6.4 6.4 三角形的中位线定三角形的中位线定理理动手操作动手操作 1 1、分别取、分别取AB AB 、ACAC的中点的中点D D 、E,E,连结连结DE;DE;2 2、沿、沿DEDE将将ABCABC剪成两部分剪成两部分, ,并将并将ADEADE绕绕点点E E按顺时针旋转按顺时针旋转180180度度, ,得四边形得四边形BCFDBCFD。 给你一个任意的三角形（不要给你一个任意的三角形（不要 用特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形等），用特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形等），能否能否只剪一刀只剪一刀，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形呢？，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形呢？A AB BC CD DE E 通过操作我们可以看到线段通过操作我们可以看到线段DEDE实实质上就是三角形质上就是三角形两边中点两边中点的连线，我们的连线，我们把这样特殊的把这样特殊的线段线段叫做三角形的中位线。叫做三角形的中位线。1 1、理解三角形的中位线概念、理解三角形的中位线概念 2 2、探索并掌握三角形的中位线定理、探索并掌握三角形的中位线定理3 3、会利用三角形的中位线定理进行计算和证明、会利用三角形的中位线定理进行计算和证明重点：重点：理解并灵活应用三角形的中位线定理理解并灵活应用三角形的中位线定理难点难点：三角形的中位线定理的探索与推导三角形的中位线定理的探索与推导温馨提示温馨提示连接三角形两边中点的线段，叫做连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。三角形的中位线。1.三角形有三角形有三三条中位线；条中位线；2.三角形的三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同。不同。EDFACB学一学学一学你还能画出几条三角形的中位线？你还能画出几条三角形的中位线？忆一忆忆一忆：三角形的中线：三角形的中线ABC在三角形中，连结一个在三角形中，连结一个顶点顶点和它的和它的对边中对边中点点的的线段，线段，叫做叫做三角形的中线。三角形的中线。顶点顶点顶点顶点D中点中点E中点中点1.1.相同之处相同之处：2.2.不同之处：不同之处： 三角形中位线三角形中位线的的两个端点两个端点都是都是边的中点边的中点； 三角形中线三角形中线只有只有一个端点一个端点是是边的中点，边的中点，另一另一端点是三角形的顶点。端点是三角形的顶点。CBAED概念对比概念对比CBAD中线中线DCDC中位线中位线DEDE都是和边的都是和边的中点中点有关的有关的线段线段议一议议一议BFDACE ABC的中位线的中位线DE与与BC的关系怎样？（从位置的关系怎样？（从位置和数量关系猜想）和数量关系猜想）你能验证你的猜想吗？你能验证你的猜想吗？猜一猜猜一猜DEBC,即：三角形的中位线即：三角形的中位线平行平行于第三边，于第三边，并且等于第三边的并且等于第三边的 一半。一半。已知：在已知：在ABC中，中，AD=DB，AE=EC.求证：求证：DEBC,DE=BC.21EABCDF证明证明:延长延长DE到到F,使使EF=DE , 连接连接CF AE=EC, AED= CEF ADECFE， AD=CF , A= FCE CF/AB AD=DB CF=BD,CF/BD 四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形 DE/BC,DF=BC 又又 DE=1/2DF DE= DF= BC 证一证证一证（独立思考（独立思考-组内交流组内交流-代表展示代表展示-师生点评）师生点评） 三角形的中位线平行于第三边，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半并且等于第三边的一半.用符号语言表示用符号语言表示EABCDDE是是ABCABC的中位线的中位线（或或AD=BD,AE=CEAD=BD,AE=CE) ) DEBC，DE=BC.21记一记记一记口诀口诀中点连中点，构成中位线中点连中点，构成中位线平行第三边，长度是一半平行第三边，长度是一半证明证明平行平行问题问题证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半用用途途三角形的中位线平行于第三边，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半并且等于第三边的一半.A AC CB BED DF F练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC的中点的中点若若ADE=65ADE=65，则，则B=B= 度，为什么？度，为什么？若若BC=8cmBC=8cm，则，则DE=DE= cmcm，为什么？，为什么？65654 4若若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， 则则DEF的周长的周长=_练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，D、E、F分别分别是是AB、AC、BC的中点的中点9cm9cm若若 ABC的周长为的周长为24， DEF的周长是的周长是_12121、 三角形三条中位线围成的三角三角形三条中位线围成的三角形的形的周长周长与原三角形的与原三角形的周长周长的关系的关系？我来总结我来总结2、三角形三条中位线围成的三角形的、三角形三条中位线围成的三角形的面积面积与原三角与原三角形的形的面积面积的关系？的关系？