第二章第二章 误差与不确定度误差与不确定度 本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得与误差打交道。与误差打交道。 2.12.1 误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 误差误差= =测量值测量值- -真值真值 例如，在电压测量中，电压例如，在电压测量中，电压真值真值5V5V，测得的电压为，测得的电压为5.3V5.3V，则，则 误差误差= 5.3V - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 问题：问题：5V5V真值真值怎么知道的？怎么知道的？真值真值是一个理想的概念。是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。真值客观存在，却难以获得。 2.1.1 2.1.1 测量误差测量误差 1.1.误差的概念误差的概念实际上对实际上对“真值真值”的应用通常是用以下三种办法：的应用通常是用以下三种办法： 真值可由理论（或定义）给出真值可由理论（或定义）给出例例1 1：三角形内角和为三角形内角和为180180度度=31+121+121+29+29+=181用量角器分别量得三内角为：用量角器分别量得三内角为：+ +误差误差=181-180=1=181-180=1 用用“约定真值约定真值” 代替代替“真值真值” 用用“不确定度不确定度” 评定测量结果评定测量结果 实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用。值作为真值使用。“实际值实际值”“约定真值约定真值”。 在本章第在本章第2 2、3 3。4 4。5 5节中讨论误差时是基于节中讨论误差时是基于“约定真值约定真值”己知的条件下进行的。己知的条件下进行的。 在本章第在本章第6 6节中详细讨论。逆向思维，回避真值，节中详细讨论。逆向思维，回避真值，研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，不能确定的范围在微米量级。不能确定的范围在微米量级。3.3. 误差的来源误差的来源 仪器误差仪器误差 指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差； 数字式仪表的量化误差（如数字式仪表的量化误差（如6 6位半的电压表比位半的电压表比3 3位半量化误差小）；位半量化误差小）； 比较式仪表中标准量本身的误差比较式仪表中标准量本身的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。（如天平的砝码）均为仪器误差。 1.999999V1.999999V1.999V1.999V非线性非线性V VmVmV 方法误差方法误差 由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。 例如：例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。 100k100k1mA1mAv v100k100k电压表电压表内阻内阻习题习题2.92.9被测电阻被测电阻R Rx x，电压表的内阻为，电压表的内阻为R RV V，电流表的内阻为，电流表的内阻为R RI II IV VR Rx x(a)(a)I IV VR Rx x(b)(b)对于图对于图(a)(a)： 对于图（对于图（a a）当电压表内阻）当电压表内阻R RV V很大时可选很大时可选a a方案。方案。对于图（对于图（b b）当电流表内阻）当电流表内阻R RI I很小时可用很小时可用b b方案。方案。 理论误差理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量频率时，常用的公式为频率时，常用的公式为 但实际上，回路电感但实际上，回路电感L L中总存在损耗电阻中总存在损耗电阻r r，其准确的公为，其准确的公为 影响误差影响误差 由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。 人身误差人身误差 由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测量数据不准确所引起的误差。量数据不准确所引起的误差。 研究误差理论的目的研究误差理论的目的是分析产生误差的原因和规律，识别误差是分析产生误差的原因和规律，识别误差的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量条件下，尽力设法减少误差，条件下，尽力设法减少误差，保证测量误差在容许的范围内。保证测量误差在容许的范围内。 2.1.2 2.1.2 误差的表示方法误差的表示方法 相对误差相对误差 绝对误差绝对误差 1.1.绝对误差：绝对误差： 定义：被测量的定义：被测量的测量值测量值x x与其与其真值真值A A0 0之差，称为绝对误差。之差，称为绝对误差。 在实际测量中：在实际测量中： “约定真值约定真值”“实际值实际值”= = A A 表示表示 修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，一般用一般用C C表示表示 大小大小 正负正负 单位单位 x x= =x xA A0 0（2.12.1）x x= =x xA A（2.22.2） C C= =x x= =A Ax x （2.32.3）2 2 相对误差：相对误差： 例：例： 用二只电压表用二只电压表V V1 1和和V V2 2分别测量两个电压值。分别测量两个电压值。V V1 1 表测量表测量150150伏，绝对误差伏，绝对误差x x1 1=1.5=1.5伏，伏， V V2 2 表测量表测量1010伏，伏， 绝对误差绝对误差x x2 2=0.5=0.5伏伏 从绝对误差来比较从绝对误差来比较 x x1 1 x x2 2 谁准确？谁准确？ 用用相对误差相对误差便于比较便于比较 - -表示相对误差表示相对误差相对误差可以有多种形式：相对误差可以有多种形式： 真值相对误差真值相对误差 实际值相对误差实际值相对误差 测量值（示值）相对误差测量值（示值）相对误差 满度（或引用）相对误差满度（或引用）相对误差 常用常用因通常因通常A A0 0、A A、X X X X 故常用故常用X X方便方便测量值相对误差测量值相对误差x x与满度相对误差与满度相对误差S%S%的关系：的关系： 测量值测量值x x靠近满量程值靠近满量程值x xm m相对误差小相对误差小电工仪表将满度相对误差分为七个等级：电工仪表将满度相对误差分为七个等级： 等级等级0.10.10.20.20.50.51.01.01.51.52.52.55.05.0S%S%0.1%0.1%0.2%0.2%0.5%0.5%1.0%1.0%1.5%1.5%2.5%2.5%5.0%5.0%例：检定量程为例：检定量程为1000A1000A的的0.20.2级电流表，在级电流表，在500A500A刻度上标刻度上标准表读数为准表读数为499A499A，问此电流表是否合格？，问此电流表是否合格？ 解：解： x x0 0=499A =499A x x=500A =500A x xm m=1000A=1000A（0.20.2级表）级表） 用分贝（用分贝（dBdB）表示相对误差）表示相对误差 相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、电压的增益（衰减）的测量中。电压的增益（衰减）的测量中。 功率功率等电参数用等电参数用dBdB表示的相对误差为表示的相对误差为 （2.92.9） 电压、电流电压、电流等参数用等参数用dBdB表示的相对误差为表示的相对误差为 2.1.3 2.1.3 误差按性质分类误差按性质分类随机误差随机误差 系统误差系统误差 粗大误差粗大误差 随机误差随机误差-不可预定方式变化的误差（同不可预定方式变化的误差（同随机变量随机变量）系统误差系统误差-按一定规律变化的误差按一定规律变化的误差粗大误差粗大误差-显著偏离实际值的误差显著偏离实际值的误差下面分别介绍比较严格的定义下面分别介绍比较严格的定义系统误差定义为：系统误差定义为：“在重复性条件下在重复性条件下(即测量条件即测量条件不变不变)，对同一被测量无限多次测量所得的结果，对同一被测量无限多次测量所得的结果的平均值与被测量的真值之差的平均值与被测量的真值之差。”用用表示系统误表示系统误差，即差，即 1. 系统误差系统误差系统误差的特点：只要测量条件不变，误差即为确系统误差的特点：只要测量条件不变，误差即为确定值，用多次测量求平均值的方法不能改变或消除定值，用多次测量求平均值的方法不能改变或消除系统误差。系统误差。（2.112.11） （2.122.12）随机误差定义为：随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差之差。”用用表示随机误差，即表示随机误差，即 2. 随机误差随机误差随机误差定义表示：在重复性条件下，每次测量误差的绝对随机误差定义表示：在重复性条件下，每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差，简称随差。值和符号以不可预知的方式变化的误差，简称随差。随机误差的性质类同于概率论中的随机变量，故要用概率统随机误差的性质类同于概率论中的随机变量，故要用概率统计的方法进行处理。计的方法进行处理。（2.13）3. 粗大误差粗大误差在一定条件下，在一定条件下，测量值显著偏离其真值（或约定测量值显著偏离其真值（或约定真值）所对应的误差，称为粗大误差真值）所对应的误差，称为粗大误差。 粗大误差产生原因：主要是粗大误差产生原因：主要是 读数错误读数错误 测量方法不对测量方法不对 瞬间干扰瞬间干扰 仪器工作不正常等。仪器工作不正常等。对粗大误差的处理通常是对粗大误差的处理通常是按一定的法则进行剔除按一定的法则进行剔除 由（由（2.1）式误差的定义：）式误差的定义： 式（式（2.14）表示误差等于随机误差和系统误差相加的关）表示误差等于随机误差和系统误差相加的关系。图系。图2.2给出了这些误差之间关系的示意图。给出了这些误差之间关系的示意图。（2.14）4. 4. 三种误差的关系三种误差的关系 先要剔除粗大误差，只剩下系统误差和随差。先要剔除粗大误差，只剩下系统误差和随差。定量的概念：定量的概念：2.1.42.1.4. .基本术语基本术语尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度10 mV10 mV只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为1 1级表（准确度级表（准确度1%1%）测量准确度测量准确度-测量结果与被测量的真值的一致程度。测量结果与被测量的真值的一致程度。 但由于真值难以获得，故准确度是一个定性概念。但由于真值难以获得，故准确度是一个定性概念。测量正确度测量正确度-无穷重复测量的平均值与参考值之间的无穷重复测量的平均值与参考值之间的一致性。一致性。测量的正确度反过来说明测得量中系统误差大小的程度。