物理实验基础知识物理实验基础知识主讲：黄柳宾主讲：黄柳宾联系电话：联系电话：8396074物理实验中心物理实验中心（第一次课）13 3、实实验验课课是是一一门门自自学学性性较较强强的的课课程程，实实验验目目的的、实实验验原原理理要要求求学学生生必必须须在在课课前前进进行行自自学学，课课堂堂上上不不可可能能有有足足够够的的时间仔细看，否则会影响实验的正常操作。时间仔细看，否则会影响实验的正常操作。 提示：提示：1 1、大大学学物物理理实实验验与与中中学学物物理理实实验验的的区区别别，中中学学物物理理实实验验是是帮帮助助学学生生理理解解物物理理概概念念；大大学学物物理理实实验验是是要要求求学学生生学学会会实验方法、原理、认识实验仪器等。实验方法、原理、认识实验仪器等。2 2、本本次次所所讲讲述述的的内内容容是是整整个个大大学学物物理理实实验验课课的的基基础础知知识识，贯贯穿穿于于所所有有实实验验课课全全部部，并并不不是是其其它它课课程程的的一一般般的的绪绪论论课课，因此这次课非常重要希望大家务必重视。因此这次课非常重要希望大家务必重视。2第一章第一章 绪论绪论 物物理理实实验验的的范范围围大大至至宇宇宙宙，小小至至原原子子、分分子子，物物理理实实验验已已涉涉及及到到各各个个学学科科的的方方方方面面面面。例例如如：地地震震勘勘探探、放放射射性性测测井井、电电法法测测井井、原原油油电电脱脱水水、电电法法采采油油、注注蒸蒸汽汽采采油油等等油油田田开采领域，其他领域也同样如此。开采领域，其他领域也同样如此。 而而且且历历届届获获得得诺诺贝贝尔尔物物理理学学奖奖的的科科学学家家中中，80%80%以以上上是是实实验验物物理理学学家家，由由此此可可以以看看出出，物物理理实实验验的的重重要要性性和和学学习习物物理实验的理实验的必要性必要性。 一、学习物理实验的意义一、学习物理实验的意义3二、学习物理实验的几个问题二、学习物理实验的几个问题1 1、预约阶段、预约阶段A、本学期第一层次共开设本学期第一层次共开设16个项目，要求学生必须完成个项目，要求学生必须完成8个项目，多做个项目，多做加分，不够加分，不够8个项目，本学期没有成绩。具体参考有关规定。个项目，本学期没有成绩。具体参考有关规定。B、预约前必须在网上仔细阅读预约前必须在网上仔细阅读 “开放实验管理系统开放实验管理系统”公告栏中公告栏中“开放实验上课须知开放实验上课须知”、“第一层次预约指南及学习辅导第一层次预约指南及学习辅导”及开课时间等有关规及开课时间等有关规定。定。C、预约时间：第二周开始，希望大家及时进行预约，尤其第三周的实预约时间：第二周开始，希望大家及时进行预约，尤其第三周的实验时间要珍惜。验时间要珍惜。42 2、预习阶段、预习阶段A、必须认真阅读必须认真阅读“学习辅导学习辅导”及实验讲义中的相关内容进行预习。及实验讲义中的相关内容进行预习。 （如注明活页讲义的项目请到实验楼（如注明活页讲义的项目请到实验楼117或或223房间索取）房间索取）B、实验前的预习要求：掌握原理、实验内容，写出预习报告。实验前的预习要求：掌握原理、实验内容，写出预习报告。 预习报告包括：预习报告包括：实验名称、目的、原理、内容及实验名称、目的、原理、内容及数据表格数据表格。C、数据表格数据表格应在理解实验原理、实验内容的前提下，设计完整的数据应在理解实验原理、实验内容的前提下，设计完整的数据记录表格。记录表格。一旦预约成功一旦预约成功53 3、实验阶段、实验阶段A、进入实验室，每个学生必须进入实验室，每个学生必须携带有效证件携带有效证件，否则任课教师有权拒，否则任课教师有权拒绝你做实验，该项目成绩按旷课处理。绝你做实验，该项目成绩按旷课处理。B、实验过程中每个学生应做到：实验过程中每个学生应做到： 态度端正、工作严谨、独立完成态度端正、工作严谨、独立完成C、实验过程中可能遇到问题，应把它看作是学习的机会，实验过程中可能遇到问题，应把它看作是学习的机会，冷静分析、冷静分析、检查、处理检查、处理；在分析后仍然不能解决的才寻求教师的帮助。；在分析后仍然不能解决的才寻求教师的帮助。D、实验结束时，应首先让任课教师检查数据并实验结束时，应首先让任课教师检查数据并得到老师签字得到老师签字允许后允许后方可整理实验仪器。每次实验学生必须整理实验仪器和卫生，养成良方可整理实验仪器。每次实验学生必须整理实验仪器和卫生，养成良好的实验习惯，否则会影响你的实验操作成绩。好的实验习惯，否则会影响你的实验操作成绩。