第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . 分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义定义.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分3. 性质性质(1) 若之间无公共内点, 则(2) 用 表示 的反向曲面, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则证证: 取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分例例1. 计算其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分解解: 把 分为上下两部分根据对称性 思考思考: 下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分例例3. 设S 是球面的外侧 , 计算解解: 利用轮换对称性, 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分令向量形式( A 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分例例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:。求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分例例5. 设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分例例6. 计算曲面积分其中解解: 利用两类曲面积分的联系, 有 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分内容小结内容小结定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分性质性质:联系联系:思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分当时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分思考与练习思考与练习1. P167 题2提示提示: 设则 取上侧时, 取下侧时,2. P184 题 13. P167 题3(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分是平面在第四卦限部分的上侧 , 计算提示提示: 求出 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分P167 题题3(3). 设作业作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)第六节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分备用题备用题 求求取外侧 .解解:注意号其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分利用轮换对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第105对坐标曲面积分