关于实数完备性的关于实数完备性的6个基本定理个基本定理1. 确界原理（定理确界原理（定理1.1）；）； 2. 单调有界定理（定理单调有界定理（定理2.9）； 3. 区间套定理（定理区间套定理（定理7.1）；）；4. 有限覆盖定理（定理有限覆盖定理（定理7.3） 5. 聚点定理（定理聚点定理（定理7.2）6. 柯西收敛准则（定理柯西收敛准则（定理2.10）；）； 在实数系中这六个命题是相互等价的在实数系中这六个命题是相互等价的 。第七章第七章在有理数系中这六个命题不成立在有理数系中这六个命题不成立 。1. 确界原理确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。必有上（下）确界。2. 单调有界定理单调有界定理； 在实数系中，单调有界数列必有极限。在实数系中，单调有界数列必有极限。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 3. 区间套定理区间套定理 若若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点 所以区间套定理在有理数系不成立。所以区间套定理在有理数系不成立。反例：反例：4. 有限覆盖定理有限覆盖定理在实数系中，闭区间在实数系中，闭区间a, b的任一开覆盖的任一开覆盖H，必，必可从可从H中选出有限个开区间覆盖中选出有限个开区间覆盖a, b。反例：反例：5. 聚点定理聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例：反例： S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。因而在有理数域没有聚点。5.1 致密性定理：致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：反例：其极限为无理数其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于从而任一子列均收敛于e。故故xn在有理数域内没有收敛的子列。在有理数域内没有收敛的子列。6. 柯西收敛准则柯西收敛准则反例：反例：即柯西收敛准则在有理数域不成立。即柯西收敛准则在有理数域不成立。几个概念：几个概念：区间套（闭区间套），区间套（闭区间套），聚点聚点（3个等价定义及其等价性的证明），个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。开覆盖（有限开覆盖）。举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。结论不成立。 但不存在属于所有开区间的公共点。但不存在属于所有开区间的公共点。 举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。结论不成立。但不能从中选出有限个开区间盖住（但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。）。因为右端点始终为因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，左端点有限个中必有一个最小者，构成了开区间（构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖）的一个开覆盖 ，积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分第八章不定积分第八章不定积分一、主要内容一、主要内容1、原函数与不定积分的概念。、原函数与不定积分的概念。2、不定积分、不定积分: (1)存在性存在性;(2)唯一性唯一性;(3)如何求？如何求？3、不定积分运算与微分运算的互逆关系。、不定积分运算与微分运算的互逆关系。4、积分表。、积分表。5、不定积分的计算：不定积分的计算：（1）基本思想）基本思想化归为积分表中的积分；化归为积分表中的积分；（2）常用积分方法：）常用积分方法： 1）恒等变形（）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；三角恒等变形）； 2）线性运算；）线性运算； 3）换元法：）换元法： 第一类（凑分法）第一类（凑分法）不需要变换式可逆；不需要变换式可逆； 第二类第二类变换式必须可逆变换式必须可逆； 4）分部积分法）分部积分法常可用于两个不同类型函数乘积常可用于两个不同类型函数乘积的积分；的积分； “对反幂三指，前者设为对反幂三指，前者设为u” 5）三种特殊类型函数）三种特殊类型函数 “程序化程序化”的积分法。的积分法。 注：注：检验积分结果正确与否的基本方法。检验积分结果正确与否的基本方法。（3）求积分比求微分困难）求积分比求微分困难 1）没有万能的积分法；）没有万能的积分法； 2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积积不出来不出来”，如，如另外：每一个含有另外：每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有原函数的函数都没有原函数.6 6、基本积分表、基本积分表是常数是常数)7、凑微分常见类型、凑微分常见类型:凑微分时常用到：凑微分时常用到：凑微分法就是设法把凑微分法就是设法把 一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。