64 4、实验结束后的报告、实验结束后的报告 写实验报告是实验工作的全面总结，要用简明的形式写实验报告是实验工作的全面总结，要用简明的形式将实验结果完整而有真实地表达出来。将实验结果完整而有真实地表达出来。必须用实验报告纸写报告，作图必须用坐标纸必须用实验报告纸写报告，作图必须用坐标纸。 通常一份完整的实验报告通常由下列几部分组成通常一份完整的实验报告通常由下列几部分组成72 2、实验目的：、实验目的：1 1、实验名称：、实验名称：3 3、实实验验原原理理：要要求求：a a、能能基基本本说说明明本本实实验验所所要要做做的的一一些些工工作作和和过过程程；b b、原原理理中中出出现现的的公公式式推推导导，只只需需要要结结论论性性的的公公式式，不不需需要要过过程程；c c、是是否否画画原理图或线路图，可根据实际情况确定。原理图或线路图，可根据实际情况确定。4 4、实验内容：根据讲义的要求进行撰写。并拟定数据记录表格。、实验内容：根据讲义的要求进行撰写。并拟定数据记录表格。5、实验仪器：、实验仪器：6、整理后的实验数据：、整理后的实验数据：7、数据处理过程：强调必须有字母公式到数字公式的过度。、数据处理过程：强调必须有字母公式到数字公式的过度。8、结果的评定及分析：、结果的评定及分析：9、问题讨论（包括思考题的回答以及对本实验教学和内容的建议）、问题讨论（包括思考题的回答以及对本实验教学和内容的建议）1010、附件：教师签字的原始数据（必备）、附件：教师签字的原始数据（必备）（1-4项是预习报告必须做的内容）项是预习报告必须做的内容）8第二章第二章 误差与不确定度基本知识误差与不确定度基本知识 一、测量和误差的基本概念：一、测量和误差的基本概念： 所谓测量是用实验方法通过一定的量具（或仪所谓测量是用实验方法通过一定的量具（或仪器）寻找待测量真值的操作过程。器）寻找待测量真值的操作过程。一个物理量的测一个物理量的测量值必须有数值和单位组成，两者缺一不可量值必须有数值和单位组成，两者缺一不可。1、测量（直接和间接）测量（直接和间接）9误差就是指某量值的测量值与客观真值之差误差就是指某量值的测量值与客观真值之差。 客观真值是一个抽象的概念，一般情况下是未知的，客观真值是一个抽象的概念，一般情况下是未知的，但在下面几种特殊情况下可以是已知的：但在下面几种特殊情况下可以是已知的：2 2、误差、误差误差的定义误差的定义：理论真值；理论真值； 约定真值；约定真值； 相对真值。相对真值。误差的性质：误差的性质：未知性；未知性； 普遍性；普遍性； 随机性随机性10其误差分别为：其误差分别为：其中其中:在测量某一量值时可以得到一系列数据：在测量某一量值时可以得到一系列数据：按误差性质可分为按误差性质可分为三类误差三类误差：例如：对于任何一个待测量而言例如：对于任何一个待测量而言误差的分类误差的分类11 对于某一个具体误差来说，误差值可能是正或负，也可对于某一个具体误差来说，误差值可能是正或负，也可能是比较大或小，这是难以预测的，而且毫无规律而言，但能是比较大或小，这是难以预测的，而且毫无规律而言，但是如果测量次数较多时，误差的变化规律又符合一定的统计是如果测量次数较多时，误差的变化规律又符合一定的统计规律。因此我们称这种误差为随机误差。规律。因此我们称这种误差为随机误差。随机误差具有以下三个特性：随机误差具有以下三个特性： A、单峰性；单峰性；B、对称性；对称性；C、有界性有界性。随机误差随机误差:12 在相同条件下测量同一量值时，往往在进行多次重复测在相同条件下测量同一量值时，往往在进行多次重复测量时，得到的误差值具有一定的倾向性，即误差的大小、符量时，得到的误差值具有一定的倾向性，即误差的大小、符号保持不变，或者按某种规律变化，这种误差我们称之为系号保持不变，或者按某种规律变化，这种误差我们称之为系统误差。统误差。 在在测测量量时时，有有时时会会得得到到个个别别数数据据，远远偏偏离离于于其其它它数数据据，这这是是由由于于某某种种原原因因所所引引起起的的（可可能能是是人人为为的的、也也可可能能是是仪仪器器方方面面，还还有有可可能能是是环环境境方方面面引引起起的的等等等等），故故称称这这种种误误差为粗大误差、或疏失误差、或过失误差。差为粗大误差、或疏失误差、或过失误差。系统误差系统误差粗大误差粗大误差13二、不确定度二、不确定度1 1、不确定度的概念不确定度的概念 用误差来评估测量结果的可靠程度，这种做法不尽完善，往往有可能用误差来评估测量结果的可靠程度，这种做法不尽完善，往往有可能遗漏一些影响测量结果准确性的因素，如未定系统误差、仪器误差等。而且遗漏一些影响测量结果准确性的因素，如未定系统误差、仪器误差等。