第第五五章章 数数列列第第四四节节数数列列求求和和抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 来来 演演 练练 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么熟练掌握等差、等比数列的前熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式项和公式.怎怎 么么 考考 数数列列求求和和主主要要考考查查分分组组求求和和、错错位位相相减减和和裂裂项项相相消消求求和和，特特别别是是错错位位相相减减出出现现的的机机率率较较高高；题题型型上上以以解解答答题题为为主主在在考考查查基基本本运运算算、基基本本概概念念的的基基础础上上，又又注注重重考查学生分析问题、解决问题的能力，考查较为全面考查学生分析问题、解决问题的能力，考查较为全面.一、公式法一、公式法1如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公项和公式，注意等比数列公比比q的取值情况要分的取值情况要分q1或或q1.2一些常见数列的前一些常见数列的前n项和公式：项和公式：(1)1234 n ；(2)1357 2n1 ；(3)2468 2n .n2n2n二、非等差、等比数列求和的常用方法二、非等差、等比数列求和的常用方法1倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列an，首末两端等，首末两端等“距离距离”的两项的和相等的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒项和即可用倒序相加法，如等差数列的前序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的项和即是用此法推导的2分组转化求和法分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减求和而后相加减3错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用项和即可用此法来求，如等比数列的前此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的项和就是用此法推导的4裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和以相互抵消，从而求得其和答案：答案： D答案：答案： B3数列数列a12，ak2k，a1020共有十项，且共有十项，且其和为其和为240，则，则a1aka10的值为的值为 ()A31 B120C130 D185答案：答案： C答案：答案： 1 0064数列数列(1)nn的前的前2 012项和项和S2 012为为_解析：解析：S2 01212342 0112 0121111 006.5已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn且且ann2n，则，则Sn_.答案：答案：(n1)2n12 数列求和的方法数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和方法求和 (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成完成不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和精析考题精析考题例例1(2011山东高考山东高考)等比数列等比数列an中，中，a1，a2，a3分别分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的中的任何两个数不在下表的同一列任何两个数不在下表的同一列.第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行3210第二行第二行6414第三行第三行9818(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn满足：满足：bnan(1)nln an，求数列，求数列bn的前的前2n项和项和S2n.自主解答自主解答(1)当当a13时，不合题意；时，不合题意；当当a12时，当且仅当时，当且仅当a26，a318时，符合题意；时，符合题意；当当a110时，不合题意时，不合题意因此因此a12，a26，a318.所以公比所以公比q3，故故an23n1.巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)答案：答案：A2(2011北京东城二模北京东城二模)已知已知an是首项为是首项为19，公差为，公差为2的等差数列，的等差数列，Sn为为an的前的前n项和项和(1)求通项求通项an及及Sn；(2)设设bnan是首项为是首项为1，公比为，公比为3的等比数列，求的等比数列，求数列数列bn的通项公式及其前的通项公式及其前n项和项和Tn.冲关锦囊冲关锦囊 分组求和常见类型及方法分组求和常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前，利用等差数列前n项和公式直接求解；项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前，利用等比数列前n项和公式直接求解；项和公式直接求解；(3)anbncn，数列，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采是等比数列或等差数列，采 用分组求和法求用分组求和法求an的前的前n项和项和.在本例条件不变情况下，求数列在本例条件不变情况下，求数列2n1an的前的前n项和项和Sn.冲关锦囊冲关锦囊 用错位相减法求和时，应注意用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数 的情形；的情形；(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式.巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)答案：答案： A解：解：(1)证明：由题意得证明：由题意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)又又a12b111，b10，b1110.故数列故数列bn1是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列冲关锦囊冲关锦囊1利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等公式相等数学思想分类讨论思想在数列求和中数学思想分类讨论思想在数列求和中的应用的应用考题范例考题范例(12分分)(2010四川高考四川高考)已知等差数列已知等差数列an的前的前3项和为项和为6，前前8项和为项和为4.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn(4an)qn1(q0，nN+ )，求数列，求数列bn的前的前n项项和和Sn.题后悟道题后悟道 本题在求解时，体现了方程思想和分类讨论思想，本题在求解时，体现了方程思想和分类讨论思想，分类讨论思想在等比数列求和时经常用到，按公比分类讨论思想在等比数列求和时经常用到，按公比q是是否为否为1进行讨论；有些数列求和按奇偶项讨论，如数列进行讨论；有些数列求和按奇偶项讨论，如数列(1)nn求和，要对求和，要对n的奇偶性进行讨论的奇偶性进行讨论 点击此图进入点击此图进入