专题九选做大题9.1坐标系与参数方程 (选修44)345671.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.82.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的非负半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),则它们之间的关系为x=cos,y=sin.另一种关系为2=x2+y2,tan= (x0).3.直线的极坐标方程若直线过点M(0,0),且此直线与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点:=0和=+0;(2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:cos=a;(3)直线过,且平行于极轴:sin=b.9101112考向一考向二考向三考向四参数方程与极坐标方程间的互化参数方程与极坐标方程间的互化例1在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.13考向一考向二考向三考向四解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos,y=sin代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos2-8sincos+1-a2=0,由已知tan=2,可得16cos2-8sincos=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.14考向一考向二考向三考向四解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程.2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.15考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练1在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos,.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.16考向一考向二考向三考向四求两点间距离的最值求两点间距离的最值例2在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin,C3:= cos.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.17考向一考向二考向三考向四18考向一考向二考向三考向四解题心得1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.19考向一考向二考向三考向四(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.20考向一考向二考向三考向四21考向一考向二考向三考向四求三角形面积的最值求三角形面积的最值例3在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.22考向一考向二考向三考向四23考向一考向二考向三考向四解题心得对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.24考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练3在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2= 1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.25考向一考向二考向三考向四求动点轨迹的方程求动点轨迹的方程例4已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.26考向一考向二考向三考向四解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.27考向一考向二考向三考向四(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.28考向一考向二考向三考向四29考向一考向二考向三考向四30