1包含与排除（二） 在日常生活中,我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑,并且给它一个总称.如钢笔、铅笔、本、橡皮总称为文具;西红柿、黄瓜、土豆、白菜总称为蔬菜;苹果、香蕉、梨总称为水果等等. 在数学里,我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑,这些相同性质的对象便组成了一个“集合”,每个集合总是由一些成员组成的,集合中的这些成员叫做这个集合的元素. 名词解释： （1）由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A、B 的并集（又叫 A 与 B 的和）.记作BA ,记号“ ”读作“并”,BA 读作“A 并 B”. （2）A、B 两个集合公共的元素,也就是那些既属于 A,又属于 B 的元素,它们所组成的集合叫做 A 和 B 的交集,记作“BA ”,记号“ ”读作“交”,BA 读作“A 交B”. 下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题.（一）典型例题 例 1. 六一班同学参加数学小组和作文小组,其中参加数学小组的有 16 人,参加作文小组的有 20 人,两组都参加的有 5 人,六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人? 分析与解：参加数学小组的可以看成集合|A|,参加作文小组的可以看成是集合|B|,两组都参加的可以看成|BA ,问题是求参加数学小组或作文小组的一共有多少人,也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起,即|BA 3152016 （人）2 根据上面列式,我们可以得出： |BABABA 答：参加数学小组或作文小组的一共有 31 人. 例 2. 求 120 的自然数中 2 的倍数或 3 的倍数的个数. 分析与解： （1）120 的自然数中 2 的倍数用集合 A 表示 A=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 |A|=10 （2）120 的自然数中 3 的倍数用集合 B 表示 B=3,6,9,12,15,18 |B|=6 （3）既是 2 的倍数又是 3 的倍数,也就是BA 18,12, 6 BA 3| BA （4）|BABABA 133610 答：120 的自然数中 2 的倍数或 3 的倍数一共有 13 个.3 例 3. 四年级有学生 75 人,在一次校田径运动会中,参加田赛的有 35 人,参加径赛的有 29 人,既参加田赛又参加径赛的有 6 人,问两项都未参加的有多少人? 分析与解：如图,要求两项都未参加的,要先求出至少参加一项的有多少人,从全年级中除去至少参加一项的就是所求. 田 6 径 35 人 人 29 ？人 75 人 |A|表示田赛人数,|B|表示径赛人数 |BABABA 62935 =58（人） 755817（人） 答：两项都未参加的有 17 人. 例 4. 40 人参加测验,答对第一题的有 30 人,答对第二题的有 21 人,两题都没答对的有 4 人,则两题都答对的有多少人? 分析与解：如下图,要求出两题都答对的人数,要先求出至少答对一题的有多少人.4 30 人 ？ 21 人 4 人 40 人 答对第一题的人数用|A|表示 答对第二题的人数用|B|表示 36440| BA（人） |BABABA 362130 =15（人） 答：两题都答对的有 15 人. 例 5. 某班同学中,有 26 人爱打篮球,17 人爱打排球,19 人爱踢足球,有 9 人既爱打蓝球又爱踢足球,有 4 人既爱打排球又爱踢足球,有 7 人既爱打篮球又爱打排球,没有一个人三种球都爱玩,也没有一个人三种球都不爱玩,问：这个班共有多少学生? 分析与解：根据题意,可画集合图如下：篮 排 26 人 7 17 人 4 足 19 人 9 5 用|A|表示爱打篮球的人数 |A|=26 |B|表示爱打排球的人数 |B|=17 |C|表示爱踢足球的人数 |C|=19 |CBCABACBACBA 261719794 42（人） 答：这个班共有 42 人.答题时间：30 分钟二. 尝试体验 1. 48 名学生参加了数学和语文考试,其中语文得 100 分的有 12 人,数学得 100 分的有17 人,两门都没得 100 分的有 26 人.问两门都得 100 分的有多少人? 2. 有一批游客,有 75 人懂英语,83 人懂俄语,10 人既不懂英语又不懂俄语,68 人两种语言都会,问这批游客共有多少人? 3. 一个车间有 70 个工人,其中每个工人或者会打网球,或者会跳舞,或者两样都会,现在知道会打网球的有 48 人,会打网球又会跳舞的有 24 人.问会跳舞的有多少人? 4. 求 1100 的自然数中 （1）是 5 的倍数或是 8 的倍数的自然数个数 （2）既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的自然数的个数 5. 一次数学小测验中只有两道题,结果全班有 10 人全对,第一题有 25 人做对,第二题有 18 人做错.那么两题都做错的有多少人?6【试题答案】二. 尝试体验 1. 48 名学生参加了数学和语文考试,其中语文得 100 分的有 12 人,数学得 100 分的有17 人,两门都没得 100 分的有 26 人.问两门都得 100 分的有多少人? 482622（人） 1217227（人） 答：两门都得 100 分的有 7 人. 2. 有一批游客,有 75 人懂英语,83 人懂俄语,10 人既不懂英语又不懂俄语,68 人两种语言都会,问这批游客共有多少人? 75836810100（人） 答：这批游客共有 100 人. 3. 一个车间有 70 个工人,其中每个工人或者会打网球,或者会跳舞,或者两样都会,现在知道会打网球的有 48 人,会打网球又会跳舞的有 24 人.问会跳舞的有多少人? 70482446（人） 答：会跳舞的有 46 人. 4. 求 1100 的自然数中 （1）是 5 的倍数或是 8 的倍数的自然数个数 100520 1008124 10040220 2012230 （2）既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的自然数的个数 10030707 5. 一次数学小测验中只有两道题,结果全班有 10 人全对,第一题有 25 人做对,第二题有 18 人做错.那么两题都做错的有多少人? 251015（人）只做对第 1 题的人数 18153（人）两题都做错的人数