而且误差是一个不确定量（不可知性）。鉴于上述原因，为了更准确地表述测量误差是一个不确定量（不可知性）。鉴于上述原因，为了更准确地表述测量结果的可靠性，国际上提出了采用不确定度的建议和规定。结果的可靠性，国际上提出了采用不确定度的建议和规定。 不确定度表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，或不确定度表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，或者说它是被测量值在某一范围内的一个评定。者说它是被测量值在某一范围内的一个评定。它它是建立在误差理论基础上的是建立在误差理论基础上的一个新概念，是误差的数字指标。一个新概念，是误差的数字指标。 客观地说：客观地说： 不确定度是对经典误差理论的一个补充，是现代误差理论不确定度是对经典误差理论的一个补充，是现代误差理论的内容之一，但它还有待进一步研究、完善与发展。的内容之一，但它还有待进一步研究、完善与发展。14 A A类分量类分量是能用统计方法计算出来的标准差，用符号是能用统计方法计算出来的标准差，用符号Si表示表示。2、不确定度的分类及估算方法不确定度的分类及估算方法不确定度的分类不确定度的分类 由由于于误误差差来来源源众众多多，测测量量结结果果不不确确定定度度一一般般包包含含多多个个分分量量，为为了了估估计计方方便便，按按其其评评定定方方法法，这这些些分分量量可可分分成成A、B两类分量：两类分量： B B类类分分量量是是能能用用其其他他方方法法估估计计出出来来的的“等等价价标标准准差差”，用用符符号号ui表示表示。 15 若测量若测量同一物理量同一物理量时，同时含有不确定度时，同时含有不确定度A类分量和不类分量和不确定度确定度B类分量时，则合成的不确定度为如下式所示：类分量时，则合成的不确定度为如下式所示：注意：式中所有注意：式中所有A A类分量和类分量和B B类分量必须是测同一物理量时类分量必须是测同一物理量时的不确定度。否则，合成不确定度无实际意义。的不确定度。否则，合成不确定度无实际意义。 3、合成不确定度合成不确定度 4、相对不确定度相对不确定度 为为表表示示测测量量结结果果的的好好坏坏，在在测测量量结结果果中中应应表表示示出出相相对对不不确确定定度。即度。即：相对不确定度越小，表示测量质量越好。相对不确定度越小，表示测量质量越好。16 三、直接测量的结果评价直接测量的结果评价 直接测量是将待测量与标准量进行比较，得到待测量的直接测量是将待测量与标准量进行比较，得到待测量的大小。如米尺测长度、天平称质量、秒表测时间等，都属于大小。如米尺测长度、天平称质量、秒表测时间等，都属于直接测量。为了减小误差，直接测量一个物理量一般要重复直接测量。为了减小误差，直接测量一个物理量一般要重复测量多次测量多次。怎样合理对所测量的物理量给出一个合理结果评怎样合理对所测量的物理量给出一个合理结果评价呢？价呢？ 需要做以下两步工作（需要做以下两步工作（假设所有测量数据都已经进行合理性估计，也即系假设所有测量数据都已经进行合理性估计，也即系统误差和粗大误差的大小可以忽略统误差和粗大误差的大小可以忽略）：）： 1、求最佳估计值；、求最佳估计值；2、求测量不确定度。、求测量不确定度。17算术平均值可表示为式：算术平均值可表示为式：当测量次数当测量次数n 趋于无穷时，算术平均值趋于真值趋于无穷时，算术平均值趋于真值。1、用算术平均值作为真值的用算术平均值作为真值的最佳估计值最佳估计值其中其中 xi 为第为第 i 次测得值。次测得值。182、直接测量的不确定度处理直接测量的不确定度处理不确定度不确定度A类分量的处理：类分量的处理：A、相同条件下多次重复测量的情形相同条件下多次重复测量的情形 假定某一相同条件下的测量列为假定某一相同条件下的测量列为xi (i=1n) 。19不不确确定定度度的的B类类分分量量处处理理：在在物物理理实实验验中中B类类不不确确定定度度一般只考虑由仪器引入的极限误差来确定，常用一般只考虑由仪器引入的极限误差来确定，常用ui来表示。来表示。而不确定度而不确定度B类分量类分量u由仪器的极限误差估算出，由仪器的极限误差估算出，因此多次直接测量平均值的合成不确定度为：因此多次直接测量平均值的合成不确定度为： 在在物物理理实实验验中中我我们们一一般般情情况况下下只只考考虑虑一一种种A类类分分量和一种量和一种B类分量简化的合成不确定度。类分量简化的合成不确定度。