1第十八讲： 幂级数的收敛区间及把函数展开成幂级数 一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 若收敛半径为0nnna x1R， 的收敛半径为0nnnb x2R（1R2R）则的收敛半径为（ D） nnab0nxnA、1R2R B、12RR C、2R D1R 解：的收敛半径是收敛半径为0nnnnab x10nnna xR， 的收敛半径为0nnb xn2R中较小的 即2R 2 若在0nnna x00xx收 敛 ， 则 在0xx内，（A） 0nnna xA、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、可能收敛也可能发散 解：由定理知，若在收敛则在0nnna x00xx0nnna x0xx内绝对收敛 选 A 3把 1f xxabx展成 的幂级数（其中）时，其收敛半径 R（A） a b0A ab Bba Cbab Dbab 解：1abx111baxa 01( 1)nnnbxaa bxa1 axb abR 选 A 14n002nnnnxx的敛区间（考收虑端点）是 （C） 1，1） BA （-1,1 C1 1, 2 21 1, D22 1解：（）02nnx的半径1R；01nnnx12 的半径R21R 故12；（2）在 12x 处0(2 )nnx发散，0( 1)nnnx收敛 故原级数在12x 处发散 5 设 选 C 20(0, 1)f x2!nnna xan， 则 fx（A） A f xa B2a f xC1fxa D f x 解： （ 211nna1）21 !nfxxn 221122 !nnnafxxnmn 1202!mmmaxm af x 故选 A 6幂级数1nnxn1在x 的和函数S （x）（ B） A B ln(1)xln 1x C1 Dx111x 解： 1nxxn1xSn 令 2 1111nnxSxx 01ln 11xS xdxxx 故选 B 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7幂级数03n nx的收敛半径R为 解：1131limlim33nnnnnnaa 径收敛半13R 8幂级数0nnna x在 x3 处条件收敛，则该级数的收敛半径 R 数在 x解：级3 条件收敛，当3x 级数绝对收敛当3x 级数发散R 故3 9幂级数2111nn3nnxn的收敛半径R 解： 1( )lim( )nnnUxxUx 213lim131nnnnxn 2113x，2x3 x3 故 R3 10幂级数1!n在的和函数 nnx ， S x 解：0!nxnenx 1011!nnxnnxxenn 故11展成 S x1xe ln1x)x的幂级数，则ln1x= 解 ：ln x 11( 1)nn0(1)nxn收 敛 域11x 12展成)12将x(1x幂级数，则12x 解： （1）011(1)1 (1)nnxxx2 区间（2）收敛11 02xx即 三、计算题（每小题 8 分，共 64 分） 13求12nn( 1)nnxn的收敛半径与收敛域 解： （1）12limnan1lim21nnnnnan 12 收敛半径 R2 （2）当x2 时，11nn发散12p（ =1） 当x2，11nn莱布 时收敛（尼兹级数）3）收敛域（为2 2 ， 14求0(2)(1n) 3nnnx的收敛半径与收敛域 解： （1）131limn1lim3(2)3nnnnnaan（n+1） R3 有3收敛半径32x 即 15x （2）当x5 时，111nn发散（调和级数） 当1x 时，111nnn（莱布尼兹级数） 收敛3）级数的（收敛域为15， 15求211( 1)nnx4nn的收敛半径与收敛域 解： （1） 2114limlim( )4nnnnnnUxxUx 32114x 24x， 2x ， R2 （ 2 ） 当时2x 01( 1)2nn发 散n 0,nU （3）级数的收敛域（2，2） 16将 1f xxa展成（xb）幂级数（） ab解： （1）变形 111()1f xxbbaxbbaba （2）展开 011nnnxbf xbaba 101()nnnxbba （3）收敛域（即收敛区间）xbba1 baxbba 17 将 232xf xxx展开成 x 的幂级数 解：解法（1） 11112112 12f xxxxxxx 1110001122nnnnnnnnxxxx 收敛域：12x 1111xxx 即 解法 （2） 2(1) (2)212 (1)21xxf xxxxx 011111212nnnxxx（11x ） 18将 2ln 12f xx x展开成x的幂级数 解： （1）变形 ln 1ln 1 2f xx x （2）展开： 110011211nnnnnnf xxnnx 11101121nnnnnxxn （3）收敛区间1111,22xx 故有收敛区间1 1,2 2 19将cos4xx展开成的幂级数 解： （1）变形 coscos44f xxx 22cossin242xx4 （2）展开 220011222!2!nnnnnnf xxxnn1 （3）收敛域（即收敛区间） x 20 利用逐项积分将 arctanf xx展开成麦克劳林级数，并求其收敛域 解： （1） 2011xf xdtt 2001xnnntdt 22001121nnnnnnt dtxn1 4 （2）当时 1x0121nnn收敛（莱布尼兹级数） 当1x 时，0121nnn收敛 故有收敛域1,1 四、证明题（本题 8 分） 21 利用ln 2x的麦克劳林展开式， 证明： 01ln21nnn 证： （1）令 ln 2ln2 12xf xx ln2ln 12x (2) 2101ln212nnxf xn 收敛区间：11, 22xx 2 （3）令 012,2ln4ln21nnxfn 移项：01ln4ln2ln21nnn 证毕 五、综合题（每小题 10 分，共 30 分） 22 求幂级数132nnnnnxxn=1的收敛域 解： （1）变形：原式=1162nnnnnx （2）1limnnnaa 111162lim216nnnnnnn 11111666lim3262116nnnnn 13R （ 3 ） 当13x 时 ，1166nnn 发 散0,nun 当13x时，1166nnnn发散0,nun 故级数的收敛区间：1 1,3 3 23将 212f xxx展开成（x-1）的幂级数 解： （1）变形： 132f xxx 231325xxxx111532xx （2）展开： 11152131f xxx 11111115231123xx 0011111152233nnnnnxx 1101111523nnnnnx （3）收敛区间：111,123xx 收敛区间13x 24将 1xdef xdxx展开成 x 的幂级数，并由此求1(1)nnn!之值解： （1）0!nxnxenx 原式=01!nnxdndxx1ndx1!ndxn11!nnxn221!nnnxn111 !nnnxn收敛区间为, （2）求1(1)nnn!1之值5令x ，1(1)!nnn=11xxdedxx12111xxxxeeeex 故有1(1)nnn!=1 选作题 ：将 212f xx展开成 x 的幂级数解： 1112212f xxx0122nnx 11001222nnnnnnxnx收敛区间：12x，故收敛区间：22x