注意注意（1）无穷小量是一类具有特殊性质的无穷小量是一类具有特殊性质的变量变量（2）无穷小量不是习惯上常说的很小的量）无穷小量不是习惯上常说的很小的量（3）任何一个非零常数均不是无穷小量）任何一个非零常数均不是无穷小量（4）0是无穷小量。是无穷小量。 定理定理: 有限多个有限多个无穷小量的代数和为无穷小量。无穷小量的代数和为无穷小量。四则运算四则运算:两个无穷小量的和、差，积仍为无穷小量两个无穷小量的和、差，积仍为无穷小量例例1极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.定义定义: :例例2 2解解例例3二、等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) )证证例例4 4解解例例5 5解解常用等价无穷小常用等价无穷小: :例例解解例例解解例例解解注意注意：作等价无穷小代换时，必须是无穷小：作等价无穷小代换时，必须是无穷小. .例例解解解解注意：作等价无穷小代换时，必须是乘积因子注意：作等价无穷小代换时，必须是乘积因子解解一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.二、微分的定义( (微分的实质微分的实质) )定义定义:由定义知由定义知: :三、可微的条件 定理定理在一元微积分中在一元微积分中可导可导与与可微可微是一致的是一致的四 微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图) ) P 应用：应用：五、微分的求法求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例函数例函数当时，该函数在时，该函数在处的处的微分微分dy是是的同的同阶？高阶？还是低阶无穷小？阶？高阶？还是低阶无穷小？解：根据函数微分的定义，解：根据函数微分的定义，所以是同阶无穷小所以是同阶无穷小六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值一阶微分形式不变性的应用一阶微分形式不变性的应用隐函数的导数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性.解：将解：将y 看作看作 x 的函数，方程两边对的函数，方程两边对 x 求导求导例：求例：求由由方程方程 确定的隐函数的导数确定的隐函数的导数解：方程等号两边直接微分解：方程等号两边直接微分由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得解解计算函数的近似值解：解：9.02=8+1.02 例例解解例例解解