第五章特殊四边形第第2323讲讲 正方形正方形知识梳理知识梳理1. 正方形的判定和性质:(1)有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形(定义)；(2)有一组邻边相等的_；(3)有一个角是直角的_；(4)对角线相等且互相垂直的_.除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有以下性质：(1)对角线与边的夹角为45；(2)S=a2(a表示边长)；(3)S= l2(l表示对角线).矩形菱形平行四边形2. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系：易错题汇总易错题汇总1. 如图1-23-1，正方形ABCD的边长为8，在各边顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是( )A. 30B. 34C. 36D. 40B2. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图1-23-2， ABCD的对角线相交于点O，过点O作EFBD,分别交AB，CD于点F，E，连接DF，BE. 请根据上述条件，写出一个正确结论. ”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：ACE=CAF. 这四位同学写出的结论不正确的是( )A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨B3. 一顶点重合的两个大小完全相同的边长为3的正方形ABCD和正方形ABCD，如图1-23-3，DAD=45，边BC与DC交于点O，则四边形ABOD的周长是( )A. 6B. 6C. 3D. 3+3B4. (2017黄冈)如图1-23-4，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED的度数是_. 45考点突破考点突破考点：正方形的性质和判定考点：正方形的性质和判定1. (2017广东)如图1-23-5，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：SABF=SADF； SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF，其中正确的是( )A. B. C. D. C2. (2016广东)如图1-23-6，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )A. B. C. +1D. +1B3. (2017邵阳)如图1-23-7，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，OBC=OCB. (1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形. (1)证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD. OBC=OCB，OB=OC. AC=BD. 平行四边形ABCD是矩形. (2)解：AB=AD(或ACBD，答案不唯一)理由：四边形ABCD是矩形，又AB=AD，四边形ABCD是正方形或四边形ABCD是矩形，又ACBD，四边形ABCD是正方形变式诊断变式诊断4. 如图1-23-8，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M.已知两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )A. -4+B. 4+C. 8-D. +1A5.（2018潍坊）如图1-23-9，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置，BC与CD相交于点M，则点M的坐标为 6.（2017怀化）如图1-23-10，四边形ABCD是正方形，EBC是等边三角形（1）求证：ABEDCE；（2）求AED的度数（1）证明：四边形ABCD是正方形， EBC是等边三角形，AB=BC=CD=BE=CE，ABC=BCD=90，EBC=ECB=60，ABE=ECD=30.在ABE和DCE中，AB=DC,ABE=DCE,BE=CE,ABEDCE（SAS）（2）解:BA=BE，ABE=30，BAE= （180-30）=75.BAD=90，EAD=90-75=15.同理可得ADE=15.AED=180-15-15=150基础训练基础训练7.（2018张家界）下列说法正确的是( )A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等B对角线相等的平行四边形是正方形C相等的角是对顶角D角平分线上的点到角两边的距离相等D8.（2017六盘水）如图1-23-11，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则AEB= 759. 如图1-23-12，MON=45，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；继续作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；点A1，A2，A3，A4,在射线ON上，点B1，B2，B3，B4,在射线OM上,依此类推，第6个正方形的面积S6等于_. 1 02410.（2018金华改编）如图1-23-13,在RtABC中，ACB=90，AC=12点D在直线CB上，四边形ACDE是正方形直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G（1）若点G为DE的中点，求FG的长;（2）若DG=GF，求BC的长解：（1）在正方形ACDE中，DG=GE=6，在RtAEG中，EGAC，ACFGEF.（2）在正方形ACDE中，AE=DE，AEF=DEF=45，且EF=EF，AEFDEF.EAF=EDF，设EAF=EDF=x.AEBC，B=EAF=x.GF=GD，GFD=EDF=x.在DBF中，GFD+FDB+B=180，x+（x+90）+x=180.解得x=30，B=30.在RtABC中，11.如图1-23-14,四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE= ，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30时，直接写出EFC的度数（1）证明：如答图1-23-1,作EPCD于点P，EQBC于点Q.DCA=BCA，EQ=EP.QEF+FEC=45，PED+FEC=45，QEF=PED.在RtEQF和RtEPD中，QEF=PED,EQ=EP,EQF=EPD,RtEQFRtEPD.EF=ED.矩形DEFG是正方形.（2）如答图1-23-2，在RtABC中,AC= AB= ，EC= ，AE=CE.点F与C重合，此时DCG是等腰直角三角形，易知CG= （3）当DE与AD的夹角为30时，EFC=120.当DE与DC的夹角为30时，EFC=30.综上所述，EFC=120或30