第六章抽样分布及总体平均数的推断第一节 抽样分布区分三种不同性质的分布：总体分布：总体内个体数值的频数分布总体分布：总体内个体数值的频数分布样本分布：样本内个体数值的频数分布样本分布：样本内个体数值的频数分布抽样分布：某一种统计量的概率分布抽样分布：某一种统计量的概率分布一、抽样分布的概念抽样分布抽样分布是从同一总体内是从同一总体内抽取的不同抽取的不同样本的统计量样本的统计量的概的概率分布。率分布。抽样分布是一个理论的概抽样分布是一个理论的概率分布，是统计推断的依据率分布，是统计推断的依据。二、平均数抽样分布的几个定理 从总体中随机抽出容量为从总体中随机抽出容量为n n的一切可能的一切可能样本的平均数之平均数等于总体的平均数。样本的平均数之平均数等于总体的平均数。容量为容量为n n的平均数在抽样分布上的标准的平均数在抽样分布上的标准差（即平均数的标准误），等于总体标准差除以差（即平均数的标准误），等于总体标准差除以n n的平方根。的平方根。（81）（82）从正态总体中，随机抽从正态总体中，随机抽取的容量为取的容量为n n的一切可能样本平的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。均数的分布也呈正态分布。虽然总体不呈正态分布，虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，反映总体如果样本容量较大，反映总体和和的样本平均数的抽样分布，的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。也接近于正态分布。三、标准误及其计算某种统计量在抽样分布上的标准差，称为某种统计量在抽样分布上的标准差，称为标准误。标准误。标准误标准误用来衡量用来衡量抽样误差抽样误差。标准误。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断是统计推断可靠性可靠性的指标。的指标。 平均数标准误的计算（1）总体正态，已知（不管样本容量大小），或总体非正态，已知，大样本平均数的标准误为：平均数的标准误为：平均数标准误的计算（2 2）总体正态，）总体正态，未知（不管样本容量大小），未知（不管样本容量大小），或总体非正态，或总体非正态，未知，大样本未知，大样本平均数标准误的估计值为平均数标准误的估计值为（8）四、平均数离差统计量的分布由样本的平均数对总体由样本的平均数对总体平均数进行估计，首先要了平均数进行估计，首先要了解平均数离差统计量的分布，解平均数离差统计量的分布，才能根据一定的概率，由样才能根据一定的概率，由样本的平均数对总体的平均数本的平均数对总体的平均数做出估计。做出估计。1.1.总体正态，总体正态，已知（不管样本容量大小）已知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，或总体非正态，已知，大样本已知，大样本平均数离差的的抽样分布呈正态分布平均数离差的的抽样分布呈正态分布（84）2.2.总体正态，总体正态，未知（不管样本容量大小）未知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，或总体非正态，未知，大样本未知，大样本平均数离差的的抽样分布呈平均数离差的的抽样分布呈t t分布分布（85）t分布的特点形状与正态分布曲线相似形状与正态分布曲线相似t t分布曲线随自由度不同而有一簇曲线分布曲线随自由度不同而有一簇曲线自由度的计算：自由度的计算：自由度是指能够独立变化的数据个数。自由度是指能够独立变化的数据个数。查查t t分布表时，需根据自由度及相应的显分布表时，需根据自由度及相应的显著性水平，并要注意是单侧数据还是双侧。著性水平，并要注意是单侧数据还是双侧。3.3.总体总体未知，大样本时的近似处理未知，大样本时的近似处理样本容量增大后，平均数的抽样分布接样本容量增大后，平均数的抽样分布接近于正态分布，可用正态分布近似处理：近于正态分布，可用正态分布近似处理：（86）第二节 总体平均数的估计一、总体参数估计的基本原理根据样本统计量对相应总体参数所作的估根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫作总体参数估计。