20因此多次测量的结果完整表示为：因此多次测量的结果完整表示为：21B、单次测量的情形单次测量的情形 有有时时因因条条件件所所限限不不可可能能进进行行多多次次测测量量，往往往往只只进进行行一一次次测量。测量。 一次测量的表示结果为：一次测量的表示结果为：（单位）（单位）其中测量不确定度的大小由仪器的极限误差来确定其中测量不确定度的大小由仪器的极限误差来确定22电流、电压表不确定度的计算电流、电压表不确定度的计算 按按照照我我国国国国家家标标准准规规定定，电电表表的的准准确确度度等等级级分分为为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5共共7个个级级别别，级级数越小的电表越准确。数越小的电表越准确。 若用若用表示电表本身的极限误差：表示电表本身的极限误差：如果只测一次，其不确定度为：如果只测一次，其不确定度为：23其相对不确定度为：其相对不确定度为： 从从上上式式可可以以看看出出，为为了了使使测测量量精精度度最最高高（即即相相对对不不确确定定度最小），应该选择的电表量程，必须使测量值接近量程。度最小），应该选择的电表量程，必须使测量值接近量程。24电阻的不确定度计算电阻的不确定度计算电阻不确定度的计算目前可以分成两种：电阻不确定度的计算目前可以分成两种：另另一一种种：由由于于电电阻阻箱箱用用PPM形形式式表表示示其其精精度度，所所以以在在计计算算不不确确定定度度时时，需需要要根根据据不不同同数数量量级级的的精精度度来来计计算算各各个个级级别别的的输输出出极极限限误误差差，然然后后再再除除以以平平均均分分布布置置信信因因子子 得得出出电电阻阻箱箱的的输输出出不不确定度。确定度。 特别强调的是：电阻不确定度没有相对不确定度的概念，特别强调的是：电阻不确定度没有相对不确定度的概念，其计算方法与电表不确定度的计算方法不同。其计算方法与电表不确定度的计算方法不同。一一种种：较较早早生生产产的的电电阻阻箱箱或或测测量量电电阻阻的的万万用用表表用用级级别别的的方方式式表表示示其其精精度度，那那么么这这样样的的读读数数值值或或测测量量值值最最后后的的不不确确定定度度计计算算应使用如下公式：应使用如下公式：25 设设y为为某某一一间间接接测测量量量量，x1,x2,，xk为为k个个直直接接测量量。遵循的函数形式为：测量量。遵循的函数形式为：各直接测量量的测量结果为：各直接测量量的测量结果为：四、四、间接测量的数据处理间接测量的数据处理26间接测量数据处理，主要解决以下两个问题间接测量数据处理，主要解决以下两个问题：由上可知，间接测量的最佳估计值如下式所示由上可知，间接测量的最佳估计值如下式所示： 由由于于间间接接测测量量量量y与与k个个直直接接测测量量量量有有关关，k个个直直接接测测量量量量的的误误差差必必然然对对间间接接测测量量量量y有有影影响响，也也即即y的的值值也也存存在在着着误误差差。因因此此，间间接接测测量量量量y的的不不确确定定度度也也是是与与各各直直接接测测量量量量的的不不确确定定度度有有关关的的，它它们们之之间间的的关关系系式式被被称称为为不确定度传播公式或传递公式不确定度传播公式或传递公式。 1、间接测量的最佳值、间接测量的最佳值2、间接测量的不确定度处理、间接测量的不确定度处理27由统计理论可推出传递公式：由统计理论可推出传递公式：上上式式中中 (i1k)是是传传播播系系数数， 是是xi的的不不确定度。确定度。28计计算算间间接接测测量量物物理理量量不不确确定定度度时时，应应首首先先对对各各直直接接测量量进行处理，然后再代入上式进行传递计算。测量量进行处理，然后再代入上式进行传递计算。综合综合1、2所述，间接测量的结果可表示为：所述，间接测量的结果可表示为：29测量结果的评价可以归纳为：测量结果的评价可以归纳为：1、整理采集的测量数据（列表形式表示）；、整理采集的测量数据（列表形式表示）；2、计算算术平均值得到最佳估计值、计算算术平均值得到最佳估计值 ；3、计算不确定度、计算不确定度A类分量类分量 ；4、计算不确定度、计算不确定度B类分量类分量 ；5、合成不确定度、合成不确定度 ；6、写出直接测量值的完整结果形式；、写出直接测量值的完整结果形式；7、计算间接测量平均值；、计算间接测量平均值；8、利用传递公式计算间接测量平均值的不确定度；、利用传递公式计算间接测量平均值的不确定度；9、写出最后完整的结果形式。、写出最后完整的结果形式。30 由由于于误误差差存存在在的的普普遍遍性性，实实验验中中某某物物理理量量的的测测量量值值及及运运算算结结果果都都是是近近似似的的。