测量的正确度反过来说明测得量中系统误差大小的程度。测量精密度测量精密度-在规定条件下，对同一被测对象重复测在规定条件下，对同一被测对象重复测量所得测得值间的一致程度。量所得测得值间的一致程度。测量的精密度用来定量表示测量结果中随机误差大小的程度。测量的精密度用来定量表示测量结果中随机误差大小的程度。系统误差系统误差 小，准确度高小，准确度高 A A或或A AX Xi iX Xi i随机误差随机误差 小小 ，精密度高，精密度高 A AA A或或X Xi i系统误差和随机误差都较小，称精确度高系统误差和随机误差都较小，称精确度高 A A或或X Xi iX Xi i定性的概念：定性的概念：测量的测量的重复性重复性-在相同的测量条件下，对同一测量进行在相同的测量条件下，对同一测量进行连续多次测量结果之间的一致性，用连续多次测量结果之间的一致性，用“r r” 表示。表示。 也称也称等精度测量等精度测量-同一个人、同一台仪器、同一地同一个人、同一台仪器、同一地点、同一方法，在短时间内进行重复测量。点、同一方法，在短时间内进行重复测量。 例：例：用数字电压表测量电压用数字电压表测量电压1616次。次。测量的测量的复现性复现性-在改变了的测量条件下，同一被测量的在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。测量结果之间的一致性。 也称也称再现性再现性-换了个人，换了台仪器，在另外的时换了个人，换了台仪器，在另外的时间地点进行测量，其结果不能超出的范围，间地点进行测量，其结果不能超出的范围，“R R”表示。表示。例：例：不同人用不同的电压表测量市电，都是不同人用不同的电压表测量市电，都是220v220v左右。左右。2.2 2.2 随机误差随机误差 2.2.1 2.2.1 定义与性质定义与性质 随机误差随机误差定义定义： ：“测量结果与在重复性条件下，测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差之差。”随机误差概念随机误差概念-不可预定方式变化的误差（同随机变量）不可预定方式变化的误差（同随机变量）举例：举例：对一电阻进行对一电阻进行n n=100=100次重复性测量次重复性测量表表 2.22.2 按大小排列的按大小排列的重复性重复性测量结果测量结果 测量值测量值x xi i（）相同测值出现次数相同测值出现次数m mi i相同测值相同测值出现的概率出现的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.029.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.9814140.140.149.999.9918180.180.1810.0010.0022220.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.010.01P P( (x x) )x x0 0 随机误差性质：服从随机误差性质：服从正态分布正态分布，具有以下，具有以下4 4个特性个特性： 对称性对称性绝对值相等的正误差与负绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；误差出现的次数相等； 单峰性单峰性绝对值小的误差比绝对值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；大的误差出现次数多； 有界性有界性绝对值很大的误差出现的绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；机会极少，不会超出一定的界限； 抵偿性抵偿性当测量次数趋于无穷大，当测量次数趋于无穷大，随机误差的平均值将趋于零。随机误差的平均值将趋于零。 2.2.2 2.2.2 随机误差的统计处理随机误差的统计处理 随机误差与随机变量的类同关系随机误差与随机变量的类同关系 1.1.数学期望数学期望 设设x x1 1，x x2 2，x xi i，为离散型随机变量为离散型随机变量X X的可能取值，相应的可能取值，相应概率为概率为p p1 1，p p2 2，p pi i，其级数和为其级数和为 若若 绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E E( (X X) ) x x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+ + +x xi ip pi i+ += = 在统计学中，在统计学中， 期望与均值是同一概念期望与均值是同一概念（2.152.15） 算术平均值算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值可知，若测量次数无限增加，则算术平均值 必然趋于必然趋于实际值实际值。 2.2.方差、标准差方差、标准差方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。 随机变量随机变量X X的方差为的方差为X X与其期望与其期望E E（X X）之差的平方的期望，）之差的平方的期望，记为记为D D（X X），即），即 例：两批电池的测量数据例：两批电池的测量数据 n nX X0 0X Xx xi in nX X0 0X Xx xi i误差离散性小误差离散性小误差离散性大误差离散性大测量中的随机误差也用方差测量中的随机误差也用方差 来定量表征：来定量表征： 式中式中 是某项测值与均值之差，称为是某项测值与均值之差，称为剩余误差剩余误差或或残差残差，记作记作 。将剩余误差平方后求和平均，扩大了。将剩余误差平方后求和平均，扩大了离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。标准差标准差方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记作作（2.162.16） 正态分布正态分布 在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数为正态分布为正态分布 当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值 和标准差和标准差，该，该正态分布的曲线形状则基本确定。正态分布的曲线形状则基本确定。 P P( (x x) )x x0 0给出了给出了 时，三条不同标准差的正态分布曲线：时，三条不同标准差的正态分布曲线： 。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据占优势大，即测量精度高。占优势大，即测量精度高。x x( () )0 01 12 23 31 12 23 3本书附录本书附录A A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中给出了正态分布在对称区间的积分表。其中（2.182.18）式中式中k k为置信因子，为置信因子，a a为所设的区间宽度的一半。为所设的区间宽度的一半。 K=1K=1时，时， K=2K=2时，时， K=3K=3时，时， 图图2.7 2.7 正态分布下不同区间出现的概率正态分布下不同区间出现的概率 2.2.3 2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差有限次测值的算术平均值和标准差 上述正态分布是（上述正态分布是（n n）下求得的，但在实际测量中只能进行）下求得的，但在实际测量中只能进行有限次测量有限次测量1.1.有限次测量的算术平均值有限次测量的算术平均值 对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近。值的算术平均值与被测量的真值最为接近。 设被测量的真值为设被测量的真值为，其等精度测量值为，其等精度测量值为x x1 1，x x2 2，x xn n，则，则其算术平均值为其算术平均值为 （2.192.19） 由于由于 的数学期望为的数学期望为，故算术平均值就是真值，故算术平均值就是真值的无偏估计值。的无偏估计值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。2.2.有限次测量数据的标准差有限次测量数据的标准差贝塞尔公式贝塞尔公式 上述的标准差是在上述的标准差是在n n的条件下导出的，而实际测量只能做到的条件下导出的，而实际测量只能做到有限次。当有限次。当n n为有限次时，可以导出这时标准差为为有限次时，可以导出这时标准差为 （2.202.20） 这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故 被称为被称为标标准差的估值，也称实验标准差。准差的估值，也称实验标准差。3.3.平均值的标准差平均值的标准差 在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分m m组组进行测量，每组重复进行测量，每组重复n n次测量，则每组数列都会有一个平均值，次测量，则每组数列都会有一个平均值，由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差算术平均值还存在着误差。当需。当需要更精密时，应该用要更精密时，应该用算术平均值的标准差算术平均值的标准差 来评价。来评价。 已知算术平均值已知算术平均值 为为 n m 1 2 n m 1 2 m m 1 1 x x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 在概率论中有在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导的定理，可进行下面推导因因 故有故有 所以所以 当当n n为有限次时，用标准差的估值即可，则为有限次时，用标准差的估值即可，则 （2.212.21） 结论结论：（：（2.212.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n n次次测量样本标准差的测量样本标准差的 分之一。即算术平均值的标准差估值分之一。即算术平均值的标准差估值 比样本标准差的估值比样本标准差的估值 比样本标准差的估值比样本标准差的估值 小小 倍，倍， 表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。意义意义：（：（2.212.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组数据，求得标准差，将其除以数据，求得标准差，将其除以 ，则相当于得到了多组数据，则相当于得到了多组数据的算术平均值的标准差。的算术平均值的标准差。归纳归纳：有限次测值的算术平均值和标准差有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤：计算步骤：(1)(1)列出测量值的数据表列出测量值的数据表 (2)(2)计算算术平均值计算算术平均值 (3)(3)残差残差 (4)(4)标准差的估计值标准差的估计值（实验标准差）（实验标准差） (5)(5)算术平均值标准差的估计值算术平均值标准差的估计值 例例2.6 2.6 对某信号源的输出频率进行了对某信号源的输出频率进行了8 8次测量，得测量值次测量，得测量值 的序列的序列( (见表见表2.3) 2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。