计叫作总体参数估计。总体参数估计分为点估计和区间估计。总体参数估计分为点估计和区间估计。由样本的标准差估计总体的标准差即为点由样本的标准差估计总体的标准差即为点估计；而由样本的平均数估计总体平均数的估计；而由样本的平均数估计总体平均数的取值范围则为区间估计。取值范围则为区间估计。1.点估计良好的点估计量应具备的条件： 无偏性无偏性 如果一切可能个样本统计量的值与总体参数值偏差如果一切可能个样本统计量的值与总体参数值偏差的平均值为的平均值为0 0，这种统计量就是总体参数的无偏估计量。，这种统计量就是总体参数的无偏估计量。 有效性有效性 当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一种估计当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一种估计量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者为有效性低。为有效性低。 一致性一致性当样本容量无限增大时，估计量的值能越来当样本容量无限增大时，估计量的值能越来越接近它所估计的总体参数值，这种估计是总体越接近它所估计的总体参数值，这种估计是总体参数一致性估计量。参数一致性估计量。 充分性充分性一个容量为一个容量为n n的样本统计量的样本统计量, ,应能充分地反映应能充分地反映全部全部n n个数据所反映的总体的信息。个数据所反映的总体的信息。2.区间估计以样本统计量的抽样分布（概率分布）为以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率的要求，由样本统计理论依据，按一定概率的要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的体参数的区间估计。对总体参数值进行区间估计，就是要在一对总体参数值进行区间估计，就是要在一定可靠度上求出总体参数的定可靠度上求出总体参数的置信区间的上下的上下限。限。二总体平均数的区间估计1总体平均数区间估计的基本步骤根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差；根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差；计算平均数抽样分布的标准误；计算平均数抽样分布的标准误；确定置信概率或显著性水平；确定置信概率或显著性水平；根据样本平均数的抽样分布确定查何种统计表；根据样本平均数的抽样分布确定查何种统计表；计算置信区间；计算置信区间；解释总体平均数的置信区间。解释总体平均数的置信区间。2平均数区间估计的计算总体正态，总体正态，已知（不管样本容量大小），已知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，或总体非正态，已知，大样本已知，大样本平均数离差的的抽样分布呈正态，平均数的置平均数离差的的抽样分布呈正态，平均数的置信区间为：信区间为：（91）例题例题1 1：某小学：某小学1010岁全体女童岁全体女童身高历年来标准差为身高历年来标准差为6.256.25厘米，厘米，现从该校随机抽现从该校随机抽2727名名1010岁女童，岁女童，测得平均身高为测得平均身高为134.2134.2厘米，试厘米，试估计该校估计该校1010岁全体女童平均身高岁全体女童平均身高的的9595和和9999置信区间。置信区间。解：解：1010岁女童的身高假定是从正态总岁女童的身高假定是从正态总体中抽出的随机样本，并已知总体标准差体中抽出的随机样本，并已知总体标准差为为=6.25=6.25。无论样本容量大小，一切样本。无论样本容量大小，一切样本平均数的标准分数呈正态分布。于是可用平均数的标准分数呈正态分布。于是可用正态分布来估计该校正态分布来估计该校1010岁女童身高总体平岁女童身高总体平均数均数9595和和9999的置信区间。的置信区间。