第二章第二章实数实数2.2平方根平方根(2)(2)北师大版数学八年级上册勇勇于于质质疑疑，敢敢于于展展示示你你争争我我辩辩，快快乐乐无无限限1学习目标学习目标 1 1、理理解解数数的的平平方方根根的的概概念念，能能运运用用根根号号表表示示一一个个数的平方根；数的平方根； 2 2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；、能正确区分平方根与算术平方根的意义； 3 3、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。2（1 1）像）像0.585885888588885，1.41421356，2.2360679等这些数的小数位数都是无等这些数的小数位数都是无限的限的, ,并且又不是循环的。并且又不是循环的。(2(2）圆周率）圆周率也是一个无限不循环小数。也是一个无限不循环小数。 无限不循环小数叫无理数无限不循环小数叫无理数. . (3(3）开方开不尽的数：）开方开不尽的数：3 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，读作“根号 a ” 特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 算术平方根：算术平方根：4解: (1)因为302900， 所以900的算术平方根是30， 即 ; ; (2)因为121， 所以1的算术平方根是1，即 ; ; 练习1 求下列各数的算术平方根：(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14温故知新温故知新5解：(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ; ; (4)14的算术平方根是 .练习1 求下列各数的算术平方根：(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14温故知新温故知新6什么叫乘方？什么叫幂？什么叫乘方？什么叫幂？求相同因数的积的求相同因数的积的运算运算叫做乘方；叫做乘方；乘方的运算乘方的运算结果结果叫做幂。叫做幂。（1）42=，（，（4）2=；（2），；（3）（）（0.8）2=，（0.8）2=。16160.640.64练习练习温故知新温故知新7显然显然乘方是已知乘方是已知底数底数和和指数指数，求，求幂幂。如：如：42已知已知底数底数4及及指数指数2，求，求幂幂16。反过来：如果已知一个数平方等于16，怎样求这个数？即已知指数指数2 2及幂幂1616，求底数底数？设这个数为设这个数为x则则x 2=164 4 2 2 = 16= 16，（，（4 4）2 2 = 16= 16 x = 4或或48因为因为4 4 、4 4的平方都等于的平方都等于1616，我们把，我们把4 4及及4 4叫做叫做1616的的平方根平方根。同理同理：的平方等于的平方等于。那么。那么叫叫的平的平方根。方根。0.8、0.8的平方等于的平方等于0.64。那么。那么叫叫的平方根。的平方根。0.8、0.80.6491.什么叫平方根？什么叫平方根？一般的，一般的，如果一个数如果一个数X的平方等于的平方等于a，即，即x2=a那么那么这个数这个数X叫做叫做a的平方根（也叫做二次方根）。的平方根（也叫做二次方根）。 例如，因为例如，因为3 3和和-3-3的平方都等于的平方都等于9 9，我们就说，我们就说3 3和和- -3 3是是9 9的平方根。也可以说的平方根。也可以说: :9 9的平方根是的平方根是3.如何表示一个数的平方根？如何表示一个数的平方根？13=169（-13）=169，2叫做叫做4的平方根。的平方根。10叫做叫做100的平方根的平方根13叫做叫做169的平方根。的平方根。2=4，（，（-2）=4，10=100，（，（-10）=100，10平方根的表示方法、读法平方根的表示方法、读法根号根号被开方数被开方数根指数可以省略又叫又叫a的算术平方根的算术平方根11例如：122.什么叫开平方？ 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是什么关系？a的平方根的平方根底数幂被开方数被开方数互为互为逆运算逆运算指数根号根号已知底数和指数求幂已知底数和指数求幂已知幂和指数求底数已知幂和指数求底数平平方方运运算算开开平平方方运运算算13开平方开平方与与平方的对比平方的对比填空填空正正正正数数数数与与与与零零零零任任何何数数幂幂平平方方根根开开方方平平方方运算运算符号符号适用适用范围范围运算结运算结果名称果名称性质性质正数有正数有正数有正数有个平方根个平方根个平方根个平方根, ,它们是它们是它们是它们是, ,零的平方根是零的平方根是零的平方根是零的平方根是,负数负数负数负数. .