求测量值的平均值及标准偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用数据所用数据序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz) (kHz)1000.821000.821000.791000.791000.851000.851000.1000.34341000.71000.78 81000.1000.91911000.71000.76 61000.1000.82820.060.060.030.030.090.09-0.42-0.420.020.020.150.150.000.000.060.06解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,这里采用的运算技巧）这里采用的运算技巧） (2)(2)用公式用公式 计算各测量值残差列于表计算各测量值残差列于表2-32-3中中(3)(3)标准差估值标准差估值 (4)(4) 的标准偏差的标准偏差 因整数位不变因整数位不变2.2.4 2.2.4 测量结果的置信度测量结果的置信度 1.1.置信置信度度与置信与置信区间区间 ( (百分比百分比) ) ( (范围范围) ) 置信度置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围范围内可内可靠程度的量，一般用百分数表示。靠程度的量，一般用百分数表示。 置信区间置信区间，即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，如如 给定给定2 2个标准差个标准差 范围内数据的可信度是百分之几？范围内数据的可信度是百分之几？条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。P(x)E(x)x0k(x)k(x)置信度置信度？%区间区间2.2.正态分布下的置信度正态分布下的置信度K=1K=1时，时， K=2K=2时，时， K=3K=3时，时， k k=3=3时，即在以时，即在以3 3倍标准差倍标准差3 3区间内，随机误差出现的概率为区间内，随机误差出现的概率为99.73%99.73%，而在这个区间外的概率非常小。，而在这个区间外的概率非常小。 图图2.7 2.7 正态分布下不同区间出现的概率正态分布下不同区间出现的概率68.3%68.3%95.4%95.4%99.7%99.7% 3. t3. t分布下的置信度分布下的置信度 （n20nn200200） 3 3s s（x x） 2 2 格拉布斯检验法格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）（理论与实验证明较好） 3 3 中位数检验法中位数检验法x xP P( (x x) )E E( (x x) )0 0-3s-3s3s3s中位数中位数平均值平均值 大量统计表明，当数据列中没有粗大误差时 991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019 Gs G G查查p34p34表表2.62.6中位数中位数例例GSGSGSGS2.3.4 2.3.4 应用举例应用举例 例例 2.12 2.12 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表2.72.7中，中，试检查数据中有无异常。试检查数据中有无异常。表表2.7 2.7 例例 2.122.12所用数据所用数据序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i1 120.4220.42+0.016+0.0166 620.4320.43-0.026-0.026111120.4220.42+0.016+0.0162 220.4320.43+0.026+0.0267 720.3920.39-0.014-0.014121220.4120.41+0.006+0.0063 320.4020.40-0.004-0.0048 820.3020.30-0.104-0.104131320.3920.39-0.014-0.0144 420.4320.43+0.026+0.0269 920.4020.40-0.004-0.004141420.3920.39-0.014-0.0145 520.4220.42+0.016+0.016101020.4320.43+0.026+0.026151520.4020.40-0.004-0.004(1(1）莱特检验法莱特检验法 ： 从表中可以看出从表中可以看出x x8 8=20.30=20.30残差较大，是个残差较大，是个 可疑数据，可疑数据， 故可判断故可判断x x8 8是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得 其余的其余的1414个数据的个数据的 均小于均小于 ，故为正常数据。，故为正常数据。 （2 2）格拉布斯检验法格拉布斯检验法（3 3）中位数检验法中位数检验法 取置信概率取置信概率 P Pc c=0.99=0.99，以，以 n n=15=15查表查表2.62.6得得 G G=2.70=2.70G Gs=2.7s=2.70.033=0.090.033=0.09 ，剔除，剔除x x8 8后重新计算判别，后重新计算判别，得得n n=14=14，p pc c=0.99=0.99下下G G值为值为 2 26666G GSS 2.66 2.66 0.016 0.016 0.040.04 余下数据中无异常值。余下数据中无异常值。 20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43中位数平均值剔除 20.30 前20.4120.404剔除 20.30 后20.415 更接近20.411(1)所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有至今尚未有统一的规定统一的规定。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响，特别是测量次数较少时更不可靠。(2)若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，然后重新计算(3)在一组测量数据中，可疑数据应极少可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。要对异常数据的出现进行分析，找出原因，不要轻易舍去异常数据而放过发现问题的机会。(4)上述三种检验法中，莱特检验法是以正态分布为依据的，测值数据最好n200，若n10则会失效；格拉布斯检验法理论格拉布斯检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好严密，概率意义明确，实验证明较好；中位数检验法简捷方便，也能满足一般实用要求。在对粗大误差处理中要注意以下几个问题：2.42.4 系统误差系统误差 上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。误差为前提。 实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。误差数值还比较大。 对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。 2.4.1 2.4.1 系统误差的产生原因系统误差的产生原因 系统误差是系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。这些误差因素是可以掌握的。1.1.测量装置方面的因素测量装置方面的因素 仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确；仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确；仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。 2.2.环境方面的因素环境方面的因素 测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。等按一定规律变化的误差。 3.3.测量方法的因素测量方法的因素 采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。 4.4.测量人员方面的因素测量人员方面的因素由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。2.4.2 2.4.2 系统误差的检查和判别系统误差的检查和判别 系统误差（简称系差）的特征是：系统误差（简称系差）的特征是： 恒定系差恒定系差-多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；变值系差变值系差-条件改变时，误差按一定的规律变化。条件改变时，误差按一定的规律变化。 1.1.恒定系统误差的检查和处理恒定系统误差的检查和处理 恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种 1)1)改变测量条件改变测量条件 测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，例如，对为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，例如，对仪表零点的调整仪表零点的调整。 2)2)理论分析计算理论分析计算凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行定量分析定量分析，就可找出，就可找出系差的大小。（分压比校准）系差的大小。（分压比校准）3)3)用高档仪器比对、校准用高档仪器比对、校准 用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查和消除恒差。和消除恒差。 4)4)统计法统计法（排除随机误差，剩下即系统恒差排除随机误差，剩下即系统恒差） 下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。 设一系列重复测量值为设一系列重复测量值为x x1 1，x x2 2，x xn n，测量值中含有随机误差，测量值中含有随机误差i i 和恒定和恒定系统误差系统误差，设被测量的真值为，设被测量的真值为x x0 0，则有，则有当当n n足够多时，足够多时， 上式表明，当测量次数上式表明，当测量次数n n足够大时，随机误差对足够大时，随机误差对 的影响可忽略，而系统的影响可忽略，而系统中。