合合理理的的近近似似，既既能能充充分分反反映映测测量量精精度度，又又简简单明了。单明了。 注注意意：有有效效数数字字与与测测量量条条件件( (如如仪仪器器、环环境境、人人员员) )密密切切相相关关，它的位数由测量条件和待测量的大小共同决定。它的位数由测量条件和待测量的大小共同决定。第四章第四章 数据处理的基本知识数据处理的基本知识一、有效数字、有效数字1 1、有效数字的概念、有效数字的概念31（1）此时刻度读数为）此时刻度读数为1.66厘米厘米（2）此时刻度读数为）此时刻度读数为2.00厘米厘米（3）此时刻度读数为）此时刻度读数为90.70厘米厘米（4）此时刻度读数为）此时刻度读数为90.8厘米厘米例例因因此此，我我们们可可得得出出其其定定义义：有有效效数数字字实实际际是是由由表表征征测测量量结结果果的可靠数与可疑数组成的的可靠数与可疑数组成的。 可疑数字在有效数字中一般只有一位。可疑数字在有效数字中一般只有一位。32关于有效数字应注意以下几个问题：关于有效数字应注意以下几个问题：（1 1）非非零零数数字字前前面面的的“0”“0”不不是是有有效效数数字字，非非零零数数字字中中间间或或后后面面的的“0”“0”是是有有效效数数字字。有有效效数数字字不不能能随随意意增增减减，如如数数据据0.013700.01370中中的的前前面面两两个个“0”“0”不不是是有有效效数数字字, ,而而末末尾尾的的“0”“0”是是有有效效数数字字，它它与与1 1、3 3、7 7三三个个数数具具有有同同等地位。故末尾的等地位。故末尾的“0”“0”不能去掉。不能去掉。（2）单位换算过程中有效数字的位数不应改变。如单位换算过程中有效数字的位数不应改变。如15cm的长度换算为的长度换算为mm 表示时，应写：表示时，应写：15cm1.5102mm，而不能写成而不能写成150mm。（4）数字显示表的读数需要注意，末位数以出现几率高的数为准。所读数数字显示表的读数需要注意，末位数以出现几率高的数为准。所读数 末位即为可疑数。末位即为可疑数。（3）最小刻度内的估计一般为（最小刻度内的估计一般为（1/101/2）估计都可以。）估计都可以。332 2、测量结果中有效数字位数的取法、测量结果中有效数字位数的取法 X=3.80.002X=3.80.002（m m） 防止多写：防止多写：X=3.850120.002X=3.850120.002（m m）这些都是错误的这些都是错误的 X=3.8500.00481X=3.8500.00481（m m） 在本课程中绝对不确定度的有效数字只要求取一位；相对不确在本课程中绝对不确定度的有效数字只要求取一位；相对不确定度的有效数字，一般取定度的有效数字，一般取1 12 2位。位。 测测量量值值或或数数据据处处理理结结果果的的有有效效数数字字中中，包包含含有有可可疑疑数数字字。可可疑疑数数字字是是与与测测量量结结果果的的不不确确定定度度有有关关的的。不不确确定定度度的的首首位位数数对应结果中有效数字的末位数。对应结果中有效数字的末位数。 按按规规定定，最最后后的的测测量量结结果果中中，有有效效数数字字的的末末位位数数必必须须与与不不确确定定度度首首位位数数的的所所在在位位对对齐齐。如如( (1515.9.900.3).3)cmcm，其其中中15.915.9cmcm是测量结果，是测量结果，0.30.3cmcm是不确定度，是不确定度，“9”“9”为可疑数字。为可疑数字。343 3、有效数字的修约规则、有效数字的修约规则 当当实实验验结结果果由由于于计计算算或或其其它它某某些些原原因因，有有效效数数字字位位数数较较多多时，须采用如下的数字修约规则进行取舍。时，须采用如下的数字修约规则进行取舍。(1)、如果需舍去部分的如果需舍去部分的总数值总数值大于大于0.5时，所留末位需进时，所留末位需进1。(2)、若需舍去部分的若需舍去部分的总数值总数值小于小于0.5时，所留末位不变，即舍。时，所留末位不变，即舍。(3)、若若需需舍舍去去部部分分的的总总数数值值等等于于0.5时时，所所留留部部分分末末位位应应凑凑成成偶偶 数。原末位为偶数，所留部分末位不变；原末位为奇数，数。原末位为偶数，所留部分末位不变；原末位为奇数， 所留部分末位变为偶数。所留部分末位变为偶数。35例：例： 将下列的数据修约成将下列的数据修约成4位有效数字。位有效数字。3.14159 2.71729 4.51050 5.6235 3.216500 6.3785013.1422.7174.5105.6243.2166.379364 4、有效数字运算、有效数字运算 加减运算尾数取齐；乘除运算位数取齐；加减运算尾数取齐；乘除运算位数取齐； 乘方、开方的有效位数与其底的有效数字相同；乘方、开方的有效位数与其底的有效数字相同； 函数的有效数字根据不同的情况有不同的规定。