正数的平方是正数的平方是正数的平方是正数的平方是数数数数;零的平方是零的平方是零的平方是零的平方是;负数的平方是负数的平方是负数的平方是负数的平方是数数数数. .正正正正02互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数0没有平方根没有平方根没有平方根没有平方根14例例2.求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1）81；（；（2）；（3）0.49;解：解：(1)(9)2=81，（2）的平方根是的平方根是 ，(3)(0.7)2=0.49，0.49的平方根为的平方根为0.781的平方根为的平方根为915 议一议议一议 （1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？（2）0有几个平方根？有几个平方根？（3）一个负数呢？）一个负数呢？(1)144的平方根是什么的平方根是什么?(2)0的平方根是什么的平方根是什么?(3)的平方根是什么的平方根是什么?(4)-4的平方根是什么的平方根是什么?为什么为什么?从上面的回答中从上面的回答中,你发现了什么你发现了什么?试一试试一试:1208/11没有平方根没有平方根16平方根的性质平方根的性质正数的平方根有两个正数的平方根有两个,它们互为相反数它们互为相反数;0的平方根是的平方根是0；负数没有平方根负数没有平方根.记一记！记一记！牢记这个牢记这个性质！性质！P2817（1）因为）因为，所以，所以是是的平方根；的平方根；（2）时时，0；0。一、概念理解填空题：一、概念理解填空题：（3）0的平方根可以理解成：的平方根可以理解成：；。所以概括为所以概括为。000小试牛刀小试牛刀18巩固练习巩固练习:二、选择题：二、选择题：1、在、在0、9、2、（、（2）2中，有平方根的是（中，有平方根的是（）A、1个个B、2个个C、3个个D、4个个2、数、数16的平方根是（的平方根是（）A、4B、C、4D、4或或43、数、数0.25的平方根是（的平方根是（）A、0.5B、0.05C、0.5D、0.5或或0.54、数（、数（6）2的平方根是（的平方根是（）A、6B、6C、6或或6D、无平方根、无平方根CDDC19判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）9的平方根是的平方根是3;()（2）49的平方根是的平方根是7；()（3）（）（2）2的平方根是的平方根是2；（；（）（4）1是是1的平方根的平方根;（）（5）若）若X2=16则则X=4（）（6）7的平方根是的平方根是49.()负数没有平方根负数没有平方根难点解析难点解析20思考？思考？平方根与算术平方根有什么异同？平方根与算术平方根有什么异同？议一议！议一议！21平方根与算术平方根的联系与区别平方根与算术平方根的联系与区别：联系联系（1 1）具有包含关系具有包含关系: :平方根包含算术平方根，算平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。术平方根是平方根的一种。 （2 2） 存在条件相同：存在条件相同：平方根和算术平方根的被平方根和算术平方根的被开方数都具有非负性开方数都具有非负性 （3 3） 0 0的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是0 0。区别区别（1 1） 定义不同：定义不同： “如果如果一个数一个数X X的平方等于的平方等于a a，那，那么这个数么这个数X X叫做叫做a a的平方根的平方根”， “如果如果一个正数一个正数x x的平的平方等于方等于a,a,即即 x x2 2 =a,=a,那么这个正数那么这个正数x x叫做叫做a a的算术平方根的算术平方根”。 （2 2）个数不同：个数不同：一个正数一个正数有两个有两个平方根，而一个正平方根，而一个正数的算术平方根数的算术平方根只有一个只有一个。 （3 3）表示方法不同：表示方法不同：正数正数a a的算术平方根表示的算术平方根表示 为为 ，而正数，而正数a a的平方根表示为的平方根表示为2263223（1）100的平方根是的平方根是，的平方根是的平方根是；（2）16的平方根是的平方根是，的平方根是的平方根是；（3）0的平方根是的平方根是；9的平方根是的平方根是。练习：练习：不存在不存在（1）为什么）为什么100、16等数有两个平方根？这两个等数有两个平方根？这两个平方根有什么关系？平方根有什么关系？（2）为什么负数的平方根是不存在？）为什么负数的平方根是不存在？根据以上练习回答下面两个问题：根据以上练习回答下面两个问题：（3）0的平方根情况又如何叙述？的平方根情况又如何叙述？