三角代换三角代换去掉如下二次根式：去掉如下二次根式：可令可令可令可令可令可令8、常用代换、常用代换:当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令x=tn, （其中（其中n为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 当分母的阶当分母的阶分子的阶时分子的阶时, 可考虑试用可考虑试用倒代换倒代换：一、主要内容一、主要内容1 1、定积分的定义、定积分的定义第九章第九章 定积分定积分定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。与积分变量记号的选择无关。（2） 利用牛顿利用牛顿-莱布尼兹公式。莱布尼兹公式。2 2、定积分的计算、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：法求出其值：3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义面积的代数和。面积的代数和。4 4、定积分的性质、定积分的性质线性、线性、 关于积分区间的可加性、关于积分区间的可加性、估值不等式、估值不等式、积分第一、第二中值定理。积分第一、第二中值定理。5 5、定积分与不定积分的联系、定积分与不定积分的联系（1 1）变上限积分的导数公式；）变上限积分的导数公式；保号性、保号性、（2 2）牛）牛- -莱公式。莱公式。（3 3）可积函数不一定有原函数，有原函）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。数的函数不一定可积。因为因为“含有含有第一类间断点第一类间断点的函数的函数”都没有原函数，都没有原函数，而而“含有有限个含有有限个第一类间断点第一类间断点的函数的函数”都可积。都可积。所以可积函数不一定有原函数。即说明有原函数的函数不一定可积。6 6、可积条件、可积条件必要条件必要条件 若函数若函数f在在a,b上可积，则上可积，则f在在a,b上必定有界。上必定有界。 充要条件（充要条件（1） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： 使得属于使得属于T的所有小区间中，的所有小区间中， 充要条件（充要条件（2） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： 对应于振幅对应于振幅 的那些小区间的那些小区间 的总长的总长7 7、可积函数类、可积函数类1、在、在a,b上连续的函数在上连续的函数在a,b可积。可积。2、在在a,b上上只只有有有有限限个个间间断断点点的的有有界界函函数数在在 a,b上可积。上可积。 3、在、在 a,b上单调的有界函数在上单调的有界函数在a,b上可积。上可积。 （允许有无限多个间断点）（允许有无限多个间断点） 但并非可积函数只有这但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数类。如：黎曼函数不属于这不属于这3类的任何一类，但它是可积的。类的任何一类，但它是可积的。 在在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在则函数在a,b可积。可积。8 8、利用不定积分计算定积分、利用不定积分计算定积分（1 1）线性；）线性；恒等变形；恒等变形； 换元；换元； 分部积分；分部积分；一些特殊类型函数的积分。一些特殊类型函数的积分。（2 2）与不定积分法的差别）与不定积分法的差别 （3 3）利用对称性、周期性及几何意义。）利用对称性、周期性及几何意义。牛牛- -莱公式莱公式 积分限的确定，换元要换积分限，原函数积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 开偶次方时，要带绝对值。开偶次方时，要带绝对值。9 9、杂记、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2） 对对D(x)和和R(x) 的可积问题多一些关注。的可积问题多一些关注。1 1、微元法的理论依据、微元法的理论依据第第10章章2 2、名称释译、名称释译3 3、所求量的特点、所求量的特点4 4、解题步骤、解题步骤平面图形的面积平面图形的面积直角坐标直角坐标参数方程参数方程极坐标极坐标弧微分弧微分弧长弧长旋转体体积旋转体体积旋转体侧面积旋转体侧面积?5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形上曲线减下曲线对上曲线减下曲线对x积分。积分。Ax=f(y)（图（图5）x=g(y)右曲线减左曲线对右曲线减左曲线对y积分。积分。一般解题步骤：一般解题步骤：（1）画草图，定结构；）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。注意：答案永远为正。如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积）(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(5) 变力所作的功变力所作的功(6) 液体压力液体压力(7) 引力引力(8) 函数的平均值函数的平均值第11章一、两类反常积分的概念一、两类反常积分的概念 a为任意常数为任意常数,如果如果a,b都是瑕点都是瑕点，则定义，则定义 c为为(a,b)内任一实数。内任一实数。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。二、二、计算方法计算方法求正常积分求正常积分+求极限；求极限；三、两类反常积分的判敛方法三、两类反常积分的判敛方法1、Cauchy准则准则 2、比较法则、比较法则 通常取通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。积分为比较对象，且常用极限形式。