其标准误为其标准误为当当0.950.95时，时，1.961.96因此，该校因此，该校1010岁女童平均身高岁女童平均身高9595的置信区间为：的置信区间为：当当0.990.99时，时，2.582.58因此，该校因此，该校1010岁女童平均身高岁女童平均身高9999的置信区间为：的置信区间为：总体正态，未知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，未知，大样本平均数离差的抽样分布为平均数离差的抽样分布为t t分布，平均分布，平均数的置信区间为：数的置信区间为：（92）例题例题2 2：从某小学三年级随机：从某小学三年级随机抽取抽取1212名学生，其阅读能力得分名学生，其阅读能力得分为为2828，3232，3636，2222，3434，3030，3333，2525，3131，3333，2929，2626。试估计。试估计该校三年级学生阅读能力总体平该校三年级学生阅读能力总体平均数均数9595和和9999的置信区间。的置信区间。解：解：1212名学生阅读能力的得分假定是从正名学生阅读能力的得分假定是从正态总体中抽出的随机样本，而总体标准差态总体中抽出的随机样本，而总体标准差未未知，样本的容量较小（知，样本的容量较小（=1230=1230n=12030），），t t分布接近于正态分布，因分布接近于正态分布，因此可用正态分布近似处理。此可用正态分布近似处理。其标准误为其标准误为当0.95时，1.96因此，该年全部考生作文成绩因此，该年全部考生作文成绩9595的置信区间为：的置信区间为：当0.99时，2.58因此，该年全部考生作文成绩因此，该年全部考生作文成绩9999的置信区间为：的置信区间为： 总体非正态，小样本 不能进行参数估计，参数估计，即不能根据样本分布对即不能根据样本分布对总体平均数进行估计总体平均数进行估计。第三节 假设检验的基本原理 利用样本信息，根据一利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的某一假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。的决断，称为假设检验。一、假设假设检验一般有两互相对立的假设。假设检验一般有两互相对立的假设。H H0 0：零假设，或称原假设、虚无假设（：零假设，或称原假设、虚无假设（null null hypothesishypothesis）、解消假设；是要检验的对象之间没）、解消假设；是要检验的对象之间没有差异的假设。有差异的假设。H H1 1：备择假设（：备择假设（alternative hypothesisalternative hypothesis），），或称研究假设、对立假设；是与零假设相对立的假或称研究假设、对立假设；是与零假设相对立的假设，即存在差异的假设。设，即存在差异的假设。进行假设检验时，一般是从零假设出进行假设检验时，一般是从零假设出发，以样本与总体无差异的条件计算统计发，以样本与总体无差异的条件计算统计量的值，并分析计算结果在抽样分布上的量的值，并分析计算结果在抽样分布上的概率，根据相应的概率判断应接受零假设、概率，根据相应的概率判断应接受零假设、拒绝研究假设还是拒绝零假设、接受研究拒绝研究假设还是拒绝零假设、接受研究假设。假设。二、小概率事件样本统计量的值在其抽样分布上出样本统计量的值在其抽样分布上出现的概率小于或等于事先规定的水平，现的概率小于或等于事先规定的水平，这时就认为小概率事件发生了。把这时就认为小概率事件发生了。把出现出现概率很小的随机事件概率很小的随机事件称为小概率事件。称为小概率事件。当概率足够小时，可以作为从实际可当概率足够小时，可以作为从实际可能性上，把零假设加以否定的理由。因为能性上，把零假设加以否定的理由。因为根据这个原理认为：在随机抽样的条件下，根据这个原理认为：在随机抽样的条件下，一次实验竟然抽到与总体参数值有这么大一次实验竟然抽到与总体参数值有这么大差异的样本，可能性是极小的，实际中是差异的样本，可能性是极小的，实际中是罕见的，几乎是不可能的。罕见的，几乎是不可能的。三、显著性水平统计学中把拒绝零假设的概率称为显统计学中把拒绝零假设的概率称为显著性水平，用著性水平，用表示。表示。显著性水平也是进行统计推断时，可显著性水平也是进行统计推断时，可能犯错误的概率。能犯错误的概率。常用的显著性水平有两个：常用的显著性水平有两个：0.05 0.05 和和 0.010.01。 