函数的有效数字根据不同的情况有不同的规定。如：指数函数：与指数的有效数字位数相同如如：指数函数：与指数的有效数字位数相同如 ； 自然对数：其尾数的位数与该数的有效数字位数相同自然对数：其尾数的位数与该数的有效数字位数相同 三角函数：根据角度的不确定度来确定最后的有效位数。三角函数：根据角度的不确定度来确定最后的有效位数。另外需要特别提出注意的两点：另外需要特别提出注意的两点： 1 1、取取常常数数时时应应比比参参与与计计算算的的其其他他测测量量量量多多取取1 12 2位位，如如一一般般=3.14=3.14，但在实际使用时应根据参与运算的数据来确定。但在实际使用时应根据参与运算的数据来确定。 2 2、在在数数据据处处理理过过程程中中无无论论算算术术平平均均值值还还是是不不确确定定度度都都须须多多取取一一位位，目目的的是是防防止止计计算算过过程程中中扩扩大大误误差差，最最后后根根据据测测量量值值的的有有效效数数字字确确定定最最终终的结果形式。的结果形式。37列表举例列表举例： 表表1 伏安法测伏安法测100 电阻对应数值表电阻对应数值表 2002/9/5注：电压表量程注：电压表量程 7.5V 精度等级精度等级 1.0 ，电流表量程，电流表量程 50mA 精度等级精度等级 1.0二、列表与作图二、列表与作图1 1、列表法、列表法要求要求：（1）简明，便于表示对应关系，处理数据方便。简明，便于表示对应关系，处理数据方便。 （2）写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。 （3）表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。 （4）测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。382 2、作图法、作图法A、作图要求作图要求 (1)、根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸。根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸。 (2)、正确选择坐标比例。正确选择坐标比例。 (3)、写明图名、各坐标轴所代表的物理量、单位、数值的数量级等。写明图名、各坐标轴所代表的物理量、单位、数值的数量级等。 (4)、数据描点要用数据描点要用“”等比较明显的标识符号。不能用等比较明显的标识符号。不能用“.” (5)、对对变变化化规规律律容容易易判判断断的的曲曲线线以以平平滑滑线线连连接接，曲曲线线不不必必通通过过每每个个实实验验点点，各各实实验验点点应应均均匀匀分分布布在在曲曲线线两两边边；难难以以确确定定规规律律的的实实验验可可以以用用折折线线连连接。接。39B.B.作图法的应用作图法的应用 作图法的应用主要表现在以下两方面：作图法的应用主要表现在以下两方面： (1)、判断各量的相互关系。判断各量的相互关系。 通通过过作作图图可可以以判判断断各各量量的的相相互互关关系系，特特别别是是在在还还没没有有完完全全掌掌握握科科学学实实验验的的规规律律和和结结果果的的情情况况下下，或或还还没没有有找找出出适适合合的的函函数数表表达达式式时时，作作图图法法是是找找出出函函数数关关系系式式并并求求得得经经验验公公式式的的最最常常用用的的方方法法之之一一。如如二二极极管管的的伏伏安安特特性性曲曲线线、弹弹簧簧振振子子振振幅幅衰衰减减规规律曲线等，都可从图上清楚地表示出来。律曲线等，都可从图上清楚地表示出来。40(2)、图上求未知量图上求未知量 图解法图解法从直线上求物理量：从直线上求物理量：b41、非线性函数未知量的求法非线性函数未知量的求法曲线改直问题曲线改直问题 y=axb形形式式，a、b为为常常数数。函函数数形形式式可可以以作作如如下下变换，将方程两边取对数变换，将方程两边取对数(以以10为底为底)得到：得到：1gy=b1gx1ga在在直直角角坐坐标标纸纸上上取取lgy为为纵纵坐坐标标, ,1gx为为横横坐坐标标, ,得得到到一条直线一条直线, ,从而可以求出系数从而可以求出系数a和和b。42三、差值法与逐差法三、差值法与逐差法1 1、差值法、差值法 差差值值法法是是利利用用两两次次实实验验中中自自变变量量的的改改变变量量x和和函函数数的的改改变变量量y求求待待测测物理量的方法。