图中有图中有_个平行四边形个平行四边形若若 ABC的面积为的面积为24， DEF的面积是的面积是_3 36 6练一练练一练已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是别是AB、BC、CD、DA的中点的中点.猜想四边形猜想四边形EFGH的形状并证明的形状并证明.ABCDEFGHE，F是是AB，BC的中点，你联想到什么？的中点，你联想到什么？ 要使要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？ 证明：如图，连接证明：如图，连接AC点点E、F分别是边分别是边AB、BC的中点的中点同理得：同理得： 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形例例1. 答：答： 四边形四边形EFGH为平行四边形。为平行四边形。已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是别是AB、BC、CD、DA的中点的中点.猜想四边形猜想四边形EFGH的形状并证明的形状并证明.ABCDEFGH例例1.变式变式1 1：若：若AC=BD, AC=BD, 四边形四边形EFGHEFGH是什么图是什么图形？形？变式变式2 2：若：若ACBD, ACBD, 四边形四边形EFGHEFGH是什么是什么图形？图形？变式变式3 3：若：若AC=BD,AC=BD,且且 ACBD, ACBD, 四边四边形形EFGHEFGH是什么图形？是什么图形？由此，你得到什么结论？由此，你得到什么结论？ （1）顺顺次次连连结结对对角角线线相相等等的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的四边形是什么？的四边形是什么？（3）顺次连结）顺次连结对角线相等对角线相等且垂直且垂直的四边形各边中点的四边形各边中点所得的四边形是什么？所得的四边形是什么？ （2）顺顺次次连连结结对对角角线线垂垂直直的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的四边形是什么？的四边形是什么？菱形菱形矩形矩形正方形正方形ABCD变式训练变式训练EFGHEEAABBCCDDFFGGHH结结论论原四边形两条对角线原四边形两条对角线连接四边中点所得四边形连接四边中点所得四边形互相垂直互相垂直矩形矩形相等相等菱形菱形互相垂直且相等互相垂直且相等正方形正方形既不互相垂直也不相等既不互相垂直也不相等平行四边形平行四边形 实际上，顺次连接任意四边形各边中点所得到实际上，顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是的四边形一定是平行四边形平行四边形，但，但它是否是特殊的平它是否是特殊的平行四边形取决于原四边形的行四边形取决于原四边形的对角线对角线. （1）顺顺次次连连结结平平行行四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边边形形是是什么？什么？（2）顺次连结）顺次连结菱形菱形各边中点各边中点所得的四边形是什么？所得的四边形是什么？平行四边形平行四边形矩形矩形 （3）顺顺次次连连结结正正方方形形各各边边中中点所得的四边形是什么？点所得的四边形是什么？ 正方形正方形学以致用：抢答学以致用：抢答（4）顺次连结）顺次连结矩形矩形各边中各边中点所得的四边形是什么？点所得的四边形是什么？（6）顺次连结）顺次连结等腰梯形等腰梯形各各边中点所得的四边形是什么边中点所得的四边形是什么？菱形菱形平行四边形平行四边形（5）顺次连结）顺次连结梯形梯形各边中各边中点所得的四边形是什么？点所得的四边形是什么？学以致用：抢答学以致用：抢答已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点的中点. 则则 (1)(1)四边形四边形EFGHEFGH是（是（ ）(2(2）请增加一个条件使得四）请增加一个条件使得四边形边形EFGHEFGH为菱形。为菱形。A AB BC CD DE EF FGGHH(3) (3) 请增加一个条件使得请增加一个条件使得四边形四边形EFGHEFGH为矩形。为矩形。挑战自我（逆向思维）挑战自我（逆向思维）平行四边形平行四边形AC=BDACBD当堂检测当堂检测 1 1。如图（。如图（1 1）ABCABC中，中， AB=6 AB=6， AC=8 AC=8，BC=10BC=10， DEF DEF分别是分别是ABACBCABACBC的中点的中点 则则DEFDEF的周长是的周长是 . . 3 3 3 3如如如如图图图图ABCABCABCABC中，中，中，中，DEDEDEDE是中位线，是中位线，是中位线，是中位线，AFAFAFAF是中线，是中线，是中线，是中线， 求证：求证：求证：求证：DEDEDEDE与与与与AFAFAFAF互相平分互相平分互相平分互相平分 2 2 2 2若顺次连接四边形四边中若顺次连接四边形四边中若顺次连接四边形四边中若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是菱形，则点所得的四边形是菱形，则点所得的四边形是菱形，则点所得的四边形是菱形，则 原四边形（原四边形（原四边形（原四边形（ ） （A A A A）一定是矩形）一定是矩形）一定是矩形）一定是矩形 （B B B B）一定是菱形）一定是菱形）一定是菱形）一定是菱形 （C C C C）对角线一定互相垂直）对角线一定互相垂直）对角线一定互相垂直）对角线一定互相垂直 （D D D D）对角线一定相等）对角线一定相等）对角线一定相等）对角线一定相等FFAABBccDDEE(1)(1)AA12cm12cmDD课后作业：课后作业：1必做题：习题必做题：习题6.4 1、3、42选做题：习题选做题：习题6.4 5、 6祝同学们学习进步！