利用修正值中。利用修正值 C C= =可以在进行平均前的每个测量值可以在进行平均前的每个测量值x xi i误差误差会反映在会反映在中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的恒定系差，可通过理论计算修正。恒定系差，可通过理论计算修正。 2. 2. 变值系差的判定变值系差的判定 常用的有以下两种判据：常用的有以下两种判据： 1)1)剩余误差观察法剩余误差观察法 （a a）剩余误差大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差；）剩余误差大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差； （b b）剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则）剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则 存在线性系统误差；存在线性系统误差；（c c）变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替）变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替 重复变化，则存在周期性系统误差；重复变化，则存在周期性系统误差； （d d）则同时存在线性和周期性系统误差。若测量列中含有不变的系统误差，）则同时存在线性和周期性系统误差。若测量列中含有不变的系统误差， 用剩余误差观察法则发现不了。用剩余误差观察法则发现不了。 vv0 0n n图图2.13 2.13 变值系差示意图变值系差示意图(c)(c)n nvv0 0n nv v0 0n nv v0 0(a)(a)(b)(b)(d)(d)2) 2) 累进性系差的判别累进性系差的判别马利科夫判据马利科夫判据 图图2.13(a)(b)2.13(a)(b)表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一个固定方向变化。个固定方向变化。 马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是： 将将n n项剩余误差项剩余误差 按顺序排列；按顺序排列； 分成前后两半求和，再求其差值分成前后两半求和，再求其差值D D 当当n n为偶数时为偶数时 当当n n为奇数时为奇数时 若若 则说明测量数据存在累进性系差。则说明测量数据存在累进性系差。（2.412.41） 前一半前一半 后一半后一半 3)3)周期性系差的判别周期性系差的判别阿贝阿贝赫梅特判据赫梅特判据周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性系差。系差。 如图如图 2.142.14（a a）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在垂直向上的位置时造成的误差为垂直向上的位置时造成的误差为，当指针在水平位置运动时，当指针在水平位置运动时 逐渐减小至零，逐渐减小至零，当指针运动到垂直向下位置时，误差为当指针运动到垂直向下位置时，误差为-，如此周而复始，造成的误差如图，如此周而复始，造成的误差如图2.142.14（b b）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。 0 090901801802702700 0t t(a)(a)(b)(b)图图2.14 2.14 周期性系差实例周期性系差实例 以以 钟钟 表表为例为例阿贝阿贝赫梅特判据赫梅特判据 具体步骤是：具体步骤是： 把测量数据把测量数据I I 项剩余误差项剩余误差 按测量顺序排列；按测量顺序排列； 将将 两两相乘，然后求其和的绝对值两两相乘，然后求其和的绝对值（2.402.40） 用贝塞尔公式求方差用贝塞尔公式求方差 再与方差相比较，若再与方差相比较，若 （2.412.41）则可认为存在周期性系统误差。则可认为存在周期性系统误差。 存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。但是，若虽然存在变值系差，但是，若虽然存在变值系差，而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。2.4.3 2.4.3 削弱系统误差的典型技术削弱系统误差的典型技术消除或减弱系统误差应从根源上着手。消除或减弱系统误差应从根源上着手。 1. 1. 零示法零示法 当检流计当检流计G G中中 I=0I=0 待测待测标准标准U U U Ux xE Ex xR R1 1R R2 2G G图图2.15 2.15 零示法测电压零示法测电压 G G只要示零精度高只要示零精度高2.2.替代法替代法（置换法）（置换法） 直流电桥平衡条件直流电桥平衡条件R Rx xG GR RS SR R3 3R R1 1R R2 2E E 图图2.16 2.16 替代法测电阻替代法测电阻 标标 准准 可可调可读电阻调可读电阻当当 R RX XR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 将将 R RS SR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 则则 R RX X=R=RS S 步骤：步骤：1.1.调调R R3 3，使，使G=0G=0，R R3 3不动；不动； 2. 2.调调R RS S，使，使G=0G=0，R RX X=R=RS SR RS S为标准为标准电阻箱电阻箱可调可读可调可读3. 3. 交换法交换法（对照法）（对照法） 2.4.4 2.4.4 重复性测量结果的数据处理（重复性测量结果的数据处理（重点内容：是不确定度计算基础重点内容：是不确定度计算基础） 当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行处理。处理。1)1)对测量值进行修正，列出测量值对测量值进行修正，列出测量值x xi i 的数据表的数据表2)2)计算算术平均值计算算术平均值 3)3)列出残差列出残差 4)4)按贝塞尔公式计算标准差的估值按贝塞尔公式计算标准差的估值 5)5)按莱特准则按莱特准则 ，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则 粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算 ，检查和剔除，检查和剔除和和s s，再判别，再判别直到无粗大误差；直到无粗大误差； 6)6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量； 7)7)算术平均值标准差的估计值算术平均值标准差的估计值8)8)写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即 式中式中k k为包含因子，可查表为包含因子，可查表2.42.4。 例例2.14 2.14 对某电压进行对某电压进行1616次等精度测量，测量数据次等精度测量，测量数据x xi i中已记入修中已记入修正值，列于表正值，列于表2.82.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。序号序号测量值测量值x xi i(V)(V)残差残差v vi i残差残差v vi i序号序号测量值测量值x xi i(V)(V)残差残差v vi i残差残差v vi i1 1205.30205.300.000.00+0.09+0.099 9205.71205.71+0.41+0.41+0.50+0.502 2204.94204.94-0.36-0.36-0.27-0.271010204.70204.70-0.60-0.60-0.51-0.513 3205.63205.63+0.33+0.33+0.42+0.421111204.86204.86-0.44-0.44-0.35-0.354 4205.24205.24-0.06-0.06+0.03+0.031212205.35205.35+0.05+0.05+0.14+0.145 5206.65206.65+1.35+1.35-1313205.21205.21-0.09-0.090.000.006 6204.97204.97-0.33-0.33-0.24-0.241414205.19205.19-0.11-0.11-0.02-0.027 7205.36205.36+0.06+0.06+0.15+0.151515205.21205.21-0.09-0.090.000.008 8205.16205.16-0.14-0.14-0.05-0.051616205.32205.32+0.02+0.02+0.11+0.11解：解：(1)(1)求出算术平均值求出算术平均值 (2)(2)计算计算 列于表中列于表中, ,并验证并验证 (3)(3)计算标准偏差估值计算标准偏差估值: : (4)(4)按莱特准则判断有无按莱特准则判断有无 , ,查表中第查表中第5 5个数据个数据 , ,应将对应应将对应 视为粗大误差视为粗大误差, ,加以加以剔除。现剩下剔除。现剩下1515个数据。个数据。(5)(5)重新计算剩余重新计算剩余1515个数据的平均值个数据的平均值: : 及重新计算及重新计算 列于表列于表2.82.8中中, ,并验证并验证 (6)(6)重新计算标准偏差重新计算标准偏差 (7)(7)按莱特准则再判断按莱特准则再判断 , ,现各现各 均小于均小于 则认为剩余则认为剩余1515个数据中不再含有粗大误差。个数据中不再含有粗大误差。 , ,(8)(8)对对 作图作图, ,判断有无变值系统误差判断有无变值系统误差, ,如图如图2.182.18。从图中可见。从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。无明显累进性或周期性系统误差。 图图2.18 2.18 残差图残差图(9)(9)计算算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差: : (10)(10)写出写出测量结果表达式测量结果表达式: : ( (取包含因子取包含因子k=3) k=3) 第五节第五节 误差的合成与分配误差的合成与分配 研究：研究： 先讲先讲合成合成： 例：例： P PIU IU U U和和I I如何影响如何影响 P P ？ I=U/R I=U/R U U和和R R如何影响如何影响 I I ？ 方法：推导一个普遍适用的公式。方法：推导一个普遍适用的公式。 分项误差分项误差合成合成分配分配总合误差总合误差2.5.1 2.5.1 测量误差的合成测量误差的合成 1 1 误差传递公式误差传递公式 设设 若在若在 附近各阶偏导数存在，则可把附近各阶偏导数存在，则可把y y展为展为泰勒级数泰勒级数 ( (“0 0”点，表示真值、起始点点，表示真值、起始点) )若用若用 分别表示分别表示x x1 1及及x x2 2分项的误差，由于分项的误差，由于 的中高阶小量可以略去，则总合的误差为的中高阶小量可以略去，则总合的误差为 ，则泰勒级数，则泰勒级数同理，当总合同理，当总合y y由由m m个分项合成时，可得个分项合成时，可得即即 绝对误差的传递公式绝对误差的传递公式 （2.432.43） 这是绝对误差的传递公式。