物理量的方法。 例如用拉伸法测量钢丝的倔强系数例如用拉伸法测量钢丝的倔强系数k，若仅加力测一次。若仅加力测一次。Fk(LL0)其中包含了钢丝由弯曲变直造成的伸长，必然存在系统误差。其中包含了钢丝由弯曲变直造成的伸长，必然存在系统误差。若改变力测两次，其关系为：若改变力测两次，其关系为：F1k(L1L0)F2k(L2L0)上述两式相减得：上述两式相减得：F2F1k(L2L1)由此式求由此式求k，可以消除系统误差。可以消除系统误差。差值法通常用来测量起点不明确且带有定值系统误差物理量的常用方法。差值法通常用来测量起点不明确且带有定值系统误差物理量的常用方法。432 2、逐差法、逐差法 逐逐差差法法是是为为了了改改善善实实验验数数据据结结果果，减减小小误误差差影影响响由由差差值值法法的的基基础础上上发发展展来来的的，所所以以具具有有差差值值法法的的优优点点又又具具有有逐逐差差法法的的优点。优点。 例如要求求弹簧的倔强系数，根据虎克定律例如要求求弹簧的倔强系数，根据虎克定律F=kx等等间间距距改改变变外外力力F Fi i，可可以以相相应应地地得得到到不不同同的的弹弹簧簧的的伸伸长长量量xi，这时，每改变一次力这时，每改变一次力，弹簧的改变量为弹簧的改变量为 ；力力的的改改变变量量 ，由由于于是是等等间间距距变变化化，所所以以力的改变量不变。力的改变量不变。44 我们先看下面例子，我们先看下面例子，如果测量如果测量6次数据，对弹簧的改变量按次数据，对弹簧的改变量按逐差法进行处理求平均值则可以得到：逐差法进行处理求平均值则可以得到：显显然然利利用用这这样样的的处处理理方方法法来来求求平平均均值值是是不不可可取取的的。为为了了使使其其保保持持多多次次测测量量的的优优越越性性，对对数数据据处处理理方方法法上上作作一一些些变变化化。把把数数据据分为两组，即隔分为两组，即隔3 3项逐差，再取平均，则：项逐差，再取平均，则：注意注意 ， 这样很容易得到结果，这样很容易得到结果，而且每一个数据都能用上。而且每一个数据都能用上。45 逐差法的应用条件逐差法的应用条件 在具备以下两个条件时，可以用逐差法处理数据在具备以下两个条件时，可以用逐差法处理数据: : (1)、函数可以写成函数可以写成x的多项式形式，即：的多项式形式，即： y=a0+a1x+a2x2+a3x3实际上，由于测量精度的限制，实际上，由于测量精度的限制，3次以上逐差已很少应用。次以上逐差已很少应用。 (2)、自变量自变量x是等间距变化，即：是等间距变化，即：xi+1-xi =c式中式中c为一常数。为一常数。46四、线性函数的最小二乘法四、线性函数的最小二乘法 最最小小二二乘乘法法是是建建立立在在数数理理统统计计理理论论基基础础上上的的一一个个数数学学原原理理。它它被被广广泛泛地地应应用用在在数数据据处处理理过过程程中中(如如实实验验曲曲线线的的拟拟合合、经验公式的确定经验公式的确定) 。1 1、最小二乘原理、最小二乘原理 所所 谓谓 最最 小小 二二 乘乘 原原 理理 就就 是是 在在 满满 足足 v2i 最最 小小 的的 条条 件件 下下 ( )，求求解解出出方方程程中中的的未未知知量量为为最最佳佳值值。用用这这一一原原理理处处理理数数据据的的方法称为最小二乘法。方法称为最小二乘法。 一一般般情情况况下下，最最小小二二乘乘法法可可以以用用于于线线性性函函数数，也也可可以以用用于于非非线线性性函函数数，由由于于在在测测量量技技术术中中，大大量量的的问问题题是是属属于于线线性性的的或或可可以以转转换换成成线线性性函函数数，而而非非线线性性也也可可以以在在某某一一区区域域内内展展成成线线性性函函数数来来处处理理，因因此此，我我们们主主要要讨讨论论线线性性函函数数的的最最小小二二乘法。乘法。472 2、用最小二乘法进行线性拟合、用最小二乘法进行线性拟合设已知函数形式为：设已知函数形式为：在等精度条件下得到一组测量数据：在等精度条件下得到一组测量数据：48由此得到由此得到n个观测方程：个观测方程： 一一般般情情况况下下，观观测测方方程程个个数数大大于于未未知知量量的的数数目目时时，a和和b的的解解不不能能确确定定。因因此此，现现在在的的问问题题是是如如何何从从观观测测方方程程中中确确定定a和和b的的最最佳佳值值，这这就就需需要要采采用用最最小小二二乘乘法。法。49假定最佳方程为：假定最佳方程为：其中其中a0和和b0是最佳系数。为了简化计算，设测量中是最佳系数。