在抽样分布曲线上，显著性水平既可以在抽样分布曲线上，显著性水平既可以放在曲线的放在曲线的一端（单侧检验），也可以分在），也可以分在曲线的曲线的两端（双侧检验）。图图9 91 1 正态抽样分布上正态抽样分布上0.050.05的三种不同位置的三种不同位置四、假设检验中的两类错误及其控制对于总体参数的假设检验，有可能犯对于总体参数的假设检验，有可能犯两种类型的错误，即两种类型的错误，即错误和错误和错误。错误。表表91 假设检验中的两类错误假设检验中的两类错误H0为真为真H0为假为假拒绝拒绝H0错误错误正确正确接受接受H0正确正确错误错误为了将两种错误同时控制在相对最小的程为了将两种错误同时控制在相对最小的程度，研究者往往通过选择适当的显著性水平度，研究者往往通过选择适当的显著性水平而对而对错误进行控制，如错误进行控制，如0.050.05或或0.010.01。对对错误，则一方面使样本容量增大，另错误，则一方面使样本容量增大，另一方面采用合理的检验形式（即单侧检验或一方面采用合理的检验形式（即单侧检验或双侧检验）来使双侧检验）来使误差得到控制。误差得到控制。在确定检验形式时，凡是检验是否与假在确定检验形式时，凡是检验是否与假设的总体一致的假设检验，设的总体一致的假设检验，被分散在概率被分散在概率分布曲线的两端，因此称为双侧检验。分布曲线的两端，因此称为双侧检验。双侧检验的假设形式为：双侧检验的假设形式为：H H0 0：0 0， H H1 1：0 0凡是检验大于或小于某一特定条件的假凡是检验大于或小于某一特定条件的假设检验，设检验，是在概率分布曲线的一端，因此是在概率分布曲线的一端，因此称为单侧检验。称为单侧检验。单侧检验的假设形式为：单侧检验的假设形式为： H H0 0：0 0，H H1 1：0 0或者或者 H H0 0：0 0，H H1 1：0 0第四节第四节 总体平均数的显著性检验总体平均数的显著性检验总体平均数的显著性检验是指对样本平总体平均数的显著性检验是指对样本平均数与总体平均数之间的差异进行的显著性均数与总体平均数之间的差异进行的显著性检验。若检验的结果差异显著，可以认为该检验。若检验的结果差异显著，可以认为该样本不是来自当前的总体，而来自另一个、样本不是来自当前的总体，而来自另一个、与当前总体存在显著差异的总体。即，该样与当前总体存在显著差异的总体。即，该样本与当前的总体不一致。本与当前的总体不一致。一、总体平均数显著性检验的原理检验的思路是：假定研究样本是从平均检验的思路是：假定研究样本是从平均数为数为的总体随机抽取的，而目标总体的平的总体随机抽取的，而目标总体的平均数为均数为0 0，检验，检验与与0 0之间是否存在差异。之间是否存在差异。如果差异显著，可以认为研究样本的总体不如果差异显著，可以认为研究样本的总体不是平均数为是平均数为0 0的总体，也就是说，研究样本的总体，也就是说，研究样本不是来自平均数为不是来自平均数为0 0的总体。的总体。 二、总体平均数显著性检验的步骤一个完整的假设检验过程，一般经过四一个完整的假设检验过程，一般经过四个主要步骤：个主要步骤：提出假设提出假设选择检验统计量并计算统计量的值选择检验统计量并计算统计量的值确定显著性水平确定显著性水平做出统计结论做出统计结论. .提出假设提出假设即根据研究假设提出相应的统计检验的假设。即根据研究假设提出相应的统计检验的假设。双侧检验的假设形式为：双侧检验的假设形式为：H H0 0：0 0， H H1 1：0 0单侧检验的假设形式为：单侧检验的假设形式为：H H0 0：0 0，H H1 1:0 0 （左侧检验）（左侧检验）或者或者 H H0 0：0 0，H H1 1:0 0 （右侧检验）（右侧检验）选择检验统计量并计算结果选择检验统计量并计算结果直接应用原始数据检验假设是有困难的，直接应用原始数据检验假设是有困难的，必须借助于根据样本构造出来的统计量，而必须借助于根据样本构造出来的统计量，而且针对不同的条件，需要选择不同的检验统且针对不同的条件，需要选择不同的检验统计量。计量。各种检验统计量的计算公式都是针对特定各种检验统计量的计算公式都是针对特定条件的，学习中一定要注意把条件与统计量条件的，学习中一定要注意把条件与统计量计算公式联系起来。计算公式联系起来。确定显著性水平确定显著性水平在假设检验中有可能会犯错误。如果零假在假设检验中有可能会犯错误。