忻城县中学 罗增辉 2016.27 在通常情况下，很多物体的运动模型可等效为单摆在通常情况下，很多物体的运动模型可等效为单摆模型，单摆振动中的等效问题包括模型的等效、摆长的模型，单摆振动中的等效问题包括模型的等效、摆长的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效单摆的周期公式可以广义地表示为等效单摆的周期公式可以广义地表示为 式中式中L L为等效摆长，为等效摆长，g g为等效重力加速度为等效重力加速度一一一一. . . .等效单摆摆长等效单摆摆长等效单摆摆长等效单摆摆长1.1.1.1.所谓摆长意味着悬点到摆动物体重心间的距离。所谓摆长意味着悬点到摆动物体重心间的距离。所谓摆长意味着悬点到摆动物体重心间的距离。所谓摆长意味着悬点到摆动物体重心间的距离。 2.2.2.2.几种常见的摆几种常见的摆几种常见的摆几种常见的摆圆槽摆钉摆圆锥摆1.1.一摆长为一摆长为L L的单摆的单摆, ,在悬点正下方在悬点正下方5L/95L/9处有一钉子处有一钉子, ,则这个单摆的周期则这个单摆的周期是多少？是多少？钉摆2.2.一摆长为一摆长为L L的单摆，在悬点正下方（的单摆，在悬点正下方（L LL L”）的）的P P处有一钉子，处有一钉子，如图所示，这个单摆的周期是两边摆角均很小）（如图所示，这个单摆的周期是两边摆角均很小）（ ）A. B.C.D.D3.设光滑圆弧槽的半径为，小球半径为r，摆角小于10，求周期。圆槽摆4.4.如图所示，光滑圆弧槽半径为如图所示，光滑圆弧槽半径为R R，A A为最低点，为最低点，C C到到A A距离远小距离远小于于R R，两质点，两质点B B和和C C都由静止开始释放，问哪一个小球先到都由静止开始释放，问哪一个小球先到A A点？点？简析：简析：B B球到球到A A点时间用自由落体运动规律求解，其时间：点时间用自由落体运动规律求解，其时间：C C球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动，半径球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动，半径R R为等为等效摆长。第一次到达效摆长。第一次到达A A点用单摆周期公式：点用单摆周期公式：即即B B球先到。球先到。讨论：要使两球在讨论：要使两球在A A点相遇，可使点相遇，可使B B球上移，问此时球上移，问此时B B球球高度高度h h为多少？为多少？分析：分析：B B球下落时间为：球下落时间为： 又又C C点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的相应的h h值亦应有多解：值亦应有多解：5. 5. 如图所示，小球在光滑的圆槽内做简谐运动，为如图所示，小球在光滑的圆槽内做简谐运动，为使振动周期变为原来的使振动周期变为原来的2 2倍，可采用的方法（倍，可采用的方法（ ）A. A. 小球的质量减为原来的一半小球的质量减为原来的一半B. B. 振幅变为原来的振幅变为原来的2 2倍倍C. C. 圆槽半径变为原来的圆槽半径变为原来的4 4倍倍D. D. 将小球重力势能减为原来的一半将小球重力势能减为原来的一半C二二. .等效重力加速度等效重力加速度 等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力对悬点静止时线的拉力F F）与摆球的质量）与摆球的质量m m之比，即之比，即求求g g的基本步骤如下：的基本步骤如下：（1 1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。（即平衡位置）。（2 2）计算摆球的视重。）计算摆球的视重。（3 3）利用）利用g g=F/m=F/m求出视重加速度。求出视重加速度。 应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡献的力，才能改变振动周期。如图几种情况，振动周献的力，才能改变振动周期。如图几种情况，振动周献的力，才能改变振动周期。如图几种情况，振动周献的力，才能改变振动周期。如图几种情况，振动周期不变。期不变。期不变。期不变。6. 如图所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过如图所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过角。若角。若绳长为绳长为l，摆球质量为，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（位置附近振动时，其周期为（ ）A.B.C. D. 解析：平衡时摆球受重力解析：平衡时摆球受重力mgmg，风力，风力F F1 1, ,线的拉力线的拉力F F2 2由力的平衡可得，摆球的视重为由力的平衡可得，摆球的视重为等效重力加速度为等效重力加速度为所以摆的周期为所以摆的周期为B7.7.用一根细线，长为用一根细线，长为l l，将一个密度，将一个密度=0.8=0.810103 3Kg/mKg/m3 3的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏离平衡位置的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏离平衡位置而振动，求它的周期是在空气中周期的几倍。而振动，求它的周期是在空气中周期的几倍。解析：设摆球的体积为解析：设摆球的体积为V V，则质量为，则质量为m= m= V摆球在水中平衡时受重力摆球在水中平衡时受重力mgmg、拉力、拉力F F2 2、浮力、浮力F F1 1作用，如图所示。由力的平衡条件可得作用，如图所示。由力的平衡条件可得等效重力加速度为等效重力加速度为等效重力加速度为等效重力加速度为摆在水中的周期为摆在水中的周期为摆在水中的周期为摆在水中的周期为摆在空气中的周期为摆在空气中的周期为摆在空气中的周期为摆在空气中的周期为8.8.