为了简化计算，设测量中x方向的误差远小于方向的误差远小于y方向，可以忽略，只研究方向，可以忽略，只研究y方方向的差异。则得到残差方程组：向的差异。则得到残差方程组：50对该式两边平方，得：对该式两边平方，得：再对其进行两边求和，得到：再对其进行两边求和，得到：依据最小二乘原理及极值依据最小二乘原理及极值原理，即：原理，即：51 由此得出法方程：由此得出法方程：解方程组可得：解方程组可得：52例题一：（多次测量）例题一：（多次测量）用用025mm的一级千分尺测钢球的直径的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：次数据为：D1=3.121mm， D2=3.128mm， D3=3.125mm， D4=3.123mm， D5=3.126mm， D6=3.124mm写出完整的实验结果。写出完整的实验结果。解：解： 求算术平均值求算术平均值注注：按按数数据据处处理理的的规规则则，在在计计算算过过程程中中平平均均值值可可以以暂暂时多取一位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。时多取一位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。五、例题说明五、例题说明53求求A类不确定度分量类不确定度分量求求B类不确定度分量类不确定度分量 u查得该千分尺查得该千分尺所以：所以：合成不确定度合成不确定度54完整结果表示：完整结果表示：D=（3.1240.002）mm55例题二：（间接测量）例题二：（间接测量）用千分尺测量圆柱体的体积，已求得直径为：用千分尺测量圆柱体的体积，已求得直径为：试求体积试求体积V并表示实验结果。并表示实验结果。解：解：求求V：注注：A A、 常常数数的的有有效效数数字字应应比比测测量量值值的的有有效效数数字字多取一位，目的是让常数取值的误差忽略不计。多取一位，目的是让常数取值的误差忽略不计。B B：体积体积V V的有效数字应符合有效数字运算法则。的有效数字应符合有效数字运算法则。56求求根据不确定度传播公式：根据不确定度传播公式：由由得到得到：57实验结果表示：实验结果表示：V=48.860.06(cm3)58 已知电阻箱输出的总阻值为已知电阻箱输出的总阻值为87654.3，电阻箱不同旋钮具有的级别见电阻箱不同旋钮具有的级别见表所示，求该电阻箱输出该阻值的表所示，求该电阻箱输出该阻值的输出输出不确定度。不确定度。电阻箱性能表 由由级级别别表表可可以以算算出出总总电电阻阻87654.3的的极限误差极限误差为：为：=800000.1%+70000.1%+6000.1%+500.2%+40.5%+0.35%=87.735例题三（电阻箱电阻的不确定度）例题三（电阻箱电阻的不确定度）59 根据题意，提供根据题意，提供87654.3 电阻必须使用电阻必须使用099999.9两接线柱，再根两接线柱，再根据表据表3-8得电阻箱输出该阻值的得电阻箱输出该阻值的输出输出不确定度：不确定度： 新出的电阻箱多数是采用新出的电阻箱多数是采用PPM的级别误差也就是前面所列的仪器性能的级别误差也就是前面所列的仪器性能表，如果各个旋钮误差级别都是表，如果各个旋钮误差级别都是100010-6即即0.1%的级别，那么电阻箱的的的级别，那么电阻箱的的仪器极限误差可采用仪器极限误差可采用教材教材36页页表示为：表示为：总电阻总电阻87654.3的的极限误差极限误差为：为：（a为级别，为级别，b为级别对应的常为级别对应的常数，数，m为电阻箱旋钮个数）为电阻箱旋钮个数）60最后结果为：最后结果为：R=（8.7650.005）104（）61例题四：（最小二乘法）例题四：（最小二乘法） 为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如下表。试用最小二乘法确定关系式电阻如下表。试用最小二乘法确定关系式R = a + b t。数据见下表：数据见下表：t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：解：根据法方程要求列表算出下列数据根据法方程要求列表算出下列数据62nt/R/t2/2R t/ 119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7 计算数据表：计算数据表：63由由a、b的最佳值的最佳值 满足方程满足方程可以得到：可以得到：64代入数据为：代入数据为：解之得到：解之得到：写出待求关系式：写出待求关系式：65