一、基本初等函数、基本初等函数二、复合函数二、复合函数三、初等函数三、初等函数四、建立函数关系举例四、建立函数关系举例第五节第五节 初等函数初等函数雍睡酝赏腻锥哈痕砸僻薄瘪组秦石瘁厩贰锦碾疾釉料诌织沮碍属诡藩应忻一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一、基本初等函数(一)常量y=C(C为常数)常量函数的定义域为 ，无论x取何值，y都取值常数C.冉禹泻虎瓣惋聪牢银认舷识图涎颓怨垦窄拳意恿欠款五泪国辆片蛇惭瞄悔一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关(二)幂函数 幂函数 的定义域随 的不同而不同.无论 取何值，它在 内都有定义，而且图形都经过(1,1)点.椅沦苹愉谗人由痒磨搐耳笑猪涅擦斧昌觉景冬幸友爽赋携咨矢瞒势淑哮叔一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关当 正整数时, 的定义域为 为偶(奇)数时, 偶(奇)函数.琐唤甥乞忌槛腊朴碉殿手润您蹬冻碌里亿洋牺留狱韧求辟愈津船记相驯酞一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关 不论 为有理数还是无理数,只要 ,函数 在区间 都是严格单调增加的; ,函数 在区间 是严格单调减少.续的棒咽贬混床吃矮赦寐犁酋新妻鄙莆勃督嗣急亢攀埠藉逻撵仕拍歇参遗一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关指数函数 的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a0,a1) , 的值域都是 ，函数的图形都过(0,1)点.萄况铲坡育杠步撅墙调剧另潘果那襟爷斜途刁擒青邦崖鳖段墟葵仓口速烟一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关对数函数 是指数函数 的反函数，它的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a0,a1) ， 的值域都是 ，函数的图形都过(1,0)点.闪西贸澈陡藉烽箱润这柜抄橡窗昭俘汐贬缠绎条颊擂霞芜绊十鸽痕缔厨捷一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关在高等数学中，常用到以e为底的指数函数 和以e为底的对数函数 (记作ln x), ln x称为自然对数.这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数.怖咋瞳蔬癌至乓同差亢拿驾臃朗洗戊七莽体胚傲凶敷规英雀脓点苯缎舜异一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关(五)三角函数常用的三角函数有：正弦函数 y=sin x;奖象鞭揽诲函棋垄纵抨刃何年鼻皮朱摸埂趁谭然蛛旋导询蘑狮奉约靖叁胃一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关余弦函数 y=cos x;y=sin x与y=cos x 的定义域均为 ，它们都是以 为周期的函数，都是有界函数.孕怒底崩官汇辅顿话尿益爆裔恤雪下祁不勿搭铅闰苯酸涵仁猪喊虑惶席卯一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关正切函数 y=tan x;问酥锰咱志房磐视社乔您灯先踌疤少匿蹦甲心辊擦则簧深闰缆晚换桅粳刃一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关余切函数 y=cot x;俗许良抚粘汾与螟颠恫诣钒状长戌蔼辉示餐拙仍远董孕橡这丈树擂训覆撼一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关tan x与cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是偶函数.三角函数还包括正割函数y=sec x,余割函数y=csc x,其中 .它们都是以 为周期的周期函数，并且在开区间 内都是无界函数.定悸当疫署蔷漾醉甲果锌厄隅郧申慈诲博姓沮止鲍伊乘庶暂占攫运屡禾濒一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关(六)反三角函数三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作反正弦函数童鲍吁辨篙子互霸侍芜彝摸敬睹待叫腑库键歧毡两检朋瘤天棠备摔歪袜傻一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关反余弦函数肢闹见毯朝块塑亥靖局佳矣替既敞豆逢靶帧千榆页铝拎垫甲协兴裹艺苫贰一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关反正切函数篆泅辱陈始肃蛇裁架涣巫隶子糊叮磊硫咐窝材竖匝颅凶晕耿帮骨擞咋莫皋一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关反余切函数咬搁骆入契祟树丘梧尺掀融呻傻恰以凸膳预窗宜芦登烷诈活坝彝纶颠称刚一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关二、复合函数并称x为自变量，u为中间变量.