如果零假设是正确的，却把它当成错误的加以拒绝，设是正确的，却把它当成错误的加以拒绝，就会犯就会犯错误。错误。 表示做出统计结论时犯错表示做出统计结论时犯错误的概率，称为显著性水平。误的概率，称为显著性水平。显著性水平一般为显著性水平一般为0.050.05和和0.010.01。做出统计结论做出统计结论根据已确定的显著性水平，查统计量的根据已确定的显著性水平，查统计量的分布表，找到该显著性水平时统计量的临界分布表，找到该显著性水平时统计量的临界值，并以计算得到的统计量值与查表得到的值，并以计算得到的统计量值与查表得到的临界值比较，根据统计决断规则做出拒绝或临界值比较，根据统计决断规则做出拒绝或接受零假设的决定。接受零假设的决定。三、平均数显著性检验的几种情形总体为正态，总体标准差总体为正态，总体标准差已知已知平均数的抽样分布服从正态分布，以平均数的抽样分布服从正态分布，以为检验统计量，其计算公式为：为检验统计量，其计算公式为：例：某小学历届毕业生汉语拼音测验例：某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分数为平均分数为6666分，标准差为分，标准差为11.711.7。现以同样。现以同样的试题测验应届毕业生（假定应届与历届毕的试题测验应届毕业生（假定应届与历届毕业生条件基本相同），并从中随机抽业生条件基本相同），并从中随机抽1818份试份试卷，算得平均分为卷，算得平均分为6969分，问该校应届与历届分，问该校应届与历届毕业生汉语拼音测验成绩是否一样？毕业生汉语拼音测验成绩是否一样？检验步骤. . 提出假设提出假设 H H0 0：0 0， H H1 1：0 0或或 H H0 0：6666， H H1 1：6666. .选择检验统计量并计算统计量的值选择检验统计量并计算统计量的值学生汉语拼音成绩可以假定是从正态总体学生汉语拼音成绩可以假定是从正态总体中抽出的随机样本。总体标准差已知，样本统中抽出的随机样本。总体标准差已知，样本统计量的抽样分布服从正态，以计量的抽样分布服从正态，以Z Z为检验统计量为检验统计量计算计算.确定显著性水平和检验形式确定显著性水平和检验形式显著性水平为显著性水平为=0.05=0.05，双侧检验，双侧检验.做出统计结论做出统计结论查表得查表得Z Z=1.96=1.96，而计算得到的，而计算得到的Z=1.09Z=1.09|Z|Z|，则概率，则概率P P0.050.05差异不显著差异不显著, ,应在应在0.050.05显著性水平接受零显著性水平接受零假设假设结论结论: :该校应届毕业生与历届毕业生汉语该校应届毕业生与历届毕业生汉语拼音测验成绩一致，没有显著差异。拼音测验成绩一致，没有显著差异。表101 双侧Z检验统计决断规则ZZ与临界值比较与临界值比较 P P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 ZZ1.96.96P P0.050.05不显著不显著保留保留H H0 0，拒绝，拒绝H H1 11.96Z.96Z2.582.58 0.05P0.05P0.010.01显著显著在在0.050.05显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1Z2.58Z2.58P0.01P0.01极其显著极其显著在在0.010.01显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1表102 单侧Z检验统计决断规则ZZ与临界值比较与临界值比较 P P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 ZZ1.65.65P P0.050.05不显著不显著保留保留H H0 0，拒绝，拒绝H H1 11.65Z.65Z2.332.33 0.05P0.05P0.010.01显著显著在在0.050.05显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1Z2.33Z2.33P0.01P0.01极其显著极其显著在在0.010.01显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1-3.94-3.94例例2 2：某市高中入学考试数学平均分数为：某市高中入学考试数学平均分数为6868分，标准差为分，标准差为8.68.6。