2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法（Root locus）主要要求：主要要求：根轨迹的概念根轨迹的概念根轨迹方程根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则广义根轨迹（参数根轨迹、零度根轨迹）广义根轨迹（参数根轨迹、零度根轨迹）用根轨迹法分析系统性能用根轨迹法分析系统性能2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A 系统的系统的根轨迹根轨迹是指当系统的某一参数或是指当系统的某一参数或某些参数发生变化时，闭环系统特征方某些参数发生变化时，闭环系统特征方程的根在程的根在S平面的变化轨迹。平面的变化轨迹。 1948 美国美国Walter R. Evans 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A他的两篇论文他的两篇论文Graphical Analysis of Control System, AIEE Trans. Part II,67(1948),pp.547-551Control System Synthesis by Root Locus Method, AIEE Trans. Part II,69(1950),pp.66-69基本上建立起根轨迹法的完整理论。基本上建立起根轨迹法的完整理论。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论AGraphical Analysis of Control System, AIEE Trans. Part II,67(1948),pp.547-551Control System Synthesis by Root Locus Method, AIEE Trans. Part II,69(1950),pp.66-692011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A根轨迹与系统性根轨迹与系统性能的关系能的关系p稳定性稳定性 p稳态性能稳态性能 p动态性能动态性能4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为如图所示系统闭环传递函数为2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A将前向通道传递函数将前向通道传递函数G（s）表示为表示为：2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A 为前向通道增益，为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益为前向通道根轨迹增益 式中式中 为反馈通道的根轨迹增益。为反馈通道的根轨迹增益。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A对于有对于有m个开环零点和个开环零点和n个开环极点的系统，必有个开环极点的系统，必有f+l=m和和q+h=n2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A闭环传递函数闭环传递函数2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A可得出以下结论可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益 有关。根轨迹法根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A闭环传递函数闭环传递函数闭环特征方程闭环特征方程根轨迹方程根轨迹方程 系统开环传递函数系统开环传递函数 2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A时间常数形式时间常数形式 零极点形式零极点形式 开环增益开环增益 开环根轨迹增益开环根轨迹增益 2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A根轨迹根轨迹方程方程q闭环特征方程闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 闭环极点就是闭环极点就是闭环闭环特征方程的解，也称为特征根。特征方程的解，也称为特征根。q 根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 式中式中G(s)H(s)是系统是系统开环开环开环开环传递函数。传递函数。 2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A设开环传递函数有设开环传递函数有m m个零点，个零点，n n个极点，并假定个极点，并假定nmnm，这时上式又可以写成：，这时上式又可以写成：不难看出，式子为关于不难看出，式子为关于s的复数方程，因的复数方程，因此，可把它分解成此，可把它分解成模值方程模值方程模值方程模值方程和和相角方程相角方程相角方程相角方程。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A相角方程模值方程180度根轨迹度根轨迹2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A注意注意 在实际应用中，用在实际应用中，用相角方程相角方程相角方程相角方程绘制根轨迹，绘制根轨迹， 而而模模模模 值方程值方程值方程值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点主要用来确定已知根轨迹上某一点的的 值。值。 模值方程模值方程模值方程模值方程不但与开环零、极点有关，还与开不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而环根轨迹增益有关；而相角方程相角方程相角方程相角方程只与开环零、只与开环零、极点有关。极点有关。 相角方程相角方程相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的是决定系统闭环根轨迹的充分必要充分必要充分必要充分必要条件条件条件条件。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A例例4-14-1它们应满足相角方程它们应满足相角方程已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试证明复平面上点试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。是该系统的闭环极点。 若系统若系统闭环闭环极点为极点为证明：证明： 该系统的该系统的开环开环极点极点2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A例41开环零、极点分布图2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A(k=0)以 为试验点，可得图44 以 为试验点，观察图44，可得2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A证毕可见， 都满足相角方程， 所以， 点是闭环极点。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A22例例4-2解解 根据模值方程求解 值模值方程已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如下图所示，求根轨迹上点 所对应的K值。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A根据上图可得所以2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环根增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A4.2、绘制根轨迹图的基本法则、绘制根轨迹图的基本法则 在在S平面内标出开环传函的极点（平面内标出开环传函的极点（）及）及零点（零点（） 箭头表示参数变化的方向箭头表示参数变化的方向 2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A4.2、绘制根轨迹图的基本法则、绘制根轨迹图的基本法则 把系统的把系统的特征方程特征方程化为化为标准标准零零-极点形式极点形式m m个开环零点，个开环零点，n n个开环极点个开环极点2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论Az24.2、绘制根轨迹图的基本法则、绘制根轨迹图的基本法则 在在S平面内标出开环传函的极点（平面内标出开环传函的极点（）及零点（）及零点（）2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数 分支数闭环特征方程根的个数分支数闭环特征方程根的个数= =maxn,mmaxn,m 4.2、绘制根轨迹图的基本法则、绘制根轨迹图的基本法则 二、根轨迹对称于实轴二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为闭环极点为 实数实数在实轴上在实轴上 复数复数共轭共轭对称于实轴对称于实轴2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A起于开环极点，终于开环零点。