北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-1 空间向量与立体几何第二章第二章章 末 归 纳 总 结第二章第二章专专 题题 研研 究究2即即 时时 训训 练练3知知 识识 结结 构构1知知 识识 结结 构构专专 题题 研研 究究1向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理2利用空间向量判定线面、面面位置关系(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：(1)MN平面A1BD；(2)平面A1BD平面B1D1C(2)由(1)求得平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)，同理可求得平面B1D1C的一个法向量m(1，1，1)，所以mn，所以平面A1BD平面B1D1C方 法 四 ： (1)M、 N分 别 为 CC1、 B1C1的 中 点 ，MNB1C，又B1CA1D，MNA1D，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD(2)B1CA1D，B1C平面A1DB，A1D平面A1BDB1C平面A1BD，同理BD1平面A1BD，平面A1BD平面B1D1C3求空间中的角(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为n1，n2或n1，n2，cos |cosn1，n2|.(2)求二面角的大小如图，设平面、的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面、所成的锐二面角，所以cos |cosn1n2|.(3)求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为，则sin |cosn1，n2|.分析建立恰当空间直角坐标系，求出相应的向量，利用法向量求解总结反思用向量法求两平面夹角的一般步骤是：(1)建立坐标系，标出点坐标；(2)求出两平面的法向量；(3)求法向量所成的角，再转化为平面夹角(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解析 (1)证明：ACBC，DEBC，DEACDEA1D，DECD，DE平面A1DCDEA1C又A1CCD，CDDED，A1C平面BCDE，A1C平面BCDE.即即 时时 训训 练练5(2015四川理，14)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_解析解法一：连接AC，设ACBDO，AP与平面BDD1B1交于点G，连接OG.如图所示，PC平面BDD1B1，平面BDD1B1平面APCOG，(2)存在点Q.证明：依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1QAP，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点D1O1A1C1，D1O1AA1，D1O1平面ACC1A1.又AP平面ACC1A1，故D1O1AP.从而D1Q在平面AD1P上的射影与AP垂直存在定点Q满足题意解析(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小解析(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.