33 三角函数的积化和三角函数的积化和差与和差化积差与和差化积 (一)知识点1三角函数的积化和差2三角函数的和差化积 (二)能力1三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的2积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视(三三) 方法数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积在实际应用，他们又是相辅相成的. 三角函数的积化和差三角函数的积化和差 (一)复习和、差角的正弦与余弦公式sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossincos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsin所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证明了两角和的余弦函数公式之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系的和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用但是，光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内在联系，寻求新的关系式(二)新课正、余弦的和差角公式sin(+)=sincos+cossin(1)sin(-)=sincos-cossing(2)cos(+)=coscos-sinsin(3)cos(-)=coscos+sinsin(4)请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来把(1)式与(2)式相加可得sin(+)+sin(-)=sincos把(1)式与(2)式相减可得sin(+)-sin(-)=cossin(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到：cos(+)+cos(-)=2coscos，cos(+)- cos( -)=-2sinsin若把这四个关系式整理一下，即可得到以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式式称为三角函数的积化和差公式积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式积的形式)转化为另一种形式转化为另一种形式(和差的形式和差的形式)，这，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用的作用练习1求sin20cos70+sin10sin50的值，2求cos37.5cos22.5的值，1sin20cos70+sin10sin502 cos37.5cos22.5而sin20sin40sin80我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正用与逆用积化和差公式也不例外，那么，积化和差公式的逆用应怎么称呼呢？应称为三角函数的和差化积公式由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下几个公式：sin(+)+sin(-)=2sincos；sin(+)-sin(-)=2cossin；cos(+)+cos(-)=2coscos；cos(+)-cos(-)=-2sinsin为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆，可作如下的换元：三角函数的和差化积三角函数的和差化积这样我们就得到如下的三角函数的和差化积公式和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决例1 求sin42-cos12+sin54的值分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式，由于上述问题中现成的同名角函数为sin42、sin54，因而一般做法是将这二个函数做和差化积但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难应该说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊角的一组进行鉴于此，本题应采取下面的解法解：原式=sin42-sin78+sin54=-2cos60sin18+sin54=cos54-sin18=2sin36sin18进行到此，本题的化简能进行下去吗？可试着使用正弦函数的倍角公式化简2cos36sin182和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”，都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十分清楚的三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致习题习题 三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容，这一节从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础由于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，能熟练掌握进行三角恒等变换的一般方法1ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C= -1-4cosAcosBcosC证明：A、B、C为ABC的三内角A+B+C=，即C=-(A+B)原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)cos(A+B)+cos(A-B)-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC2. 求sin 20+cos 50+sin20cos50的值分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理22(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差)作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然做和差化积三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体会的一般说三角变换问题，首先要关注问题中的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也可以把看作是说三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差。