这是绝对误差的传递公式。 例例方案方案1 1方案方案2 2 方案方案3 3解：解：方案方案1 1：用公式：用公式P PI IU U由式（由式（2.452.45）可得）可得 (CU)(CU)=CU=CU则算得功率的相对误差为则算得功率的相对误差为P P= =IUIU=U=U2 2/R/R=I=I2 2R R方案方案2 2：用公式：用公式 P P= =U U2 2R R 由式（由式（2.452.45）可得）可得 则则 求导求导（ 1/x1/x ）=-=-1/x1/x2 2方案方案3 3：用公式：用公式 P PI I2 2R R 由式（由式（2.452.45）可得）可得 则则 式（式（2.452.45）是求绝对误差的公式，在已知各分项误差的相对误）是求绝对误差的公式，在已知各分项误差的相对误差，求总的相对误差是不方便的。实际上只要对式（差，求总的相对误差是不方便的。实际上只要对式（2.452.45）稍）稍加变换就可以得到求相对误差的公式将式（加变换就可以得到求相对误差的公式将式（2.452.45）两端同除）两端同除以以y y。，同时考虑。，同时考虑y y为为x x1 1= =x x1010，x x2 2= =x x2020时的函数值时的函数值f f则则 由数学中用对数求导数的方法由数学中用对数求导数的方法 用对数求导数用对数求导数 则可求出相对误差则可求出相对误差 相对误差传递公式相对误差传递公式 (2.44(2.44） 方案方案2 2： 用用相对误差传递公式相对误差传递公式 lnP=2lnU-lnRlnP=2lnU-lnR若若 的函数关系为和、差关系时，的函数关系为和、差关系时，常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方关系时，常先求总合的相对误差比较方便。关系时，常先求总合的相对误差比较方便。 y=xy=x1 1+x+x2 2-x-x3 3用哪种方法求相对误差方便？用哪种方法求相对误差方便？2 2 系统误差的合成系统误差的合成： 由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由式（由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由式（2.432.43） 一般说来各分项误差一般说来各分项误差x x由系统误差由系统误差及随机误差及随机误差构成，即构成，即 （2.452.45） 若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差y y可由各分项系统误差合成可由各分项系统误差合成 （2.462.46） 若若1 1，2 2，m m为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的系统误差。为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的系统误差。对于各分项系统误差不能确定的情况，我们将在后面讨论。对于各分项系统误差不能确定的情况，我们将在后面讨论。 3.3.随机误差的合成随机误差的合成 式（式（2.472.47）已给出）已给出若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差为若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差为 上式随机误差的上式随机误差的影响影响，不能用，不能用一个个随机误差一个个随机误差来计算，应用来计算，应用方方差差或或 标准差表征：标准差表征：比较式（比较式（2.462.46）及式（）及式（2.472.47）可）可重要结论：重要结论： （2.472.47）确定性误差是按代数形式总合：确定性误差是按代数形式总合：随机误差是按几何形式随机误差是按几何形式总合总合：2.5.2 2.5.2 测量误差的分配测量误差的分配分项误差分项误差 总合误差总合误差 合成合成 分配分配 这种制定误差分配方案的工作是经常会遇到的，下面介绍一些常见的误这种制定误差分配方案的工作是经常会遇到的，下面介绍一些常见的误差分配原则。差分配原则。 1.1.等准确度分配等准确度分配设设 =0 =0 1 1= =2 2副边总电压副边总电压U=880V U=880V 则，测量允许的最大总误差为则，测量允许的最大总误差为 = = U U （2 2）= =17. 6 V 17. 6 V 3 31 12 250H50HZ Z220V220VU U4 45 5图图2.19 2.19 误差的分配（误差的分配（教材教材p47p47）U U1 1U U2 2440v440v440v440v880v880v例例：用量程为：用量程为500V500V交流电压表测副交流电压表测副边总电压，要求相对误差小于边总电压，要求相对误差小于2%2%，问，问应选几级电压表应选几级电压表？用引用相对误差为用引用相对误差为 的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为U Um m，则可能产生的最大绝对误差为则可能产生的最大绝对误差为 ，这个数值应不大于每个，这个数值应不大于每个副圈分配到的测量误差副圈分配到的测量误差U Ui i，即要求，即要求可见选用可见选用1.51.5级（级（1.5%1.5%）的电压表能满足测量要求。的电压表能满足测量要求。 可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压值基本相同，可根据式（值基本相同，可根据式（2.512.51）等准确度分配原则分配误差等准确度分配原则分配误差，则，则2. 2. 等作用分配等作用分配等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即 由式（由式（2.482.48）及式（）及式（2.492.49）可求出应分配各分项的误差为）可求出应分配各分项的误差为（2.522.52） （2.532.53） 例例2.20 2.20 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出电流为电流为100mA100mA，电压为，电压为3V3V，算出功率为，算出功率为300mW300mW。若要求功率测量的系。若要求功率测量的系统误差不大于统误差不大于5%5%，随机误差的标准偏差不大于，随机误差的标准偏差不大于5mW5mW，问电压和电流的，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。 P = U I P = U I300mw 3v 100mA 300mw 3v 100mA 5%5% ？(75mV(75mV） ？（？（2.5mA2.5mA） 教材教材p48p485mW 5mW ？35mV35mV） ？（？（1.2mA1.2mA）在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达到给定要求的困难程度适当进行到给定要求的困难程度适当进行调节调节，在满足总误差要求的前提下，对，在满足总误差要求的前提下，对不不容易达到要求的分项适当放宽容易达到要求的分项适当放宽分配的误差，而对容易达到要求的分项，则分配的误差，而对容易达到要求的分项，则可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。 3. 3. 抓住主要误差项进行分配抓住主要误差项进行分配 当各分项误差中第当各分项误差中第k k项误差特别大时，按照微小误差准则，若其他项对总合项误差特别大时，按照微小误差准则，若其他项对总合的影响可以忽略，这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题，只要保证的影响可以忽略，这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题，只要保证主要项的误差小于总合的误差即可，即当主要项的误差小于总合的误差即可，即当 时，就可以只考虑主要项的影响，即时，就可以只考虑主要项的影响，即（2.532.53） （2.542.54）主要误差项也可以是若干项，这时可把误差在这几个主要误差主要误差项也可以是若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，对影响较小的次要误差项则可不予考虑或酌情分给项中分配，对影响较小的次要误差项则可不予考虑或酌情分给少量误差比例。少量误差比例。2.5.3 2.5.3 最佳测量方案的选择最佳测量方案的选择 对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到 （2.542.54） （2.552.55） 当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差 是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件，是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件，了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合成误差最小者作为现有条件下的成误差最小者作为现有条件下的“最佳最佳”方案。方案。常用选择方法有：常用选择方法有：1.1.函数形式的选择函数形式的选择 当有多种间接测量方案时，各方案的函数表示式不同，应选其中总合误差当有多种间接测量方案时，各方案的函数表示式不同，应选其中总合误差 最小的函数形式。最小的函数形式。前述电阻功率例中，当前述电阻功率例中，当 ， 问采用哪种测量方案较好？问采用哪种测量方案较好？ 方案方案1 1：P P= =UIUI 方案方案2 2 P P= = U U2 2R R 方案方案3 3：P P= =I I2 2R R 可见，在题中给定的各分项误差条件下，应选择第一方案可见，在题中给定的各分项误差条件下，应选择第一方案P PUIUI. . 2. 2.测量点的选择测量点的选择 在前面引用（满度）相对误差中曾指出，用指针式三用表电压、电流档测量在前面引用（满度）相对误差中曾指出，用指针式三用表电压、电流档测量时，应正确选择量程，使测值靠近满度，即测量点要选在满量程附近，测量时，应正确选择量程，使测值靠近满度，即测量点要选在满量程附近，测量结果的相对误差小。对电阻档测量点应选择何处呢？现介绍一般性方法。结果的相对误差小。对电阻档测量点应选择何处呢？现介绍一般性方法。 E ER Rx x图图2.19 2.19 电阻测量原理电阻测量原理R Ri i则则 由误差合成公式（由误差合成公式（2.452.45），可求得绝对误差为），可求得绝对误差为 则相对误差表达式为则相对误差表达式为 令令 求极小值求极小值 可求得可求得 结论：指针处于中央位置时，测量电阻的相对误差最小。