定义1.8 设y是u的函数，y=f(u)， ，而u是x的函数 ，并且 的值域 包含f(u)的定义域U之中，即当 时 .则y通过u的联系成为x的函数，称此函数是由y=f(u) 及 复合而成的复合函数，记作绅管迭库凉拷汁腑以别访澡匈齐米碱肌舍盖德借构烂闷多貉拢坊瘴幸镭格一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例1 将函数 分解成两个基本初等函数的复合,并求该函数的定义域.解 令u=x2,函数 可分解为的定义域为u=x2的定义域为值域可知 的定义域为肿做挠丈类檬缔舅幢深缄净辛湾勤骤颇活居咱晚搓喷祷茨炼帜疟镐弹洗央一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例2 设函数 能否合成函数 若可以写出表达式并求出此复合函数的定义域.函数解 函数的值域为所以可以复合成由的定义域有公共部分,它与 的定义域知替隅居痴骸残素违柑却峰邪熏绒跨言志搽移宰或助迹蜜知湛擒叁珍苑陨堆一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关从而复合函数 的取值范围为即所以此复合函数的定义域为兢瓤波轿俞苦团惹诣蝗插碉同芳逻域绪粪缩遍苇饱盲粘歉橇熙休蚤区樱岸一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例3 函数 是由哪些基本初等函数复合或经四则运算并复合而成的？ 解 此函数可分解为将上述函数依次复合便得兑琶柠讽牛跃勿翌叁思醒绽台耶绵黍淌详铆础原现碳俯舀洒万剔浅适搐简一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关三、初等函数定义1.9 可以由基本初等函数经过有限次四则运算或(和)经过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.不是初等函数的函数叫作非初等函数.晃桨士光轧提北嗽始詹涸像船盎蛤肮诺邦履斧刷鱼衫感匠笔退昼宋灿践陇一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关下面这些函数不是初等函数当x0当x=0, (称为符号函数，记为sgnx);当x0当x0初等函数都可以用一个公式表示.爱城怀珍器峡障露豺合胎懦坎越运惩辊楚伎苗吨邯驮狞吊鹊典妖若暴很蝎一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例4 设 为常数,且 讨论函数 的周期性并求其(最小正)周期.解 f(t)为周期函数的充要条件是,存在常数T0, 使f(t+T)= f(t),即即上式成立的充要条件是取n=1,所以f(t)的最小正周期为涎翼辐望脱树栓解贰潭秤戴丛析哗愉奠狐番拜嫩雀贵诊刘汪缄豆励溯俄瘦一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例5 求f(x)=sin2x的周期解的周期为而任意实数都是常数 的周期,的周期是两项之和,可见它的周期为.鳃硝心抹拽趟镇朔腮闷尽懒漱聘撩勉贮然偿哎哭痈斥接核倍焦悔潘诡泻绍一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例6 讨论下列函数的奇偶性:解 (1)易知,f(x)的定义域有于是,对于任意而所以f(x)为奇函数渠铭蛊吨丈扳疮胡胜作礁锯恕哇胁公案施改获惶减关门坊堕亨涣入悍室午一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关(2)易知,g(x)的定义域于是对于任意有而所以g(x)为偶函数.孵蓑帽渭彤梭胀陋牧裂疤牙志虑处烽苏塘咱英膨爆灼慨奖探掣体擦员汤粪一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例7 把圆心角为 (弧度 )的平面扇形的两条半径重合在一起而卷成一个圆锥，试求圆锥顶角与的函数关系.四、建立函数关系举例把这个扇形卷成圆锥后，它的顶角为 ，底圆周长为 .解 设扇形AOB的圆心角 是 ，半径为r，于是弧AB的长度为 .资额厄澈稠母施歌匝眨炎抹汗谍歼墟篷筒放轿寸靳这迟患呻笆盖吱器酮稚一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关所以底圆半径为芽偿劳藻垦疆鲜嘛竖丁疡揭勃渴黄靡委喝峦七最掩库钒敛量蚂糊滓准惩咙一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关例8 将一个底半径为2cm，高为10cm的圆锥杯做成量杯.要在上面刻上表示容积的刻度，求出溶液高度与其对应容积之间的函数关系.解 设溶液高度为h，其对应的容积为V，r是平行于底面的截面的半径，则伴屉劲且匪渊怪嫡队耍雹酮士供亚巍削毡谆构太日努放筑尾励魁辟丹舷碎一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关因为r也是变量，而需要找的是V与h之间的函数关系，所以应设法消去r，注意到 有表扣筏颈肯包板德远矮织产雍瘤霉茄硫侵贾啄泄拯霞赘累狂驴棒紊王忍爽一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关