二二二二 项项项项 式式式式 定定定定 理理理理回 顾 ：观察下面两个公式，从右边的项数、每项的观察下面两个公式，从右边的项数、每项的次数、系数进行研究，你会发现什么规律？次数、系数进行研究，你会发现什么规律？项数比左数比左边次数多次数多1；每；每项次数均次数均为左左边指数，指数，a,b指数指数a降降b升；系数升；系数 尝试二项式定理的发现:猜想：猜想：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后，会是什么样呢？你展开后，会是什么样呢？你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？展开式中，每一项是怎样得到的？展开式中，每一项是怎样得到的？ 既然这样，每一项的次数都应为几次？既然这样，每一项的次数都应为几次？ （4次）次） 展开后具有哪些形式的项呢？展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4)探索：探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面在上面4个括号中：个括号中：每个都不取每个都不取b，有有 种取法，种取法，a4的系数的系数 恰有个取恰有个取b，有有 种取法，种取法，a3b的系数的系数 每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项系数为什么？系数为什么？ 恰有个取恰有个取b b，有有种取法，种取法，a2b2的系数的系数恰有个取恰有个取b，有有 种取法，种取法，ab3的系数的系数 个都取个都取b， 有有种取法种取法 , b4的系数的系数因此：因此：特点：特点：项数比次数多数比次数多1；每；每项次数次数为左左边指数指数4，a降降b升；升；系数系数为按上述规律，我们能将按上述规律，我们能将(a+b)n展开吗？展开吗？ 二二项式定理：式定理： (1) (1) 的展开式各项都是的展开式各项都是n n次，即展开式应有下面形式次，即展开式应有下面形式的各项：的各项： , , , ,(2)(2)展开式各项的系数：展开式各项的系数：展开式各项的系数：展开式各项的系数： 每个都不取每个都不取每个都不取每个都不取b b的情况有的情况有的情况有的情况有1 1种，即种，即种，即种，即 种，种，种，种， 的系数是的系数是的系数是的系数是 ；恰有恰有恰有恰有1 1个取个取个取个取b b的情况有的情况有的情况有的情况有 种，种，种，种， 的系数是的系数是的系数是的系数是 ，恰有恰有恰有恰有r r个取个取个取个取b b的情况有的情况有的情况有的情况有 种，种，种，种， 的系数是的系数是的系数是的系数是 ，有有有有n n都取都取都取都取b b的情况有的情况有的情况有的情况有 种，种，种，种， 的系数是的系数是的系数是的系数是 右边多项式叫右边多项式叫右边多项式叫右边多项式叫 的二项展开式；的二项展开式；的二项展开式；的二项展开式；它有它有它有它有n+1 n+1 项，各项的系数项，各项的系数项，各项的系数项，各项的系数 叫二项式系数，叫二项式系数，叫二项式系数，叫二项式系数， (4)(4) (5)(5)(5)(5)二项式定理中，设二项式定理中，设二项式定理中，设二项式定理中，设 a= ,b= ,a= ,b= ,则则叫二项展开式的通项，叫二项展开式的通项， 用用Tr+1表示即：表示即： Tr+1= 这个公式所表示的定理叫二项式定理这个公式所表示的定理叫二项式定理这个公式所表示的定理叫二项式定理这个公式所表示的定理叫二项式定理 1、弄清定理、弄清定理结构特征构特征： 项数数：n+1 次数次数：n，a降降b升升，和和为n 系数：系数：2、二项式系数与项的系数不同、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数 3、通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需 明确明确r=？，？，一般地，比所说的第几项少一般地，比所说的第几项少1 通通项是是针对(a+b)n的的标准形式而言，而准形式而言，而(b+a)n，(a-b)n的通的通项则分分别为:注意：注意： 4、在定理中，令在定理中，令a=1，b=x，则尝试二项式定理的应用：例例 1解解: : 展展 开开 解解：例例2：展开：展开 （先化简，再展开）（先化简，再展开） 计算出算出结果即可果即可例例3：求：求(x+a)12展开式中倒数第展开式中倒数第4项项 分析：倒数第分析：倒数第4项，是第几项？用通项公式时，项，是第几项？用通项公式时，r=？ 解：展开式共解：展开式共13项，倒数第，倒数第4项为它的第它的第10项T9+1=例例例例4 4 4 4（1 1 1 1）求）求）求）求 的展开式的第的展开式的第的展开式的第的展开式的第4 4 4 4项的系数；项的系数；项的系数；项的系数； （2 2 2 2）求）求）求）求 的展开式中的系数及二项式系数的展开式中的系数及二项式系数的展开式中的系数及二项式系数的展开式中的系数及二项式系数解解解解: :(1)(1) 的展开式的第四项是的展开式的第四项是的展开式的第四项是的展开式的第四项是 ， 的展开式的第四项的系数是的展开式的第四项的系数是的展开式的第四项的系数是的展开式的第四项的系数是280280（2 2） 的展开式的通项是的展开式的通项是的展开式的通项是的展开式的通项是 ， 9-2r=39-2r=3，r=3r=3， 的系数的系数的系数的系数 , , 的二项式系数的二项式系数的二项式系数的二项式系数 求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. (2) 表示第 项.例题点评例题点评课堂练习课堂练习课本课本P.31 P.31 练习练习练习练习布置作业布置作业布置作业布置作业 P36 P36 P36 P36 习题习题习题习题1.3A1.3A1.3A1.3A组组组组1. 2. 51. 2. 51. 2. 51. 2. 51、二、二项式定理及式定理及结构特征构特征 2、二项式系数与项系数不同、二项式系数与项系数不同 作用：求任一作用：求任一项；求某一；求某一项系数系数 关关键：明确：明确r 3、通项公式通项公式Tr+1= 4 4、定理特、定理特例例小结：小结：