结论：指针处于中央位置时，测量电阻的相对误差最小。 电阻量程电阻量程 以上介绍的测量误差理论虽然很全面很系统，但却存在两个严重的困惑问题：逻辑概念上错位 误差评定方法不统一例如：随机误差通是用实验标准差s、2s、3s表示？ 系统误差还没有一套通用有效的方法。 已知被测系统的随机误差和系统误差如何求总误差时： 有的是分别给出；有的算术相加；有的平方相加。x x= =x xA A0 0（2.12.1）以一个已知量求解两个未知量是不成立的方程式，逻辑前提条件不成立。例如，测量地球到月亮距离的误差是多少？ 算误差时，要为获得约定真值去找高档级仪表2.62.6 测量不确定度测量不确定度 2.6.1 2.6.1 测量不确定度的概念测量不确定度的概念 由于由于真值难以确定真值难以确定，测量结果总是带有不确定性，测量结果总是带有不确定性。 在国外，推出了以在国外，推出了以“不确定度不确定度”作为测量误差的数字指标，作为测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的度对被测量不能肯定的度，是测量，是测量理论中很重要的一个新概念。理论中很重要的一个新概念。 1993 1993年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、国年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、国际法制计量组织等际法制计量组织等7 7个国际组织联合制定发布了个国际组织联合制定发布了Guide to Guide to the Expression of Uncertainty in Measurementthe Expression of Uncertainty in Measurement（GUMGUM，测量不确定度表示指南）。测量不确定度表示指南）。 我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨，于我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨，于19991999年发布了适合我国国情的年发布了适合我国国情的测量不确定度评定与表示测量不确定度评定与表示计量技计量技术规范（术规范（JJF1059JJF105919991999）这个规范原则上等同采用了）这个规范原则上等同采用了GUMGUM的基的基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律依本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。 1.1.不确定度的定义和分类不确定度的定义和分类 在在测量不确定度评定与表示测量不确定度评定与表示（JJF1059-1999JJF1059-1999）中，不确）中，不确定度（定度（uncertaintyuncertainty）的定义为）的定义为 ：“表征合理地赋予被测量之表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。值的分散性，与测量结果相联系的参数。 ”。 这种测量不确定度的定义表明：这种测量不确定度的定义表明： Y Y= = y yU U 其中，其中，y y是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值： U U是测量不确定度，在是测量不确定度，在UGMUGM中规定，这个参数可以是标准偏差中规定，这个参数可以是标准偏差s s或或是是s s的倍数的倍数ksks；也可以是具有某置信概率；也可以是具有某置信概率P P（例如（例如P P= 95= 95或或P P= 99= 99）下置信区间的半宽。下置信区间的半宽。 表征合理地赋予被测量之值的分散性，其置信区间是：表征合理地赋予被测量之值的分散性，其置信区间是： 。见下图：见下图：是与测量结果相关的参数：是与测量结果相关的参数： 定义要点定义要点：其其置信区间置信区间是：是： 。它与。它与真值没有直接关系真值没有直接关系，但它，但它将真值包含在区间之中了。注意：不确定度将真值包含在区间之中了。注意：不确定度U U恒为正值。恒为正值。前面加前面加号只是标明区间的取向，经常用数学符号号只是标明区间的取向，经常用数学符号+ +，或者或者号与号与U U相联结相联结。 不确定度不确定度 标准不确定度标准不确定度 扩展扩展( (展伸展伸) )不确定度（扩大不确定度（扩大u uC C的置信区间，提高置信概率）的置信区间，提高置信概率） A A类标准不确定度类标准不确定度u uA A（由多次测值求标准差获得由多次测值求标准差获得） B B类标准不确定度类标准不确定度u uB B（查已有信息求得）（查已有信息求得） 合成标准不确定度合成标准不确定度u uC C（A A、B B类的合成类的合成；多个不确定度合成；多个不确定度合成 ） 不确定度分类：不确定度分类：应当指出，在不确定度的合成中，有时为简化运算也引用相对不确定度相对不确定度的形式（类似相对误差的概念）。2. 2. 测量不确定度的来源测量不确定度的来源 测量不确定度来源于以下因素：测量不确定度来源于以下因素： 1 1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能 代表所定义的被测量。代表所定义的被测量。 2 2）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。 3 3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。 4 4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常 数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。 5 5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。 3.3.测量不确定度与误差的关系测量不确定度与误差的关系误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。 对比项目对比项目误误 差差不确定度不确定度含义含义反映测量结果偏离真值的程度反映测量结果偏离真值的程度反映测量结果的分散程度反映测量结果的分散程度符号符号非正即负非正即负恒为正值恒为正值分类分类随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差A A类评定和类评定和B B类评定类评定表示符号表示符号符号较多、且无法规定符号较多、且无法规定规定用规定用u u、u uc c、U U、UpUp表示表示合成方式合成方式代数和或均方根代数和或均方根均方根均方根主客观性主客观性客观存在，不以人的认识程度改客观存在，不以人的认识程度改变变与人们对被测量及测量过程的认识有关与人们对被测量及测量过程的认识有关与真值的关系与真值的关系有关有关无关无关表表2.9 2.9 误差与不确定度的区别误差与不确定度的区别 2.6.2 2.6.2 标准不确定度的评定标准不确定度的评定 用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u u表示表示。测量不确定度。测量不确定度所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用u ui i 表示，其表示，其评定方法如下：评定方法如下： 1. A1. A类标准不确定度的评定类标准不确定度的评定 A A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u u的求法等同于由系列观测的求法等同于由系列观测值获得的标准差，即值获得的标准差，即A A类标准不确定度就等于标准差，即类标准不确定度就等于标准差，即 标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：1 1）对被测量）对被测量X X进行进行n n次测量，得测值次测量，得测值x x1 1，x x2 2，x xn n ； 2 2）求算术平均值）求算术平均值 和剩余误差和剩余误差 3 3）用贝塞尔公式求标准差的估值）用贝塞尔公式求标准差的估值: : （2.562.56） 4 4）求算术平均值标准差的估值）求算术平均值标准差的估值: : （2.572.57） 5 5）则）则A A类标准不确定度为类标准不确定度为: : （2.582.58） 这里需要说明的是，观测次数这里需要说明的是，观测次数n n应充分多，才能使应充分多，才能使A A类不确定度的评定可靠，类不确定度的评定可靠，一般认为一般认为n n应大于应大于5 5。但也要视实际情况而定，当。但也要视实际情况而定，当A A类不确定度分量对合成类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时，标准不确定度的贡献较大时，n n不宜太小；反之，不宜太小；反之，n n小些关系也不大。小些关系也不大。 除了这种用标准美计算的除了这种用标准美计算的A A类不确定度之外，其他都属于类不确定度之外，其他都属于B B类不确类不确定度。定度。2.B2.B类标准不确定度的评定类标准不确定度的评定 B B类评定不用统计分析法，而是要从类评定不用统计分析法，而是要从 资料查出资料查出厂商手册厂商手册有关数据有关数据获得信息获得信息然后求出其然后求出其分布的估计分布的估计（概率分布假设）和（概率分布假设）和置信区间置信区间（要有一定的经验及（要有一定的经验及对一般知识有透彻的了解。）对一般知识有透彻的了解。） 即即B B类标准不确定度：类标准不确定度： 包含包含因因子子区间半宽区间半宽 （2.612.61）包含包含因子因子k k（或称覆盖因子、（或称覆盖因子、置信置信因子因子），可查表），可查表2.102.10。 k k 一般在一般在2323范围内范围内 当估计值当估计值x x取自有关资料，所给出的测量不确定度取自有关资料，所给出的测量不确定度U Ux x为标准差的为标准差的k k倍倍时，其标准不确定度为时，其标准不确定度为：u uB B=U=Ux x/ /k k （见教材（见教材p54 p54 例例2.102.10）当知区间半宽当知区间半宽a a 后，要换算为标准差形式后，要换算为标准差形式，3 3表表2.10 2.10 常用分布与常用分布与 k k，u u（x xi i）的关系）的关系 a a/ 6/ 66 6100100三角三角a a/ 3/ 3100100均匀（矩形）均匀（矩形）a a/ / 2.09 9595t t（n=21 ）a a/1.96/1.969595正态正态a/2a/22 295.4595.45正态正态a a/3/33 399.7399.73正态正态u u（x xi i）k kp p（% %）分布类型分布类型2.09 1.961.96例例2.23 2.23 由手册查得纯铜在温度由手册查得纯铜在温度2020时的线膨胀系数时的线膨胀系数a a为为16.52 16.52 /， 并已知该系数并已知该系数a a的误差范围为的误差范围为 ，求线膨胀系数，求线膨胀系数a a的标准不确定度。