平面由平面BCBC1 1DD平面平面ABAB1 1D D1 1, ,且平面且平面A A1 1BCBC1 1平面平面BCBC1 1D=BCD=BC1 1, ,平面平面A A1 1BCBC1 1平面平面ABAB1 1D D1 1=D=D1 1O O得得BCBC1 1DD1 1O,O,所以所以又由题可知又由题可知所以所以 1 1，即，即 1.1.【规范解答【规范解答8 8】平行关系证明的规范解答平行关系证明的规范解答 【典例】【典例】(14(14分分)(2014)(2014德州模德州模拟) )如如图, ,几何体几何体E-ABCDE-ABCD是四棱是四棱锥,ABD,ABD为正三角正三角形形,CB=CD,CEBD.,CB=CD,CEBD.(1)(1)求求证:BE=DE.:BE=DE.(2)(2)若若BCD=120,MBCD=120,M为线段段AEAE的中点的中点, ,求求证:DM:DM平面平面BEC.BEC.【审题】【审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)ABDABD为正三角形为正三角形三角形三个内角相等三角形三个内角相等, ,三边相等三边相等(2)(2)CEBDCEBD利用线线垂直确定线面垂直利用线线垂直确定线面垂直(3)(3)BCD=120,MBCD=120,M为线为线段段AEAE的中点的中点, ,证明证明DMDM平面平面BECBEC利用中点构造三角形的中位线利用中点构造三角形的中位线找到线线平行找到线线平行线面平行线面平行【解题】【解题】规范步骤规范步骤, ,水到渠成水到渠成(1)(1)如图如图, , 取取BDBD中点为中点为O O，连接连接OC,OE,OC,OE,则由则由BC=CD,BC=CD,知知COBD.1COBD.1分分又又CEBD,ECCO=C,CEBD,ECCO=C,CO,ECCO,EC 平面平面EOC,EOC,所以所以BDBD平面平面EOC.EOC.所以所以BDOE.3BDOE.3分分又因为又因为O O是是BDBD中点中点, ,所以所以BE=DE.4BE=DE.4分分(2)(2)如图如图, ,取取ABAB的中点的中点N,N,连接连接DM,DN,MN,DM,DN,MN,因为因为M M是是AEAE的中点的中点, ,所以所以MNBE.6MNBE.6分分又又MNMN 平面平面BECBEC，BEBE 平面平面BECBEC，所以所以MNMN平面平面BEC.8BEC.8分分又因为又因为ABDABD为正三角形，为正三角形，所以所以BDNBDN3030，又又CBCBCDCD，BCDBCD120120，因此因此CBDCBD3030，所以所以DNBC.DNBC. 1010分分又又DNDN 平面平面BECBEC，BCBC 平面平面BECBEC，所以所以DNDN平面平面BEC.BEC.又又MNDNMNDNN N，故平面故平面DMNDMN平面平面BECBEC，又又DMDM 平面平面DMNDMN，所以所以DMDM平面平面BEC.14BEC.14分分【点题】【点题】失分警示失分警示, ,规避误区规避误区失分点失分点防范措施防范措施处不知取点处不知取点O O或忽或忽视视O O为为BDBD的中点的中点, ,而无而无法入手法入手所求与已知中均有线段相等所求与已知中均有线段相等, ,即出现等腰三即出现等腰三角形公共边问题角形公共边问题, ,此种情况下此种情况下, ,一般取底边一般取底边的中点作辅助线的中点作辅助线处忽视处忽视MNMN 平面平面BECBEC和和DNDN 平面平面BEC,BEC,造成造成步骤书写不完整步骤书写不完整利用判定定理证明直线与平面平行时利用判定定理证明直线与平面平行时, ,必须必须满足三个条件满足三个条件: :第一第一, ,直线直线a a在平面外在平面外; ;第二第二, ,直线直线b b在平面内在平面内; ;第三第三, ,两直线平行两直线平行, ,这三个这三个条件缺一不可条件缺一不可, ,特别是特别是“直线直线a a在平面外在平面外”容易忽视容易忽视, ,在写步骤时不要忽略在写步骤时不要忽略处不能利用内错角处不能利用内错角相等相等, ,得出得出DNBC,DNBC,从从而无法求解而无法求解证明线线平行要注意应用平面几何中的有证明线线平行要注意应用平面几何中的有关定理、性质关定理、性质【变题】变式式训练, ,能力迁移能力迁移如如图, ,在四棱在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形, ,PAPA平面平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,FABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分分别是是PB,PB,PCPC的中点的中点. .(1)(1)求求证:EF:EF平面平面PAD.PAD.(2)(2)求三棱求三棱锥E-ABCE-ABC的体的体积. .【解析】【解析】(1)(1)在在PBCPBC中中,E,F,E,F分别是分别是PB,PCPB,PC的中点的中点, ,所以所以EFBC.EFBC.因为四边形因为四边形ABCDABCD为矩形为矩形, ,所以所以BCAD,BCAD,所以所以EFAD.EFAD.又因为又因为ADAD 平面平面PAD,EFPAD,EF 平面平面PAD,PAD,所以所以EFEF平面平面PAD.PAD.(2)(2)连接连接AE,AC,EC,AE,AC,EC,过过E E作作EGPAEGPA交交ABAB于点于点G,G,如图所示如图所示. .则则EGEG平面平面ABCD,ABCD,且且EG= PA.EG= PA.在在PABPAB中中,AP=AB,PAB=90,BP=2,AP=AB,PAB=90,BP=2,所以所以AP=AB= ,EG= .AP=AB= ,EG= .所以所以S SABCABC= ABBC= ABBC=所以所以V VE-ABCE-ABC= S= SABCABCEG=EG=