3、Dirichelet判别法和判别法和Abel判别法判别法 用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛定积分：定积分：无穷积分：无穷积分：瑕积分：瑕积分：第12章 数项级数数项级数正项级数正项级数交错级数交错级数一般项级数一般项级数收敛级数的基本性质：收敛级数的基本性质：3. 级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。和一般会有影响。4 . 收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；合律）；5. 绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。和不变（即有交换律）。6.6. 收敛收敛级数与发散级数级数与发散级数的的和必为发散级数。和必为发散级数。正项级数审敛法正项级数审敛法1、比较法（、比较法（un为有理表达式时）；为有理表达式时）；2、比式法（、比式法（un含含n!时）；时）；3、根式法（、根式法（un含含n次方时）；次方时）；4、积分法、积分法 ( ）；）；5、拉贝法（、拉贝法（ ）；）；交错级数审敛法交错级数审敛法这是这是Dirichelet判别法的特殊情形。判别法的特殊情形。一般项级数审敛法一般项级数审敛法1、Abel判别法，判别法，2、Dirichelet判别法。判别法。 用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。数一定发散。则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于收敛于AB.绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质 条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛定的方式收敛或或发散。发散。第第13章章等价于下列等价于下列3条之一：条之一：好用！好用！典型例题：典型例题：II的常用判定法：的常用判定法：等价于下列等价于下列3条之一条之一：典型例题：典型例题：（1）优级数判别法）优级数判别法（2）Abel判别法判别法（3）Dirichelet判别法判别法的常用判定法：的常用判定法：DD一致收敛函数列的性质：一致收敛函数列的性质：（1）（2）II（3）一致收敛函数项级数的性质一致收敛函数项级数的性质(1)(2)D（3）第14章一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域说明幂级数存在收敛半径。说明幂级数存在收敛半径。收敛半径的求法：收敛半径的求法： （1）根式法，）根式法，（2）比式法，）比式法，这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。 幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。项级数的判敛问题。二、幂级数的性质二、幂级数的性质（1）在收敛区间内闭一致收敛，）在收敛区间内闭一致收敛，（2）和函数在收敛区间连续，）和函数在收敛区间连续，（3）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。且所得幂级数收敛半径不变。三、幂级数的求和三、幂级数的求和通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。级数的和函数。注意这个级数的各种变异。注意这个级数的各种变异。记住下列幂级数的和函数：四、函数展开成幂级数四、函数展开成幂级数 如果如果f(x) 能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是就是f(x)的泰勒级数。的泰勒级数。1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.记住几个特殊函数的展开式：记住几个特殊函数的展开式：注意收敛范围。注意收敛范围。本章讨论了下面三类问题：本章讨论了下面三类问题：1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。3、函数展开成幂级数的条件及方法。、函数展开成幂级数的条件及方法。请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成立的区间就可以包含这个端点。（立的区间就可以包含这个端点。（这是这是P51.3的结的结果果）逐项求导时，一般收敛域会减少。逐项求导时，一般收敛域会减少。如如它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是第十五章第十五章傅里叶级数的理论基础：傅里叶级数的理论基础：三角函数系的正交性三角函数系的正交性（1）它们的最小公共周期为）它们的最小公共周期为（2）任何两个不同的函数相乘在）任何两个不同的函数相乘在 上积上积分为分为0，（3）任何一个函数的平方在）任何一个函数的平方在 上积分不上积分不为为0，本章重点研究函数展成三角级数的方法。本章重点研究函数展成三角级数的方法。 如果如果f(x)能展成一致收敛的三角级数，则这个三角能展成一致收敛的三角级数，则这个三角级数必是级数必是f(x) 的傅里叶级数。的傅里叶级数。 f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数 f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数收敛定理收敛定理1、2、本章常见题型：本章常见题型：对对f(x)作周期延拓，使之成为周期为作周期延拓，使之成为周期为2 （2l）的函数。）的函数。此时答案不唯一。此时答案不唯一。上述上述2、3类问题，均不需把延拓结果写出。类问题，均不需把延拓结果写出。