的标准不确定度。 解：根据手册提供的信息可认为解：根据手册提供的信息可认为a a 的值以等概率位于区间的值以等概率位于区间 至至 内，且不可能位于此区间之外，故假设内，且不可能位于此区间之外，故假设a a 服从均匀分布。已知其区间半宽服从均匀分布。已知其区间半宽 ，则纯铜在温度，则纯铜在温度为为2020的线膨胀系数的线膨胀系数a a的标准不确定度为的标准不确定度为 / / 16.9216.9216.4016.4016.5216.52 最大允许误差即仪器的最大绝对误差 ，即该仪器的置信区间。其“模”即绝对值， 也就是置信区间的半宽a ，因此例2.24 数字电压表厂家说明书上给出：仪器校准后12年内，在1V内示值最大允许误差的模为 （这里Ux为读数，Um为量程范围）。设校准后20个月在1V内测量电压，问当测量读数Ux=0.928571V时，其示值误差导致的标准不确定度为多少？解解：因数字电压表示值误差导致的标准不确定度是由厂家产品质量决定的，不是通过多次测量由标准差求得的，故属B类标准不确定度。由于最大允许误差在1V量程内对测量值都有影响，即其在1V范围内出现的概率相同，故应属于均匀分布。因此，这里a 即为均匀分布的半宽，按表2.10查得 。则该数字电压表示值的B类标准不确定度为： 自由度的理解自由度的理解：如仅有一个测量值，则该测量结果就是被测量的最佳估计值，别无选择，如仅有一个测量值，则该测量结果就是被测量的最佳估计值，别无选择，这相当于自由度为零，这相当于自由度为零，式（式（2.562.56）计算的标准差）计算的标准差s s为无穷大，这是不允许的。为无穷大，这是不允许的。 若有两个或两个以上的测量值，则有了选择最佳估计值的若有两个或两个以上的测量值，则有了选择最佳估计值的“自由自由”。 随着测量次数的增多，自由度也随之增加。随着测量次数的增多，自由度也随之增加。自由度愈大，标准差愈可自由度愈大，标准差愈可信赖信赖，标准不确定度愈可靠标准不确定度愈可靠。因此自由度。因此自由度 是表达测量可靠程度的量，是表达测量可靠程度的量，测量次数测量次数n n多，可靠性好，则自由度大。多，可靠性好，则自由度大。3. 3. 自由度自由度 1)1)自由度概念自由度概念剩余误差：剩余误差：v v自由度：自由度：注意符号区分注意符号区分读音为读音为“玉普西隆玉普西隆”。不是英文小写字母。不是英文小写字母v v 和的项数和的项数 n n和的限制数是和的限制数是 1 1 在在测量不确定度评定与表示测量不确定度评定与表示（JJF1059-1999JJF1059-1999）技术规范中给出）技术规范中给出自由度的自由度的定义定义为为：“在方差计算中，和的项数减去对和的限在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。制数。”在规范中自由度用希腊字母在规范中自由度用希腊字母 （读音为（读音为“nunu”纽纽）表示表示。2)2)自由度的自由度的评评定定 (1)A(1)A类标准不确定度的自由度类标准不确定度的自由度 对对A A类评定的标准不确定度，其自由度类评定的标准不确定度，其自由度 即为标准差即为标准差 的自由的自由度。由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可度。由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可由相应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，由相应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，其自由度其自由度= = n n1 1。 (2)B(2)B类标准不确定度的自由度类标准不确定度的自由度 由于由于B B类标准不确定度的自由度不是由实验测量计算得到的，也就类标准不确定度的自由度不是由实验测量计算得到的，也就不存在测量次数的问题，因此原则上也就不存在自由度的概念。不存在测量次数的问题，因此原则上也就不存在自由度的概念。 应当指出，自由度的计算除了在求标准差中用到外，主要用在求扩应当指出，自由度的计算除了在求标准差中用到外，主要用在求扩展不确定度查包含因子展不确定度查包含因子k k表时要用到。表时要用到。2.6.3 2.6.3 测量不确定度的合成测量不确定度的合成 当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度u uc c表示。表示。 概念概念：类似误差的类似误差的合成合成例例1 1：电压测量：电压测量直接测量量不确定度的合成直接测量量不确定度的合成例例2 2：功率测量：功率测量间接测量量不确定度的合成间接测量量不确定度的合成下标下标c c是英文是英文combinecombine的第一个的第一个字母，表示合成之意字母，表示合成之意。 u uc c（U U）u uA Au uB B A A类不确定度类不确定度B B类不确定度类不确定度u uCVCVu uA Au uB Bu uCICIu uA Au uB Bu uC C（P P）电压的电压的A A、B B类不确定类不确定度度电流的电流的A A、B B类不确定类不确定度度1) 1) 直接测量量不确定度的合成直接测量量不确定度的合成 设某被测量设某被测量x x有有i i个个A A类标准不确定度类标准不确定度 ，有，有j j个个B B类类标准不确定度标准不确定度 , ,由于通常这些不确定度分量由于通常这些不确定度分量彼此是彼此是相互独立相互独立的，故该被测量的合成标准不确定度的，故该被测量的合成标准不确定度例2.25 电压测量：电压测量：求得求得数学模型数学模型（或称函数关系）是是：2)2)间接测量量不确定度的合成间接测量量不确定度的合成（不确定度传播律）（不确定度传播律）y=(x1，x2，xn)数学模型（或称函数关系） 类同于2.5.1节讨论的误差合成的问题 例例2.262.26 设某测量的数学模型为设某测量的数学模型为 ，设，设 相互相互独立，其独立，其 已知，试求合成不确定度已知，试求合成不确定度 。式中偏导数 称为灵敏系数，可以简化用符号 表示。 用相对不确定度方法用相对不确定度方法：规律：规律：总的相对不确定度等于各项不确定度乘其方次总的相对不确定度等于各项不确定度乘其方次后后之之平方平方和。和。灵敏系数 当遇到含积、商式及乘方、开方的数学模式可以仿照式（当遇到含积、商式及乘方、开方的数学模式可以仿照式（2.642.64）写出）写出相对合成标准不确定度相对合成标准不确定度的表达式。也可以仿照式（的表达式。也可以仿照式（2.442.44）采用数学中由）采用数学中由对数求导数对数求导数的方法来求相对合成标准不确定度，如式（的方法来求相对合成标准不确定度，如式（2.652.65）。）。 以上讨论是基于以上讨论是基于y=y=( (x x1 1，x x2 2，x xn n) )的泰勒级数的一阶近似的泰勒级数的一阶近似（忽略了高阶微小变化量）条件下求得的，（忽略了高阶微小变化量）条件下求得的，且各分量互不相关且各分量互不相关，大，大多情况下上述简化条件是符合工程应用的。当不满足上述条件时，多情况下上述简化条件是符合工程应用的。当不满足上述条件时，有明显非线性时，在式（有明显非线性时，在式（2.632.63）后还要加上高阶项：）后还要加上高阶项：（2.652.65）例例2.6.4 2.6.4 扩展（展伸）不确定度扩展（展伸）不确定度 合成合成标准标准不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅对应于对应于一个一个标准标准差差，由其所表示的测量结果，由其所表示的测量结果 y yu uc c含被测量含被测量Y Y的真值的概率仅为的真值的概率仅为 6868。（太（太严了）严了） 扩展不确定度由合成标准不确定度扩展不确定度由合成标准不确定度u uC C乘以乘以包含包含因子因子k k 得到，记为得到，记为U U，即，即 U U= =kukuC C通常规定，除计量学基础研究、基本物理常数测量以及复现国际单位的国际比对可以仅给出合成标准不确定度外，其余绝大部分测量均要求给出测量结果的扩展不确定度。包含因子包含因子k k是自由度和置信概率的函数，是自由度和置信概率的函数，即即 。 通常，置信概率取 P=95% 应是合成标准不确定度uc的自由度 实际上往往难以确定 i ，一般情况下可取包含因子一般情况下可取包含因子k k=2=2。 当各不确定度分量的自由度i 均为已知时，可按下式计算取 k=2 的合理性 自由度自由度值在很大范围变化时，值在很大范围变化时，k的变化不大的变化不大 研究附录研究附录B B的的t t分布表可以发现分布表可以发现 P428P428表表B-1B-1 = =1010时，查得时，查得k k=2.23=2.23； =20=20时，时， k k=2.09=2.09； =120=120时，时， k k=1.980=1.980；=时，时，k k=1.960=1.960。可见自由度值在很大范围变化。可见自由度值在很大范围变化时，时，k k的变化不大，或者说收敛得很快。因此，实际应用中的变化不大，或者说收敛得很快。因此，实际应用中没有必要费很多时间去计算有效自由度没有必要费很多时间去计算有效自由度 ，而是直接取，而是直接取p=95%p=95%，包含因子，包含因子 k=2（2.672.67）称为有效自由度 在在2 2左左右右变变化化不不大大Y Y= =y yU U 结论结论：通常都是用扩展不确定度作为测量结果的不确：通常都是用扩展不确定度作为测量结果的不确 定度，则测量结果表示为：定度，则测量结果表示为：U U= = k ku uc c =2 =2u uc c （2.692.69）U U = =k ku uc c =2=2u uc c A A类不确定度类不确定度 B B类不确定度类不确定度 u uC Cu uA Au uC1C1u uB BX X1 1的的A A、B B类不确定度类不确定度u uC2C2u uA Au uB BX X2 2的的A A、B B类不确定度类不确定度归纳归纳2.6.6 2.6.6 测量不确定度应用实例测量不确定度应用实例1. 1. 测量不确定度计算步骤测量不确定度计算步骤 综上所述，评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为综上所述，评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为 (1)(1)测量不确定度计算步骤建立数学模型测量不确定度计算步骤建立数学模型； (2) (2)求每个直接测量量的合成不确定度求每个直接测量量的合成不确定度 (3) (3)求总的合成不确定度求总的合成不确定度(4)(4)求扩展不确定求扩展不确定(5)(5)不确定度报告不确定度报告根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法的应用。的应用。2.2.