其中某所中学参加此次。其中某所中学参加此次考试的考试的4646名学生的平均分数为名学生的平均分数为6363。过去的资。过去的资料表明，该校数学成绩低于全市平均水平，料表明，该校数学成绩低于全市平均水平，问此次考试该校数学平均分数是否仍显著低问此次考试该校数学平均分数是否仍显著低于全市的平均分数？于全市的平均分数？总体为正态，总体标准差总体为正态，总体标准差未未知，样本容量小于知，样本容量小于3030平均数的抽样分布服从平均数的抽样分布服从t t分布，以分布，以t t为为检验统计量，计算公式为：检验统计量，计算公式为：表103 双侧t检验统计决断规则tt与临界值比较与临界值比较 P P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 ttt t(df)0.05(df)0.05/2/2P P0.050.05不显著不显著保留保留H H0 0，拒绝，拒绝H H1 1t t(df)0.05(df)0.05/2/2ttt t(df)0.01(df)0.01/2/20.05P0.05P0.010.01显著显著在在0.050.05显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1tttt(df)0.01(df)0.01/2/2P0.01P0.01极其显著极其显著在在0.010.01显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1表104 单侧t检验统计决断规则tt与临界值比较与临界值比较 P P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 ttt t(df)0.05(df)0.05P P0.050.05不显著不显著保留保留H H0 0，拒绝，拒绝H H1 1t t(df)0.05(df)0.05ttt t(df)0.01(df)0.010.05P0.05P0.010.01显著显著在在0.050.05显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1tttt(df)0.01(df)0.01P0.01P0.01极其显著极其显著在在0.010.01显著性水平显著性水平拒绝拒绝H H0 0，接受，接受H H1 1t t2.2662.266例：某区初三英语统一测验平均分例：某区初三英语统一测验平均分数为数为6565，该区某校，该区某校2020份试卷的平均分数为份试卷的平均分数为69.869.8，标准差为，标准差为9.2349.234。问该校初三年级英。问该校初三年级英语平均分数与全区是否一样？语平均分数与全区是否一样？t t3.3653.365例：某校上一届初一学生自学能力例：某校上一届初一学生自学能力平均分数为平均分数为3838，这一届初一，这一届初一2424个学生自学个学生自学能力平均分数为能力平均分数为4242，标准差为，标准差为5.75.7，假定这，假定这一届初一学生的学习条件与上一届相同，一届初一学生的学习条件与上一届相同，试问这一届初一学生的自学能力是否高于试问这一届初一学生的自学能力是否高于上一届？上一届？总体标准差总体标准差未知，样本容量大于未知，样本容量大于3030平均数的抽样分布服从平均数的抽样分布服从t t分布，但由于分布，但由于样本容量较大，平均数的抽样分布接近于样本容量较大，平均数的抽样分布接近于正态分布，因此可以用正态分布，因此可以用Z Z代替代替t t近似处理，近似处理，计算公式为：计算公式为：-2.11例例5 5：某年高考某市数学平均分数为：某年高考某市数学平均分数为6060，现从参加此次考试的文科学生中，随机，现从参加此次考试的文科学生中，随机抽取抽取9494份试卷，算得平均分数为份试卷，算得平均分数为5858，标准，标准差为差为9.29.2，问文科学生的数学成绩与全市考，问文科学生的数学成绩与全市考生是否相同？生是否相同？总体非正态，小样本总体非正态，小样本不能对总体平均数不能对总体平均数进行显著性检验。进行显著性检验。