三、根轨迹的起点与终点三、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A 若开环零点数m 开环极点数n (有 个开环零点在无穷远处) 则有( )条根轨迹趋于无穷远点 起点终点2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A实轴上的某一区段，若其实轴上的某一区段，若其右边的开环实数零、极点右边的开环实数零、极点个数之和为奇数，则实轴个数之和为奇数，则实轴上的该区段是根轨迹。上的该区段是根轨迹。证明：证明：设一系统开环零、极点分布如图。四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹复平面上的开环共轭零点或共轭极点，对实轴上的根轨迹上的点，相角贡献为零。S1点左边开环实数零、极点到S1的向量为零S1点右边开环实数零、极点到S1的向量为2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A在实轴上任取一试验点在实轴上任取一试验点 代入相角方程则代入相角方程则所以相角方程成立，即所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1) ,求 时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1) ,求 时的闭环根轨迹。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A五、根轨迹的渐近线五、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A已知系统的开环传递函数试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A六、根轨迹的起始角和终止角六、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。 根轨迹的起始角根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A起始角与终止角计算公式起始角与终止角计算公式起始角计算公式：起始角计算公式：终止角计算公式：终止角计算公式：2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A例 设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解 将开环零、极点画在根平面上，逐步画图：2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A n=2，有两条根轨迹 两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2),(-1+j2) ；终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j) 确定起始角,终止角。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A根轨迹的起始角和终止角2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A七、根轨迹的分离点七、根轨迹的分离点定义定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。q若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。q若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A八、根轨迹与虚轴的交点八、根轨迹与虚轴的交点2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A九、根之和与根之积九、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根的之和，等于闭环特征方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。 2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论Aq在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m 2的系统，当增益的变动使某些闭环极点在的系统，当增益的变动使某些闭环极点在s平平面上面上向左向左 移动时，则必有另一些极点移动时，则必有另一些极点向右向右移动，这样移动，这样才能保证极点之和为常值。才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。这对于判断根轨迹的走向很有意义。闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特征方程的常数项。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A零度根轨迹零度根轨迹2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A 零度根轨迹零度根轨迹 根轨迹方程相角条件为根轨迹方程相角条件为 A、非最小相位系统中包含、非最小相位系统中包含s最高次幂的最高次幂的系数为负的因子系数为负的因子产生的主要原因：产生的主要原因： B、系统中包含有正反馈内回路、系统中包含有正反馈内回路 2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A4-34-3参数根轨迹（广义根轨迹）参数根轨迹（广义根轨迹）2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A4-44-4引入开环零、极点对根轨迹的影响引入开环零、极点对根轨迹的影响2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A加入开环偶极子前的根轨迹如下图。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A加入开环偶极子后的根加入开环偶极子后的根轨迹和加入开环偶极子轨迹和加入开环偶极子前后的阶跃响应的比较前后的阶跃响应的比较 2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A4 4、开环零、极点相消、开环零、极点相消2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A某反馈系统的开环传递函数为某反馈系统的开环传递函数为1、绘制参数、绘制参数K变化时闭环系统的根轨迹（确定变化时闭环系统的根轨迹（确定 分离点、渐近线）；分离点、渐近线）；2、K取何值时，闭环系统特征方程的根均为稳取何值时，闭环系统特征方程的根均为稳 定实根；定实根；3、若系统的输入为、若系统的输入为r(t)=t2+3t+1，K取何值时，取何值时， 系统的稳态误差系统的稳态误差ess0.5。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A某被控对象的传递函数为某被控对象的传递函数为1、对该对象进行单位反馈，、对该对象进行单位反馈，K过大或过小时，系统会发生什过大或过小时，系统会发生什么情况？当么情况？当K64时，近似求出闭环系统对单位阶跃输入时，近似求出闭环系统对单位阶跃输入响应的超调量和调节时间；响应的超调量和调节时间；2、为了改善闭环系统对单位阶跃输入的性能，对系统进行、为了改善闭环系统对单位阶跃输入的性能，对系统进行串联校正，请用根轨迹法设计比例微分校正串联校正，请用根轨迹法设计比例微分校正Kp(1+Ts)，使，使系统有一对闭环主导极点系统有一对闭环主导极点-2j2从而降低超调量、减少调节从而降低超调量、减少调节时间，请给出其具体表达式（仍设时间，请给出其具体表达式（仍设K64）。计算校正后）。计算校正后系统的超调量和调节时间。系统的超调量和调节时间。2011 2011 秋秋 许燕斌许燕斌L o o自动控制理论自动控制理论A