电压测量的不确定度计算电压测量的不确定度计算 1)1)测量方法测量方法 用标准数字电压表在标准条件下，对被测直流电压源用标准数字电压表在标准条件下，对被测直流电压源10V10V点的输出电压值点的输出电压值进行独立测量进行独立测量1010次，测得值如下：次，测得值如下： （说明：本例中以（说明：本例中以U UD D表示电压值，表示电压值，u u和和U U表示不确定度）表示不确定度） n n测量结果测量结果n n测量结果测量结果1 110.00010710.0001076 610.00010810.0001082 210.00010310.0001037 710.00012110.0001213 310.00009710.0000978 810.00010110.0001014 410.00011110.0001119 910.00011010.0001105 510.00009110.000091101010.00009410.000094计算计算1010次测量的平均值得次测量的平均值得 = 10.000104V= 10.000104V，并取平均值作为测量结果，并取平均值作为测量结果的估计值。的估计值。2)2)不确定度评定不确定度评定 分析测量方法，可知在标准条件下测量，由温度等环境因素带来的影响可分析测量方法，可知在标准条件下测量，由温度等环境因素带来的影响可忽略。因此对电压测量不确定度影响的因素主要有：忽略。因此对电压测量不确定度影响的因素主要有：标准电压表的示值稳标准电压表的示值稳定度引起的不确定度定度引起的不确定度u ul l；标准电压表的示值误差引起的不确定度标准电压表的示值误差引起的不确定度u u2 2；电压电压测量重复性引起的不确定度测量重复性引起的不确定度u u3 3。分析这些不确定度特点可知，不确定度。分析这些不确定度特点可知，不确定度u u1 1、u u2 2应采用应采用B B类评定方法，而不确定度类评定方法，而不确定度u u3 3应采用应采用A A类评定方法。下面分别计类评定方法。下面分别计算各主要因素引起的不确定度分量：算各主要因素引起的不确定度分量： (1)(1)标准电压表的示值稳定度引起的标准不确定度分量标准电压表的示值稳定度引起的标准不确定度分量u ul l 在电压测量前对标准在电压测量前对标准电压表进行电压表进行24h24h的校准，并知在的校准，并知在10V10V点测量时，其点测量时，其 24h24h的示值稳定度不超过的示值稳定度不超过1515V V，取均匀分布，按表，取均匀分布，按表2.102.10得标准电压表示值稳定度引起的不确定度得标准电压表示值稳定度引起的不确定度分量为分量为 因给出的示值稳定度的数据很可靠，故取因给出的示值稳定度的数据很可靠，故取 ，其自由度，其自由度 。 (2)(2)标准电压表的示值误差引起的标准不确定度分量标准电压表的示值误差引起的标准不确定度分量u u2 2标准电压表的标准电压表的检定证检定证书给出书给出，其示值误差按，其示值误差按 3 3倍标准差计算为倍标准差计算为 3 35 5 10 106 6 U U（标准电压（标准电压表示值），故表示值），故 10V10V的测量值，由标准表的示值误差引起的标准不确定度分的测量值，由标准表的示值误差引起的标准不确定度分量为量为 因因k k=3=3，可认为其置信概率较高，可认为其置信概率较高，u u2 2的评定非常可靠，故取自由度的评定非常可靠，故取自由度 (3)(3)电压测量重复性引起的标准不确定度分量电压测量重复性引起的标准不确定度分量u u3 3由由1010次测量的数据，用次测量的数据，用 贝塞尔法计算单次测量标准差贝塞尔法计算单次测量标准差s s( (U UD D)=9V)=9V，平均值的标准差，平均值的标准差 VV则电压重复性引起的标准不确定度为则电压重复性引起的标准不确定度为其自由度其自由度 3)3)不确定度合成不确定度合成 因不确定度分量因不确定度分量u u1 1、u u2 2、u u3 3相互独立，则相互独立，则ijij=0=0，按式（，按式（2.672.67）得电压）得电压测量的合成标准不确定度为测量的合成标准不确定度为 按式（按式（2.722.72）计算其自由度得）计算其自由度得 4) 4) 扩展不确定度扩展不确定度 取置信概率取置信概率P P =95=95，由自由度，由自由度v=7412v=7412查查t t分布表得分布表得t t0.950.95(7412)=1.96(7412)=1.96，即置信因子即置信因子k k 1.961.96。于是，电压测量的扩展不确定度为。于是，电压测量的扩展不确定度为5) 5) 不确定度报告不确定度报告 (1)(1)用合成标准不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为用合成标准不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为 u uC C0.000015V0.000015V，v v74127412。 (2)(2)用扩展不确定度评定电压的不确定，则测量结果为用扩展不确定度评定电压的不确定，则测量结果为U UD D= =（10.00010410.0001040.0000300.000030）V V， P P = 0.95= 0.95，v=7412v=7412。 其中其中符号后的数值是扩展不确定度符号后的数值是扩展不确定度U U = =k uk uC C0.000030V0.000030V，是由合成，是由合成标准不确定度标准不确定度u uC C0.000015V0.000015V及置信因子及置信因子k k =1.96=1.96确定的。确定的。若取若取 K K=2=2，运算则更简单，运算则更简单 采用测量不确定度的意义 1)只要根据实际条件进行测量只要根据实际条件进行测量，得出现有条件下的测量不确定度，具有可操作性。不必求取真值（约定真值），不用找高一档次的仪器测得结果当作约定真值，再来计算误差。2)体现各自的测量水平体现各自的测量水平。例如，通常学校学生实验室用三位半数字电压表测量直流电压，只能做到毫伏量级的不确定度；在学校研究室里有六位半数字电压表，就可做到微伏量级的不确定度。当有八位半数字电压表，还可做到纳伏量级的不确定度。3)通过对具体项目测量不确定度的分析与评定，能明确从什么地方采取措施可以减小不确定度，从而有利于提高该项目的质量。4)对测量者不会提不合理的要求。不能要求一般检测实验室的测量不确定度达到计量校准实验室测量不确定度的水平。5)使测量结果有了国际统一的评定与表示方法，具有可比性，既符合国家标准又与国际接规。2.72.7 测量数据处理测量数据处理通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知识和表示方法。识和表示方法。 处理方式处理方式 表达式（有效数字、测量值、不确定度）表达式（有效数字、测量值、不确定度） 曲线图形曲线图形 经验公式经验公式 2.7.1 2.7.1 有效数字的处理有效数字的处理1 1 有效数字有效数字 定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位误差的那位存疑数存疑数为止的所有各位数字。为止的所有各位数字。 例例1 1 用用10v10v指针式电压表测得指针式电压表测得 U= 5. 6 U= 5. 6 4 4 V V 三位有效数字三位有效数字 例例2 2 0.0038K=3. 0.0038K=3.8 8 两位有效数字两位有效数字6 6 5 5例例3 3 0.026m 0.026m 两位有效数字两位有效数字 0.0260m 0.0260m 三位有效数字三位有效数字最末位有效数字常称最末位有效数字常称存疑数存疑数，它主要由仪表所能达到的精度决定。例如用，它主要由仪表所能达到的精度决定。例如用10V10V量程指针式电压表测得电压量程指针式电压表测得电压5.64V5.64V，这是三位有效数字组成的数据，这是三位有效数字组成的数据，这三位数中前二位是可从刻度上准确读出的，而最后一位是估读的，是含这三位数中前二位是可从刻度上准确读出的，而最后一位是估读的，是含有误差的近似数，常称为存疑数。有误差的近似数，常称为存疑数。 存疑数还有一种含义，它可能发生末位的半个单位存疑数还有一种含义，它可能发生末位的半个单位( (0.50.5个单位个单位) )变化。变化。例如，例如， 5.645.640.005 0.005 5.645 5.645 5.635 5.635 有效数字与准确度的关系有效数字与准确度的关系 数据数据 误差误差 准确到准确到 18.4 k 18.4 k 0.1 k 100 0.1 k 100 18.40 k 18.40 k 0.01 k 10 0.01 k 10 18.400 k 18.400 k 0.001 k 1 0.001 k 1 有效数字的位数应取得与不确定度相一致有效数字的位数应取得与不确定度相一致当电压表不确定度为：当电压表不确定度为：0.01v 0.01v 数据应写为数据应写为 a 2.186va 2.186vb 2.18v b 2.18v c 2.1v c 2.1v 哪个对？哪个对？ 有误差的单位量级应与测量数据相配合有误差的单位量级应与测量数据相配合 a 7900 kHz a 7900 kHz当频率误差为：当频率误差为：1kHz 1kHz 应写为应写为 b 7.900 MHz b 7.900 MHz 哪个对？哪个对？ c 7900 000 Hzc 7900 000 Hz d 7.9 MHzd 7.9 MHz2 2 数字的舍入（修约）规则数字的舍入（修约）规则对五入可能带来误差对五入可能带来误差 未使尾数为偶数，不便于除尽未使尾数为偶数，不便于除尽 经典的经典的“四舍五入四舍五入”的缺点：的缺点： 测量中用：测量中用：四舍六入五凑偶法则四舍六入五凑偶法则规则规则 小于小于5 5舍舍 大于大于5 5入入 等于等于5 5取偶取偶 5 5后有数，舍后有数，舍5 5入入1 1 5 5后无数或为零时后无数或为零时5 5前是奇数，舍前是奇数，舍5 5入入1 1 5 5前是偶数，舍前是偶数，舍5 5不进不进 17.99 17.995 518.0018.00 14.98 14.985 5014.98014.983.6243.6245 563.625 63.625 三例都取三例都取4 4位有效数字位有效数字3. 3. 近似运算规则近似运算规则 在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。 1)1)在近似数在近似数加减运算加减运算时，各运算数据时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准以小数位数最少的数据位数为准， 其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据 小数位相同。小数位相同。 例例2.24 2.24 求求2643.02643.0 987.7987.7十十4.1874.187 0.2354= 0.2354= ？2643.02643.0 987.7987.7 4.194.19 0.24 0.24 3635.133635.1 3635.133635.1 2)2)在近似数在近似数乘除运算乘除运算时，各运算数据时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准以有效位数最少的数据位数为准， 其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果 应与有效位数最少的数据位数相同。应与有效位数最少的数据位数相同。