在升降机中挂着一单摆，摆长为在升降机中挂着一单摆，摆长为L L，当升降机以加速度，当升降机以加速度a a匀加速匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期上升的过程中，求单摆的振动周期T T。简析：简析：单摆在升降机中摆动周期为：单摆在升降机中摆动周期为：等效重力加速度等效重力加速度若升降机以加速度若升降机以加速度a a匀加速下降匀加速下降 可见在升降机中加速（或加速）上升（或下降），可以等可见在升降机中加速（或加速）上升（或下降），可以等效为重力加速度发生变化，只要求出等效重力加速度效为重力加速度发生变化，只要求出等效重力加速度. .另外几种常见情形：另外几种常见情形：（1 1）在水平加速运动的车厢内）在水平加速运动的车厢内 若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由衡位置由O O变到了变到了O O，等效重力加速度为，等效重力加速度为则振动周期为则振动周期为（2 2 2 2）在斜面上加速运动的车厢内）在斜面上加速运动的车厢内）在斜面上加速运动的车厢内）在斜面上加速运动的车厢内 如图所示，当小车沿倾角为如图所示，当小车沿倾角为如图所示，当小车沿倾角为如图所示，当小车沿倾角为的光滑斜面自由滑下的光滑斜面自由滑下的光滑斜面自由滑下的光滑斜面自由滑下时，单摆的周期为时，单摆的周期为时，单摆的周期为时，单摆的周期为比小车静止时要大比小车静止时要大比小车静止时要大比小车静止时要大（3 3 3 3）光滑斜面上的单摆）光滑斜面上的单摆）光滑斜面上的单摆）光滑斜面上的单摆 如图所示，单摆一端系于倾角为如图所示，单摆一端系于倾角为如图所示，单摆一端系于倾角为如图所示，单摆一端系于倾角为的光滑斜面的光滑斜面的光滑斜面的光滑斜面上，产生回复力的是上，产生回复力的是上，产生回复力的是上，产生回复力的是的切向分力，等效重力加速度为的切向分力，等效重力加速度为的切向分力，等效重力加速度为的切向分力，等效重力加速度为周期为周期为周期为周期为（4 4 4 4）复合场中的单摆）复合场中的单摆）复合场中的单摆）复合场中的单摆 若将带电量为若将带电量为若将带电量为若将带电量为q q q q的单摆放入电场强度为的单摆放入电场强度为的单摆放入电场强度为的单摆放入电场强度为E E E E的匀强电场的匀强电场的匀强电场的匀强电场中，如图所示，则得到最常见的复合场。中，如图所示，则得到最常见的复合场。中，如图所示，则得到最常见的复合场。中，如图所示，则得到最常见的复合场。若摆球带负电，则：若摆球带负电，则：若摆球带负电，则：若摆球带负电，则：若摆球带正电，则：若摆球带正电，则：若摆球带正电，则：若摆球带正电，则：当当当当mg=Eqmg=Eqmg=Eqmg=Eq时，单摆停摆。时，单摆停摆。时，单摆停摆。时，单摆停摆。 若电场方向改为水平，同若电场方向改为水平，同若电场方向改为水平，同若电场方向改为水平，同理分析可得。理分析可得。理分析可得。理分析可得。（5 5 5 5）在匀速运动的卫星内）在匀速运动的卫星内）在匀速运动的卫星内）在匀速运动的卫星内 因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环绕行星运动所需要的向心力，所以处于完全失重状态，绕行星运动所需要的向心力，所以处于完全失重状态，绕行星运动所需要的向心力，所以处于完全失重状态，绕行星运动所需要的向心力，所以处于完全失重状态，单摆停摆。单摆停摆。单摆停摆。单摆停摆。三、等效单摆周期三、等效单摆周期 1.1.如图中两单摆的摆长均为如图中两单摆的摆长均为L=1mL=1m，平衡时，两钢球刚好接触，现将摆球，平衡时，两钢球刚好接触，现将摆球A A在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，碰撞后两球分开各自做简谐运在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，碰撞后两球分开各自做简谐运动，以动，以m mA Am mB B分别表示两摆球分别表示两摆球A A、B B的质量，的质量，g g取取10m/s10m/s2 2，则，则A. A. 如果如果m mA AmmB B，下次碰撞发生在平衡位置的右侧，下次碰撞发生在平衡位置的右侧B. B. 如果如果m mA AmmB B, ,下次碰撞发生在平衡位置的左侧下次碰撞发生在平衡位置的左侧C. C. 该组合摆的周期该组合摆的周期T T合合=秒秒D. D. 无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生在平衡位置的左侧在平衡位置的左侧解析：因两摆摆长相等，故两摆球的周期相等（解析：因两摆摆长相等，故两摆球的周期相等（T=2T=2），），所以两球同时到达平衡位置，在平衡位置发生第二次碰撞，所以两球同时到达平衡位置，在平衡位置发生第二次碰撞，且每隔且每隔T/2T/2即即秒时间，该组合摆完成一次全振动。故答案秒时间，该组合摆完成一次全振动。故答案应选应选C C、D D。2.2.有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是高度。已知该单摆在海平面处的周期是T T0 0。当气球停。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为在某一高度时，测得该单摆周期为T.T.求该气球此时离求该气球此时离海平面的高度海平面的高度h h。把地球看作质量均匀分布的半径为。把地球看作质量均匀分布的半径为R R的球体。的球体。分析与解：设单摆的摆长为分析与解：设单摆的摆长为L L，地球的质量为，地球的质量为M M，则据万，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：度分别为：