数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform郑州大学物理工程学院郑州大学物理工程学院郑州大学物理工程学院郑州大学物理工程学院xxxxxx 离散傅立叶变换(本科)第三章学习目标第三章学习目标n n理解傅里叶变换的几种形式理解傅里叶变换的几种形式n n了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程卷积过程n n理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系间的关系n n了解频域抽样理论了解频域抽样理论n n理解频谱分析过程理解频谱分析过程n n了解序列的抽取与插值过程了解序列的抽取与插值过程离散傅立叶变换(本科)一、一、Fourier变换的几种可能形式变换的几种可能形式 时间函数 频率函数u连续时间、连续频率傅里叶变换u连续时间、离散频率傅里叶级数u离散时间、连续频率序列的傅里叶变换u离散时间、离散频率离散傅里叶变换u傅里叶变换 总结离散傅立叶变换(本科)连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。离散傅立叶变换(本科)连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数 时域连续函数造成频域是非周期时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。周期函数。离散傅立叶变换(本科)离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续离散傅立叶变换(本科)时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的离散傅立叶变换(本科)离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的离散傅立叶变换(本科)离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅立叶变换(本科)DFT的简单推演(从序列的连续变换) 在一个周期内，可进行如下变换：离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)视作n的函数，视作k的函数，这样,正反离散傅立叶变换(本科)四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳时间函数时间函数时间函数时间函数频率函数频率函数频率函数频率函数连续和非周期连续和非周期非周期和连续非周期和连续连续和周期连续和周期(T(T0 0) )非周期和离散非周期和离散( ( 0 0=2=2 /T/T0 0) )离散离散(T)(T)和非周期和非周期周期周期( (ss=2=2 /T)/T)和连续和连续离散离散(T)(T)和周期和周期(T(T0 0) )周期周期( (ss=2=2 /T)/T)和离散和离散( ( 0 0=2=2 /T/T0 0) )离散傅立叶变换(本科)二二 、周期序列的、周期序列的DFS及其性质及其性质离散傅立叶变换(本科)周期序列的DFS正变换和反变换：其中：离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科) 可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到离散傅立叶变换(本科)DFS的性质的性质1、线性：、线性：其中， 为任意常数若则离散傅立叶变换(本科)2、序列的移位、序列的移位DFS的性质的性质离散傅立叶变换(本科)3、调制特性、调制特性DFS的性质的性质离散傅立叶变换(本科)4、周期卷积和、周期卷积和若则DFS的性质的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)0 5 0 5 0 5 4 3 2 10 5 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 5 4 3 2 1 05 4 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 4 3 2 1 0 54 3 2 1 0 5 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 3 2 1 0 5 43 2 1 0 5 4 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 2 1 0 5 4 32 1 0 5 4 3 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 1 0 5 4 3 21 0 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 1 2 3 4 5 01 2 3 4 5 0 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 1 1 0 01 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 06 7 6 7 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -11010 8 8 6 6 1010 1414 1212 离散傅立叶变换(本科)同样，利用对称性 若则离散傅立叶变换(本科)三、离散傅里叶变换（三、离散傅里叶变换（DFT）同样：X(k)也是一个N点的有限长序列离散傅立叶变换(本科)有限长序列的DFT正变换和反变换：其中：离散傅立叶变换(本科)x(n)x(n)的的N N点点DFTDFT是是x(n)x(n)的的z z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N N点等间隔抽样；点等间隔抽样；x(n)的DTFT在区间0，2上的N点等间隔抽样。离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)四、离散傅里叶变换的性质四、离散傅里叶变换的性质DFTDFT正变换和反变换：正变换和反变换：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)1、线性：、线性：这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)2、序列的圆周移位、序列的圆周移位 定义：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)调制特性：调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)3、共轭对称性、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：其中：任意序列可表示成 和 之和:离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)定义：定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)圆周共轭对称序列满足：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)圆周共轭反对称序列满足：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)同理：其中：离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科) 序列 DFT共轭对称性共轭对称性离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科) 序列 DFT实数序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)纯虚序列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性 序列 DFT离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科) 例：设例：设x x1 1( (n n) )和和x x2 2( (n n) )都是都是N N点的实数序列，试点的实数序列，试用一次用一次N N点点DFTDFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DFT: DFT: 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)4、复共轭序列、复共轭序列离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)5、DFT形式下的形式下的Parseval定理定理离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)6、圆周卷积和、圆周卷积和若则离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)n n圆周卷积过程：n n1）补零n n2）周期延拓n n3）翻褶，取主值序列n n4）圆周移位n n5）相乘相加NNN离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)-3 -2 -1-3 -2 -10 1 2 3 4 50 1 2 3 4 56 76 75 4 3 2 1 05 4 3 2 1 01 1 1 1 0 01 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 0 01 11 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 0 0 1 1 11 01 01 0 0 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 01 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 10 0 1 1 1 18 8 1010 1212 1414 1010 6 6 离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)同样，利用对称性若则离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积、有限长序列的线性卷积与圆周卷积线性卷积：N点圆周卷积：NN离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科) 讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；对x2(n)周期延拓：圆周卷积：离散傅立叶变换(本科)N离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)离散傅立叶变换(本科)离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)小结：线性卷积求解方法小结：线性卷积求解方法n n时域直接求解 补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)= x(n)*h(n)n nz变换法n nDFT法离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅立叶变换(本科)8、线性相关与圆周相关、线性相关与圆周相关线性相关：自相关函数：线性相关与圆周相关线性相关与圆周相关离散傅立叶变换(本科)相关函数不满足交换率：线性相关与圆周相关线性相关与圆周相关离散傅立叶变换(本科)相关函数的z变换：线性相关与圆周相关线性相关与圆周相关离散傅立叶变换(本科)相关函数的频谱：线性相关与圆周相关线性相关与圆周相关离散傅立叶变换(本科)圆周相关定理线性相关与圆周相关线性相关与圆周相关离散傅立叶变换(本科)线性相关与圆周相关线性相关与圆周相关离散傅立叶变换(本科)当 时，圆周相关可完全代表线性相关类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系线性相关与圆周相关线性相关与圆周相关离散傅立叶变换(本科)下一节下一节第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换u频域抽样理论频域抽样理论u频谱分析过程频谱分析过程离散傅立叶变换(本科)