精 品 数 学 课 件2019 年 北 师 大 版第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 2.2.1 配方法（一）配方法（一） 你还认识“老朋友”吗w平方根的意义:w旧意新释:w (1).解方程 (1) x2=5. w老师提示:w这里是解一元二次方程的基本格式,要按要求去做.w你还能规范解下列方程吗? w解方程 (2) x2=4.w 解方程 (3) (x+2)2=5.w 解方程 (4) x2+12x+36=5. w 解方程 (5) x2+12x= -31. w 解方程 (6) x2+12x-15=0. w 解方程 (7) x2+8x-9=0. 回顾与复习 如果x2=a,那么x= 如:如果x2=5,那么x=w完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.w如:x2+12x+ =(x+6)2; x2-4x+ =(x- )2; x2+8x+ =(x+ )2.（3 3）上节课我们研究梯子底端滑动的距离）上节课我们研究梯子底端滑动的距离x(m)x(m)满足方程满足方程x x2 2+12x-15=0,+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的你能仿照上面几个方程的解题过程解题过程, ,求出求出x x的精确解吗的精确解吗? ?你认为用这种方法你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里解这个方程的困难在哪里? (? (小组交流）小组交流）将方程将方程转化化为（x+m)2=n(n0)的形式是解本的形式是解本题的的难点，点，这种方法叫配方法种方法叫配方法（2 2）你会解下列一元二次方程吗？）你会解下列一元二次方程吗？ x x2 2=5 x=5 x2 2+2x+2x+1 1= =5 52x2+3=5 (x+(x+6 6) )2 2+ +7 72 2=10=102 2 （3 3）解梯子底部滑动问题中的）解梯子底部滑动问题中的x x满足的方程：满足的方程： x2+12x-15=0 解：解：移项得移项得 x x2 2+12x=15+12x=15，两边同时加上两边同时加上6 62 2得，得，x x2 2+12x+6+12x+62 2=15+36=15+36，即即(x+6)(x+6)2 2=51=51两边开平方，得两边开平方，得所以：所以： 但因为但因为x x表示梯子底部滑动的距离表示梯子底部滑动的距离, , 所以所以 不合题意舍去。不合题意舍去。答：梯子底部滑动的距离是答：梯子底部滑动的距离是 米。米。解一元二次方程的思路是将方程化为解一元二次方程的思路是将方程化为(x+m)(x+m)2 2=n=n的形的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当数，当n0n0时，两边开平方转化为一元一次方程，时，两边开平方转化为一元一次方程，便可求出它的根便可求出它的根1 1x x2 2+12x+12x+ =(x+6)=(x+6)2 22 2x x2 2-6x+-6x+ =(x-3)=(x-3)2 23 3x x2 2-4x+-4x+ =(x - =(x - ) )2 24 4x x2 2+8x+8x+ =(x + =(x + ) )2 2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如系？对于形如x x2 2+ax+ax的式子如何配成完全平方式？的式子如何配成完全平方式？6 62 23 32 22 22 22 24 42 24 4做一做：填上适当的数，使下列等式成立做一做：填上适当的数，使下列等式成立解方程：解方程：x x2 2+8x-9=0+8x-9=0解：解：把常数把常数项移到方程的右移到方程的右边，得，得 x2+8x9 两两边都加上都加上42，（一次，（一次项系数系数8的一半的平方）得的一半的平方）得 x2+8x42=942. 即即 （x+4）2=25两两边开平方，得开平方，得 x+4=5,即即 x+4=5,或或x+4=-5.所以所以 x1=1,x2=-9. 【例题例题】我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)【规律方法规律方法】利用配方法解一元二次方程的步骤：利用配方法解一元二次方程的步骤：（1 1）移项：把常数项移到方程的右边）移项：把常数项移到方程的右边; ;（2 2）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方的平方; ;（3 3）变形：方程左边分解因式）变形：方程左边分解因式, ,右边合并同类项右边合并同类项; ;（4 4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；化为两个一元一次方程；（5 5）求解：解一元一次方程；）求解：解一元一次方程；（6 6）定解：写出原方程的解）定解：写出原方程的解知识的升华独立独立作业作业w根据题意，列出方程：w1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？w解：设道路的宽为 x m，根据题意得 w(35-x) (26-x) 850.w即wx2 - 61x60 0.35m26mw解这个方程,得wx1 1;wx2 60(不合题意,舍去).w答:道路的宽应为1m.2.2.解下列方程解下列方程: :(1)(1)(2) (2) 解：解：(1)移移项 ，得，得 （2）移）移项，得，得 配方，得配方，得 配方，得配方，得 开平方，得开平方，得【跟踪训练跟踪训练】3 3. .若若n(nn(n 0)0)是关于是关于x x的方程的方程x x2 2+mx+2n=0+mx+2n=0的根，则的根，则m+nm+n的值为的值为 答案：答案： 2.4 4. .一元二次方程一元二次方程 的解为的解为_【解析解析】一元二次方程一元二次方程 x2=3 x= x1= ，x2= 答案：答案：x1= ，x2=1 1配方法解一元二次方程的基本思路是什么？配方法解一元二次方程的基本思路是什么？2 2配方法解一元二次方程应注意什么问题？配方法解一元二次方程应注意什么问题？将方程化为将方程化为(x+m)(x+m)2 2=n=n的形式，它的一边是一个完全的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当平方式，另一边是一个常数，当n0n0时，两边开平时，两边开平方即可求出它的解方即可求出它的解关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数绝对关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方值的一半的平方