24例例1求下列各数的平方根求下列各数的平方根:（1）81（2）（3）（4）0.49（5）169分析分析问：解题思想方法是？问：解题思想方法是？答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。即求出平方等于即求出平方等于81的所有数。的所有数。解：解：（1） 即即8181的平方根是的平方根是（2） 的平方根是的平方根是即即25例例2下列各数有平方根吗？如果有，求出它的下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。平方根；如果没有，请说明理由。（1）64（2）0（3）（）（4）2解解：（1）因为）因为64是负数，所以是负数，所以64没有平方根没有平方根（2）0有一个平方根，它是有一个平方根，它是0；（3）因为（）因为（4）2=16所以（所以（4）2的平方根就是的平方根就是16的平方根的平方根因此的（因此的（4）2平方根是平方根是26例例3求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：(1)64(2)(3)0.0004(4)(-25)2(5)11解解(1)因为因为(8)2=64，所以，所以64平方根是平方根是8，即即8解解(1)因为因为(8)2=64，所以，所以64平方根是平方根是8，即即827三、判断题：三、判断题：（1）114的平方根是的平方根是12与与12；（2）256的平方根是的平方根是16；（3）256的平方根是的平方根是16；（4）5是是25的一个平方根；的一个平方根；（5）5是是25的一个平方根；的一个平方根；（6）1的平方根是的平方根是1；（7）1的平方根是的平方根是1；（8）1是是1的平方根；的平方根；（9）（）（1）2的平方根的平方根1。28小结小结如果如果，那么，那么就叫做就叫做的平方根，的平方根，用用来表示。来表示。当当时，有两个平方根，即时，有两个平方根，即，表示表示的正平方根，的正平方根，表示负平方根。表示负平方根。29达标训练：达标训练：(1)49的平方根是（的平方根是（），算术平方根是（），算术平方根是（）；）；(2)0.09的的平方根是（平方根是（），算术平方根是（），算术平方根是（）；）；(3)若若是是x的一个平方根，那么的一个平方根，那么x的另一个平方的另一个平方根是（根是（）；）；(4)平方根等于它本身的数是（平方根等于它本身的数是（），算术平方），算术平方根等于它本身的数是（根等于它本身的数是（）；）；(5)一个数的平方等于一个数的平方等于0.01，这个数是（，这个数是（）；）；(6)(-5)2=(7)求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：0.81，0，817 70.30.30.10.170，100.3530判断：判断：（1 1）5 5是是2525的算术平方根；的算术平方根；（2 2）-6-6是是 36 36 的算术平方根；的算术平方根；（3 3）0 0的算术平方根是的算术平方根是0 0；（4 4）0.010.01是是0.10.1的算术平方根；的算术平方根；（5 5）-5-5是是-25-25的算术平方根。的算术平方根。对对错错对对错错错错631处理作业处理作业1.随堂练习随堂练习第第1-31-3题题321.求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：(1)1.44(2)0(3)8(4)(5)441(6)196(7)10-4处理作业处理作业33处理作业处理作业2.填空：填空：（1 1）2525的平方根是的平方根是 ；55534处理作业处理作业35处理作业处理作业习题习题2.4第第1-61-6题题361.求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：(1)169(2)10-6(3)(4)(5)18处理作业处理作业37处理作业处理作业2.（1 1）一个正数的平方等于）一个正数的平方等于361361，求这个正数；，求这个正数；（2 2）一个负数的平方等于一个负数的平方等于121121，求这个负数；，求这个负数；（3 3）一个数的平方等于）一个数的平方等于196196，求这个数；，求这个数；19-111438处理作业处理作业3.求满足下列各式的未知数求满足下列各式的未知数x;39处理作业处理作业4.求下列各式的值求下列各式的值;440.840处理作业处理作业41处理作业处理作业42知识的升华独立独立作业作业P133习题5.1 1,2题.祝你成功！老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. 43我们的生活离不开我们的生活离不开数学，我们要做生活数学，我们要做生活的有心人。的有心人。教师寄语4445