化输入化输入-输出描述为状态空输出描述为状态空间描述及其几种标准形式间描述及其几种标准形式状态空间描述的建立状态空间描述的建立建立状态空间描述的三个途径：建立状态空间描述的三个途径：1、由系统框图建立、由系统框图建立2、由系统物理或化学机理进行推导、由系统物理或化学机理进行推导3 、由微分方程或传递函数演化而得、由微分方程或传递函数演化而得一一、由系统框图建立状态空间描述、由系统框图建立状态空间描述例例例例1-41-4：系统框图如下：系统框图如下：关键：关键：关键：关键：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换等效变换如下：等效变换如下：图中有图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：择积分环节后的变量为状态变量）：则有：则有：写成写成矩阵形式：矩阵形式：系统系统二、由系统机理建立状态空间描述步骤：步骤：1)根据系统的机理建立相应的微分方程或根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；差分方程；2)选择有关的物理量作为状态变量；选择有关的物理量作为状态变量；3)导出状态空间表达式。导出状态空间表达式。状态变量的选取原则状态变量的选取原则系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）（对角线标准型和约当标准型）电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量，为输入量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。 例例例例1-6 1-6 1-6 1-6 图图L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+ +_ _+ +_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1L L1 1 解解解解 ：1) 1) 选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，为状态变量，且两者是独立的。且两者是独立的。2 2）根据克希荷夫电压定律，列写根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：整理得：整理得：3 3）状态空间表达式为：状态空间表达式为： 例例例例1-71-7试列出在外力试列出在外力f作作用下，以质量用下，以质量 的位移的位移 为输出的为输出的状态空间描述。状态空间描述。 解解解解 ：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：质量块受力图如下：质量块受力图如下：则则有：有：及：及：将所选的将所选的状态变量状态变量代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得：输出方程：输出方程：状态方程：状态方程：写成写成矩阵形式：矩阵形式： = =432100100001xxxxy化输入化输入-输出描述为状态空间描输出描述为状态空间描述及其几种标准形式述及其几种标准形式 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。 为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为最小实现。最小实现。 本节先研究本节先研究SISO系统。系统。线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为n n阶阶SISOSISO控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：可实现的条件：可实现的条件： m mn系统的传递函数为：系统的传递函数为：当系统传递函数中m=n时，即应用长除法有式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数， 是严格有理真分式，其系数用综合除法得其状态空间描述为其状态空间描述为(1-44) (1-45) 式中A、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需增加一项 微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）： 一、传递函数中没有零点时的实现一、传递函数中没有零点时的实现系统的传递函数为：系统的传递函数为：1. 1.）选择状态变量选择状态变量选择状态变量选择状态变量 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即： 令令:1、标准、标准I型型2. 2.）化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式： 状态方程为状态方程为: 输出方程为输出方程为:注：注：注：注：状态变量是输出状态变量是输出y及及y的各阶导数的各阶导数系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。，称为友矩阵或相伴矩阵。3. 3.）画系统结构图：画系统结构图：画系统结构图：画系统结构图： 2、标准II型1. 1.）选择状态变量选择状态变量选择状态变量选择状态变量 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即： 令令:2. 2.）化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式： 状态方程为状态方程为: 输出方程为输出方程为:注：注：注：注：标准标准I型的型的A、b阵和标准阵和标准II型的型的A、c阵互为转置的阵互为转置的关系，即：关系，即：二、传递函数中有零点时的实现不失一般性，微分方程形式：不失一般性，微分方程形式：状态变量选择原则：状态变量选择原则： 使导出的一阶微分方程组右边不出现使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。的导数项。设系统传递函数为：应用长除法有1、标准I型其中：（1）能控）能控I型型引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项的微分方程，即 (1-17)定义如下一组状态变量(1-18)可得状态方程：输出方程为其向量-矩阵形式为式中（2）能观测）能观测I型型1.）选择状态变量选择状态变量式中系数式中系数 是待定系数是待定系数.整理整理(2)式得式得:由结构图可以看出由结构图可以看出:联立联立(3)式和式和(4)式，即可式，即可求得状态空间表达式为：求得状态空间表达式为：输出方程输出方程输出方程输出方程: :状态方程状态方程状态方程状态方程: :A仍然是友矩阵仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了2.）求）求思路思路:由式由式(2)可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的形的形式，并代入式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中 ，根据根据u及其各阶导及其各阶导数的系数相等的原则求解：数的系数相等的原则求解：由式由式(2)可以得到下式可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：在结构图中增加一个中间变量：令令由式由式(5)和式和式(6)可求可求得：得：(7)将式将式(5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，中，根据左右等式中根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则可得到：为便于记忆，为便于记忆，将上式写成：将上式写成：2、标准II型与标准I型相同，标准II型也分为能控II型和能观II型。能观II型与能控I型互为对偶。能控II型与能观I型互为对偶。3、约当标准型、约当标准型不失一般性，讨论不失一般性，讨论此系统：此系统：也有一个也有一个q重极点：重极点：分析：分析：分析：分析：既有互异极点：既有互异极点：实现方法：实现方法：实现方法：实现方法： 整理得整理得（1 1）对于互异极点部分：对于互异极点部分：对于互异极点部分：对于互异极点部分：令令拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：系数系数 为待定系数，其中为待定系数，其中 ，采用，采用留数定理留数定理留数定理留数定理计算：计算：（2 2）对于重极点部分：对于重极点部分：对于重极点部分：对于重极点部分：令令则：则：联立上两式得：联立上两式得：拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：联立联立(1)、(2)、(4)可可得：得：由由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：可得状态空间描述为：xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+-1 1-q+1q+1-n n-1 1-1 1 c11 c12 c1qcq+1 cn约当标准型状态结构图约当标准型状态结构图