第 14 讲 导数在函数中的应用考纲要求考情风向标1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用重点解决利用导数来研究函数的单调性、极值、最值的问题；本节知识往往与其他知识结合命题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用.1函数的单调性函数 yf(x)在(a，b)内可导，则(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内_2函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法：一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，单调递减如果在 x0 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧_，右侧_，那么 f(x0)是极小值f(x)0f(x)0(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左、右值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点极小值3函数的最值(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各_与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值极值1f(x)x33x22 在区间1,1上的最大值是()CA2B0C2D42(2013 年广州二模)已知e为自然对数的底数，函数 y)xex 的单调递增区间是(A1，)C1，) B(，1D(，1A3(2013 年河南郑州模拟)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图 2-14-1，则函数 f(x)在(a，b)内的极大值点有() 图 2-14-1A1 个B2 个C3 个D4 个4函数 f(x)x33x21 在 x_处取得极小值B2考点 1 函数的单调性与极值(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解得 x1(舍)或 x5.当 x(0,5)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增因此，函数 f(x)在 x5 时取得极小值，且极小值为 f(5)ln5.【规律方法】(1)求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开. (2)“f(x)0或 f(x)0”是“函数 f(x)在某区间上为增函数(或减函数)”的充分不必要条件；“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0 处取得极值”的必要不充分条件.【互动探究】1函数 f(x)在 xx0 处的导数存在，若命题 p：f(x0)0，命题 q：xx0 是 f(x)的极值点，则 p 是 q 的()CA充分必要条件C必要不充分条件B充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：若 xx0 是 f(x)的极值点，则f(x0)0；若f(x0)0，而 xx0 不一定是 f(x)的极值点，如 f(x)x3，当 x0 时，f(0)0，但 x0 不是极值点故 p 是 q 的必要不充分条件故选 C.考点 2 函数的最值(1)若 f(x)在 x2 处的切线与直线 3x2y10 平行，求f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间1，e上的最小值x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)12令 f(x)0，得 x1.f(x)与 f(x)的情况如下表：所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)【规律方法】求函数的最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要对函数 yf(x)的各极值与端点值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【互动探究】x252(2，)f(x)00考点 3 利用导数解决函数中的恒成立问题(1)若 a3，试确定函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在其图象上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率都小于2a2，求实数 a 的取值范围由 f(x)0，解得 x3.所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,3)，单调递减区间为(，1)和(3，)(2)因为 f(x)x22xa，由题意，得 f(x)x22xa2a2 对任意 xR 恒成立，即x22x2a2a 对任意 xR 恒成立，设 g(x)x22x，所以 g(x)x22x(x1)21.所以当 x1 时，g(x)有最大值为 1.因为对任意 xR，x22x2a2a 恒成立，【规律方法】若 f(x)在其图象上任一点处的切线斜率都小于2a2，即 f(x)x22xa2a2 对任意 xR 恒成立，分离变量得x22x0，实数 a，b 为常数)(1)若 a1，b1，求函数 f(x)的极值；(2)若 ab2，讨论函数 f(x)的单调性xb21(1，)f(x)00f(x)极大值极小值x(0,1)1b2f(x)00f(x)极大值极小值